概率论2.3-随机变量.ppt

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1、第二章 随机变量及其分布,2.3 连续型随机变量,回顾,什么是离散型随机变量?,从取值的角度来看,如果随机变量 X 的所有可能取值可以一一列举,即所有可能取值为有限个或无限可列个,则这样的变量 X 称为离散型随机变量.,除了离散型随机变量,连续型随机变量是另一类重要的随机变量.,引例1 在某公共汽车站,每隔 8 分钟有一辆公共汽车通过,设乘客候车的时间为随机变量 X(单位:min),则 X 的可能 取值是什么?,一、什么是连续型随机变量?,区间 0,8 内的一切值,引例2 在数轴上随机地投点,设所投点的坐标为随机变量 X,则 X 可能取值是,从取值的角度来看,上面两例中的随机变量 X 所有可能

2、取值为某个区间内的一切值.一般来说，这样的随机变量称为连续型随机变量.引例1,引例2 中的 X 都是连续型随机变量.,区间(,+)内的一切值,考一考,连续型随机变量 X 的取值能不能一一列举出来?,不能,由于连续型随机变量 X 的可能取值是某些区间上的所有值(无穷多个),所以 X 的取值是不可能一一列举出来.,因此,要研究连续型随机变量 X 在取值区间内的概率分布规律,重要的是讨论它在取值区间内某一部分区间上取值的概率，而不是考察X 在此区间内某一点取值的概率.,也需要考察乘客候车的时间不超过 3 分钟的概率,即计算 P 0 X 3.,如在引例1 中,乘客候车的 时间为随机变量 X,为对车辆进

3、行合理的调度,需要考察乘客候车的时间超过 5 分钟的概率,即计算 P 5 X 8.,这些考察的内容都是求随机变量 X 在取值区间 0,8 内某一部分区间上取值的概率.,则称 X 为连续型随机变量,称 f(x)为随机变量 X 的概率密度函数,简称 密度函数或概率密度.,二、连续型随机变量的概率密度,X 在 a,b 上取值的概率,f(x)在 a,b 上的定积分,变量 X 在 a,b 上取值的概率,若已知 X 的密度函数 f(x),则 X 在区间 a,b上取值的概率等于 f(x)在该区间上的定积分.,f(x)在 a,b 上的定积分,由定义知 f(x)具有下述性质:,性质 1 说明,介于密度曲线 y=

4、f(x)与 x 轴之间的平面图形的面积等于 1.,密度函数 f(x)的性质,P31:这说明,随机变量 X 取单个值 a 的概率都为 0.故它在任一区间上取值的概率,与是否包含区间端点无关.即,由此可见,计算连续型随机变量 X 在某一区间上取值的概率时,可以不必区分开区间、闭区间和半开半闭区间.,1.均匀分布,a,b上的均匀分布，,记作,若X 的密度函数为如下函数，则称 X 服从区间,其中,常见的连续性随机变量的分布,即X 在a,b内任何长为 l 的小区间上取值的概率与小区间的位置无关,只与该小区间的长度 l 成正比.,P32 例10,2.指数分布,若随机变量 X 具有概率密度,应用场合,指数分

5、布常用来作为各种“寿命”分布的近似。如服务系统中的服务时间、电子元件的寿命等。,例11 某元件的寿命,服从参数为 的指数分布,求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.,解：先计算一个元件的寿命超过1000h的概率，然后按照3重伯努利概型求解.,设Y表示三个元件中使用1000小时后损坏的元件数,则至少有一个损坏的概率为,3.正态分布（或称为高斯分布）,正态分布的概率密度,正态分布的密度函数 f(x)的图形,(1)曲线关于直线 x=对称,称为正态曲线,(3)在 x=处有拐点.,(4)当x 时，曲线以x轴为渐近线,正态分布通常被称为高斯分布，下图是印着高斯头像和正态曲线的德国马克与

6、纪念币。,标准正态分布的概率密度,标准正态分布,(1)曲线关于 y 轴对称,即(x)=(x),标准正态分布的密度函数(x)的图形,(3)在 x=1 处有拐点.,标准正态分布的概率计算,如果依靠上式计算(x)的值就太麻烦了,为了计算方便,书中 P183后,附表标准正态分布数值表已经给出了x 0时(x)的值.,使用标准正态分布数值表时,必需先搞 清楚以下几种情况:,(1)表中 x 的范围是 0,3.9,因此,当 x 0,3.9 时,可直接查表得(x)的值;对于 x 3.9,取(x)1,(2)由右图,如 P X 1.65=(1.65),=0.9505,如 P X 2.09,=1(2.09),=1 0.9817=0.0183,如 P 1.65 X 2.09,=(2.09)(1.65),=0.9817 0.9505=0.0312,练习 1,方法,会查表(P183),熟悉 5 个计算公式,标准正态分布的概率计算,一般正态分布的概率计算,N(0,1),有了这三个转换公式,正态分布的概率计算都可以通过查标准正态分布数值表完成.,方法,会查表(P183),熟悉 5 个计算公式,标准正态分布的概率计算,一般正态分布的概率计算,N(0,1),练习 3,正态分布的应用,查表得,录取分数线应定为 504 分.,作业,P41：10,12(1),15,17(2)(3)(5),18,