概率论与数理统计教程(茆诗松)第3章.ppt

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1、3.1 多维随机变量及其联合分布3.2 边际分布与随机变量的独立性3.3 多维随机变量函数的分布3.4 多维随机变量的特征数3.5 条件分布与条件期望,第三章 多维随机变量及其分布,分布的可加性,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.,二项分布的可加性,若 X b(n1,p)，Y b(n2,p)，,注意：若 Xi b(1,p)，且独立，则 Z=X1+X2+Xn b(n,p).,且独立，,则 Z=X+Y b(n1+n2,p).,正态分布的可加性,若 X N()，Y N()，,注意：X Y 不服从 N().,且独立，,则 Z=X Y N().,X Y N().,独

2、立正态变量的线性组合仍为正态变量.(见下),独立正态变量的线性组合仍为正态变量,Xi N(i,i2),i=1,2,.n.且 Xi 间相互独立,实数 a1,a2,.,an 不全为零,则,2 分布的可加性,若 X 2(n1)，Y 2(n2)，,注意：(1)X Y 不服从 2 分布.,且独立，,则 Z=X+Y 2(n1+n2).,(2)若 Xi N(0,1)，且独立，则 Z=,2(n).,3.4.2 数学期望与方差的运算性质,1.E(X+Y)=E(X)+E(Y),2.当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y),(性质),(性质),讨论 X+Y 的方差,1.Var(XY)=Var(X)+Var(Y)

3、2EXE(X)YE(Y),3.当X与Y独立时，EXE(X)YE(Y)=0.,4.当X与Y独立时，Var(X Y)=Var(X)+Var(Y).,2.EXE(X)YE(Y)=E(XY)E(X)E(Y),注意：以上命题反之不成立.,协方差,定义 称 Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y),为 X 与 Y 的协方差.,协方差的性质,(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).(性质3.4.7),(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).(性质3.4.4),(2)若 X 与 Y 独立，则 Cov(X,Y)=0.(性质3.4.5),(6)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(性质3.4.9),(3)Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2 Cov(X,Y)(性质3.4.6),(5)Cov(X,a)=0.(性质3.4.8),(7)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).(性质3.4.10),相关系数,定义 称 Corr(X,Y)=,为 X 与 Y 的相关系数.,相关系数的性质(2),(2)1 Corr(X,Y)1.,(3)Corr(X,Y)=1,X 与 Y 几乎处处有线性关系。,(性质3.4.11),(性质3.4.12),P(Y=aX+b)=1,