概率统计7.2点估计的评价标准.ppt
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1、7.2 点估计的评价标准,对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题,(1)无偏性,(3)一致性,(2)有效性,7.2,若,无偏,定义,我们不可能要求每一次由样本得到的,估计值与真值都相等,但可以要求这些估,计值的期望与真值相等.,是总体X 的样本,证明:不论 X 服从什么分布(但期望存在),证,因而,由于,例1,则,特别地,是总体期望 E(X)的,样本均值,无偏估计量,例2 设总体 X 的期望 与方差存在,X 的,样本为(n 1).,(1)不是 D(X)的无偏估量;,(2)是 D(X)的无偏估计量.,证,前已证,证明,例2,因而,故 证毕.,XB(n,p)n 1,求 p
2、 2 的无偏估计量.,解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.,令,例3,因此,p 2 的无偏估计量为,故,例4 设总体 X 的密度函数为,为常数,为 X 的一个样本,证,故,是 的无偏估计量.,例4,令,即,故 n Z 是 的无偏估计量.,都是总体参数 的无偏估计量,且,则称 比 更有效.,有效,是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效?,由例4可知,与 都,为常数,例5 设总体 X 的密度函数为,解,,例5,例6 设总体 X,且 E(X)=,D(X)=2,为总体 X
3、 的一个样本,证(1),例6,(1)设常数,(2),而,例如 X N(,2),(X 1,X 2)是一样本.,都是 的无偏估计量,罗克拉美(Rao Cramer)不等式,其中 p(x,)是 总体 X 的概率分布或密度函数,称 为方差的下界.,当 时,称 为达到方差下界的无偏估计量,此时称 为最有效的估计量,简称有效估计量.,例7 设总体 X 的密度函数为,为 X 的一个样本值.,求 的极大似然估计量,并判断它是否达到方差下界的无偏估计量.,为常数,解 由似然函数,例7,的极大似然估计量为,它是 的无偏估计量.,而,故 是达到方差下界的无偏估计量.,定义 设 是总体参数,的估计量.若对于任意的,当
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- 概率 统计 7.2 点估计 评价 标准
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