概率论与数理统计第3章第4节.ppt

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1、第四节 随机变量的独立性,两事件 A,B 独立的定义是：,若,则称事件A,B独立.,将事件的独立性推广到随机变量,随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念,两个随机变量独立的定义是：,它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,若(X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的定义等价于：,则称X和Y相互独立.,对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有,即,则称X,Y相互独立.,对任意的 x,y,有,若(X,Y)是连续型随机变量 则上述独立性的定义等价于：,分别是X和Y 的边缘密度,例1 袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球,求：（X,Y）的联合分布及边缘分

2、布，分有放回和无放回讨论,解：有放回,不放回,有放回时，X和Y相互独立；不放回时则不是,设（X,Y）N(),X,Y相互独立吗？,证明：X,Y相互独立,证：,因为,所以,易见,由x,y的任意性知，上式对一切x,y成立，故X和Y相互独立,已知X和Y相互独立,解：,x0,即：,对一切x,y,均有：故X,Y 独立,y 0,解：,0 x1,0y1,故X和Y不独立.,随机变量独立性的概念不难推广到两个以上随机变量的情形.,定理1 X1,Xn相互独立（区别于两两独立）,则,最后我们给出有关独立性的两个结果：,1）其中任意k（1kn)个随机变量相互独立,2)g1(X1)gn(Xn)也相互独立,定理2 若X1,Xn相互独立,而 Y1=g1(X1,Xm),Y2=g2(Xm+1,Xn),则Y1与Y2独立,这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各种情况下随机变量相互独立的条件。,