概率论与数理统计第一讲.ppt

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1、一、随机现象与随机事件1.随机现象：现实生活中，有2类现象十分普遍：一类是确定性现象，一类是不确定现象。下面是两个简单的试验：试验一：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后从中任意摸取1球。试验二：一个盒子中有10个相同的球，其中5个是白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从中任意摸取1球。,对于试验一，在球没有取出之前，我们就能确定取出的必定是白球。这类试验所对应的现象称为确定性现象。,对于试验二：在球没有取出以前，我们从试验开始时的条件，不能确定试验的结果。骤然一看，没有什么规律，但是反复多次进行这样的试验，总可以观察到规律。这种规律我们称之为统计规律，这类试验，我们称之为“随机试验”，这类试

2、验所代表的现象称之为随机现象。,第一讲 古典概型与加法公式,2.随机试验 定义：在概率论中，满足以下3个条件的试验称之为随机试验：（1）试验可以在相同情形下重复进行；（2）试验的所有结果试验前是明确可知的，并且不止1个；（3）每次试验恰好出现可能结果的1个，但是不能确定会出现哪种结果。例如：观察如上所举的3个例子：（1）上抛硬币，观察着地时向上的面；（结果：正面、反面）（2）观察某时间段的车流量；（结果：非负整数中的1个）,3.样本空间与样本点,第一讲 古典概型与加法公式,（2）样本空间：随机试验的所有可能的结果，也就是全体样本点组成的集合称为样本空间。记作：,（3）必然事件：每次试验中必然发

3、生的事件，即全体基本事件组成的集合,（4）不可能事件：每次试验中不可能发生的事件。记作空集,第一讲 古典概型与加法公式,“取出球编号为2”随机事件，A=2,第一讲 古典概型与加法公式,第一讲 古典概型与加法公式,第一讲 古典概型与加法公式,A,第一讲 古典概型与加法公式,第一讲 古典概型与加法公式,2）两个互不相容（互斥）事件的和通常记作：A+B,通常把 n 个互不相容事件 的和记作,第一讲 古典概型与加法公式,第一讲 古典概型与加法公式,6.事件的运算律,（i）交换律：,（ii）结合律：,（iii）分配律：,第一讲 古典概型与加法公式,（1）“发现 2 件或 3 件次品”（设为事件B）,（2

4、）”最多发现 2 件次品“（设为事件C）,（3）”至少发现 1 件次品“（设为事件D）,第一讲 古典概型与加法公式,(5)至少有两个事件发生。,第一讲 古典概型与加法公式,(2)所有三个事件都发生;,(3)三个事件不都发生;,(4)不多于两个事件发生;,在大量的重复试验中（如掷硬币），随机事件A（如正面朝上）发生的频率总是在一个常数附近摆动，则这个常数叫做事件A的统计概率，用P（A）表示，如投掷硬币一例：,显然：,第一讲 古典概型与加法公式,十七世纪50年代，法国数学家：帕斯卡、费马及荷兰数学家惠更斯研究了复杂的赌博问题。惠更斯的论赌博的计算（1657）是概率论的最早论著。,瑞士数学学家雅各布

5、.伯努利是使概率论成为数学一个分支的奠基人。其重要贡献是概率论中第一个极限定理伯努利大定理。,2.古典概型定义：由有限个等可能基本事件组成的样本空间的概率模型称为古典概型。特点概括如下：,第一讲 古典概型与加法公式,（2）每个基本事件发生的可能性相同（等可能性）.,（1）所有基本事件的总个数只有有限个（有限性）；,（3）概率表达式：设试验的样本空间共有 N 个等可能的基本事件，其中随机事件A包含有且仅有 M 个基本事件，则随机事件A的概率记作,3.乘法原理与加法原理（复习）古典概型的计算主要使用排列组合知识，主要是两个原理,第一讲 古典概型与加法公式,事件 A所含基本事件数,则,第一讲 古典概

6、型与加法公式,基本事件的总数:,事件A 所包含的基本事件数:,第一讲 古典概型与加法公式,例1-2-3 电话号码由六个数字组成，每个数字可以是09中的 任意一个（但第一个数字不能为0），求电话号码由完全不同的数字组成的概率.,事件A含基本事件数：,因此，所求事件A的概率为,事件A含基本事件数：,第一讲 古典概型与加法公式,基本事件总数：每人都可能被分配到N个房间的一个,第一讲 古典概型与加法公式,第一讲 古典概型与加法公式,例1-2-6:10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率。,例1-2-5:两封信随机投入4个邮箱，求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率：

7、,背景知识：这个例子常称为“分房问题”，如果把例子中的“人”理解为“粒子”，房间理解为粒子所处的能级（能量状态），那么“分房问题”所描述的模型就是统计物理学中马克斯威尔波尔兹曼统计，如果n个粒子是不可分辨的，那么上述模型对应的就是玻色爱因斯坦统计；如果粒子不可分辨，并且最多只能放一个粒子，这时就得到费米狄拉克统计。,第一讲 古典概型与加法公式,4.几何概型 由无限点组成的度量（如面积）为S的区域为样本空间的概率模型为几何概型,（1）定义表达式：,（2）如果是在一个线段上投点，那么面积应改为长度，如果是在一个立方体内投点，则面积应改为体积，以此类推,第一讲 古典概型与加法公式,例1-2-7:(9

8、1年）,第一讲 古典概型与加法公式,例1-2-8(07,4分）,第一讲 古典概型与加法公式,第一讲 古典概型与加法公式,三、加法定理2.互不相容（互斥）事件的加法公式,定理1,定理2,第一讲 古典概型与加法公式,第一讲 古典概型与加法公式,定理一用归纳法容易推广到定理2，即,第一讲 古典概型与加法公式,根据概率加法定理，得到,证,第一讲 古典概型与加法公式,例1-3-2(90数一）,第一讲 古典概型与加法公式,例1-3-3(92数一）,第一讲 古典概型与加法公式,第一讲 古典概型与加法公式,例1-3-4 设P(A)0，P(B)0，将下列四个数：P(A)、P(AB)、P(AB)、P(A)+P(B)用“”连接它们，并指出在什么情况下等号成立.,解,第一讲 古典概型与加法公式,第一讲 古典概型与加法公式,例题1-3-5（94，3分）,