机械控制理论基础课件第2章拉普拉斯变换.ppt

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1、第二章拉普拉斯变换的数学方法,拉普拉斯(Laplace)变换:时域的微分方程 复数域的代数方程优点：1、用图解法预测系统性能；2、解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量 和稳态分量。,二、拉氏变换与拉氏反变换的定义,三、典型时间函数的拉氏变换,四、拉氏变换的性质,五、拉氏反变换的数学方法,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,六、用拉氏变换解常微分方程,一、复数和复变函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,1、复数的概念,对虚数单位的规定:,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,复数的定义:,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同

2、时等于0.,说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.,共轭复数：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,复数的表示方法（复平面的定义）,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,复数的向量表示法：复数的模,显然下列各式成立,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,复数的辐角,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,（复数的三角表示式）,再利用欧拉公式,复数可以表示成,（复数的指数表示式）,复数的三角表示和指数表示,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,2、复变函数的概

3、念,拉氏变换的优点：可以用图解法预测系统的性能，而无须实际求解微分方程；解微分方程时，可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,设有时间函数f(t)，其中，则f(t)的拉氏变换记作：（规定：t0,f(t)=0）L拉氏变换符号；s-复变量；F(s)象函数。f(t)原函数在物理上可以实现的信号，总是具有相应的拉氏变换。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,2、单位脉冲函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,第二章 拉普拉斯变换

4、的数学方法,5、正弦函数sinwt,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,线 性 性 质,若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：此式可由定义证明。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,实数域的位移定理,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,复数域的位移定理,若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,微分定理,设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使 时的f(t)值。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,积分定理,设f(t)的拉氏变换为F(s),则 其

5、中 时的值。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,初值定理,设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为：证明技巧：可利用微分定理来进行证明,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,终值定理,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,卷积定理,设f(t)的拉氏变换为F(s),g(t)的拉氏变换为G(s)，则有 式中，称为f(t)与g(t)的卷积。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,对于象函数F(s),常可写成如下形式：,式中，p1,p2,pn称为F(s)的极点，z1,z2,zm称为F(s)的零点。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,F(s)总能展开成下面的部分分式之和,其中，分子为待定系数。,1、F(s)无重极点的情况,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,解一,求F(s)的拉氏变换,例,解二,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,设F(s)有r个重极点p1,其余极点均不相同，则,2、F(s)有重极点的情况,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,解,例,求 的拉氏反变换,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,