机械振动2-1简谐振动.ppt

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1、第二章 单自由度系统的自由振动,2.1 简谐振动,2.3 瑞利法,2.2 能量法,2.4 等效刚度系数,2.5 有阻尼系统的自由振动,自由振动受初始扰动激发所致振动，没有 外界能量补充。,无阻尼自由振动保守系统，机械能守恒，动能与势能互相转换，恒稳振动，实际上不存在，但可作为某些振动的近似处理。,（有）阻尼自由振动非保守系统，衰减，,本章讨论单自由度的自由振动。,2.1 线性系统的自由振动,我们看一个简单的振动模型,弹簧质量系统在光滑平面上的振动。,其中k刚性系数（产生单位位移所需的力）。加负号是因为：弹性恢复力永远与位移x方向相反。（始终指向静平衡位置）,弹簧质量不计；质体m当作刚体（或一个

2、质点）；并假设弹簧的恢复力与变形成正比，即：Fkx注：k的单位N/m,或写成：,其中常数C1，C2由初始条件确定。,这里令,上式即一个自由度（线性）系统自由振动微分方程。这是个二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：,由牛顿第二定律：,设：当t0时,注：这正是圆频率相同的两个简谐振动，一个用正弦、一个为余弦的合成情况，也是一个简谐振动。,把初始条件代入上式，可得,其中,讨论：,1、单自由度系统的自由振动是个简谐振动，其振幅A和初相位由初始条件决定。从这里可以看到自由振动最初发生的原因，必须有初位移x0或初速度v0或两者都有才有振动xAsin(nt)，否则x0，无振动,（弧度/秒）,2、自由振动的圆

3、频率（或角频率）,频率取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有的，与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振动无关）故把n称为固有频率。一座建筑物，一台机器，一架飞机等等，一旦制造出来，其m，k就都是确定的了，于是固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念，在以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。,固有频率的求法：,a、,b、,其中,静伸长（cm）,g重力加速度（cm/s2）,固有（自然）频率及周期为,在工程实际中，一些比较简单的振动系统可以抽象为上述单自由度质量-弹簧系统，而具有相同的动力学方程和运动规律，书上有些具体例子。,例2.1-1 均匀悬臂梁长l，弯曲刚度EJ

4、，重量不计，自由端附有重P=mg的物体，求物体的振动方程、频率.,解：由材料力学知：,悬臂梁的作用等价于悬挂弹簧，设其刚度系数k，有,物体的振动方程：,固有频率：,对无阻尼自由振动的问题。由于没有阻尼，系统就没有能量损失，根据机械能守恒定律，在整个振动过程中任一瞬时机械能保持为常数，即：,2.2 能量法,U系统由于弹性变形而储存势能，或由于重力作功而产生的重力势能。,将具体能量代入（2）式，化简后可得保守系统的振动微分方程。,（1）式对时间求导：,（1）,其中 T系统中运动质量所具有的动能,（2）,我们选取静平衡位置为第一瞬时位置，这时势能为零，而动能达到最大值Tmax；,对较复杂系统，用能量

5、法建立微分方程和求固有频率，有时更为方便。,当质点离开平衡位置到最远点时，速度减为零，即动能为零，但势能达到最大值Umax，我们取之为第二瞬时位置。,由（1）式得：Tmax00Umax，即：,例2.2-1 一半径r重W的圆柱体在一个半径为R的圆柱面内作无滑动滚动。假设在圆柱面最低处O左右微幅摆动为简谐振动，求摆动固有频率。,转动时，圆柱体绕质心轴转动，由于无滑动，角速度为：,注：）,解：设为坐标，圆柱体同时作两种运动移动和转动。移动时，圆柱体质心线位移为,线速度为,任一瞬时位置，圆柱体动能为：,由,圆柱体的势能以最低位置O为零，在转角为的瞬时，圆柱体质心升高为(Rr)(1-cos),则Uw(R

6、-r)(1-cos),得：,对于任一瞬时若，则对应无摆动，不是我们所求的。于是必有括号内部分为零，又因微摆动，sin，,故有,解（2）若已知圆柱体的摆动为简谐，只要求固有频率n，则设,在最低点O处势能为零，动能最大,则,在摆动到max位置时动能为零，势能最大,由TmaxUmax 有：,于是,则,例2.2-2 杆AB是无质量刚性杆，静平衡时水平，又知k0及尺寸a，l，质量块m，求振动微分方程及周期。,解法：设刚性杆，向下有微小转角时，弹簧伸长a,质量块的位移：l,系统的动能：,系统的势能：,由,质量块的速度：,得,2.3瑞利法,前面都假设弹簧的质量可以忽略不计，若弹簧质量较大，忽略它会导致频率偏

7、高。,瑞利提出，用能量法对分布质量系统简化为一个单自由度系统，从而把弹簧分布质量对系统频率的影响考虑进去，得到相对准确的频率。,具体做法是先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式，然后将无阻尼自由振动的简谐规律代入，计算其动能和势能，利用能量法，即得到等效质量和固有频率，这种近似计算方法称作瑞利法。,计算弹簧的等效质量,设弹簧的长度为l，,假定弹簧的变形与离固定点,其中m1=l为弹簧质量，则系统总动能为：,单位长度质量为，,的距离成正比，弹簧端点的位移为x。,整个弹簧的动能T1：,微元长度d的动能：,我们将弹簧的1/3质量定义为弹簧的等效质量。,弹簧的势能与忽略弹簧质量的情形一样：,由,也可

8、导出固有频率。,或设简谐振动：,2.4 等效刚性系数,弹簧刚度系数就是使弹簧产生变形所需要的力或力矩,研究的振动方向不同，刚度系数也不同,B点沿x方向施加力F，位移xB，则,等效刚度：,任何弹性体都可以看成弹簧,设指定方向的位移为x，所施加的力为F，则等效刚度系数：,B点沿y方向施加力P，位移yB，则,B点沿y方向的等效刚度：,亦称梁的弯曲刚度,B点绕x轴转动方向施加扭矩M，轴产生转角，则 B端：,B点绕x轴转动方向的等效刚度：,亦称轴的扭转刚度,几个弹性元件联合使用时的等效刚度：,固有频率,（等效刚度）,两弹簧串联,n个弹簧串联,两弹簧并联(两弹簧伸长相同),解：重量P分配在两个弹簧上，分别

9、为P1，P2，则,等效刚度,n个弹簧并联：,前面讲的无阻尼自由振动是一种理想状态，按照阻尼为零的假设，遵循机械能守恒定律，振动中没有能量消耗，因而可以无休止地振动下去。但事实上阻尼总是存在的，它使振动能量不断减少，于是自由振动逐渐衰减直至停止。我们首先讲阻尼的类型。,一、阻尼的分类,2.5 有阻尼系统的自由振动,1、粘性阻尼,2、材料阻尼,3、干摩擦阻尼,1、粘性阻尼,其中c粘性阻尼系数,当质量在磁场或流体质中振动时，阻尼力一般表现速度的函数：,若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以认为阻尼与速度成正比，即：

10、,这种阻尼(由于阻尼力与速度成正比)又称为线性阻尼（这种阻尼与介质的粘性有关，故称为粘性阻尼）。它使计算大为简化,我们将着重研究这种情况，对于非粘性阻尼也得引进等效粘性阻尼系数计算。,2、材料阻尼,又称为结构阻尼。在振动过程中物体结构材料本身的内摩擦而引起的阻力。在完全弹性材料内，应变与应力的相位相同，所以在反复受力过程中没有能量损失。而粘弹性材料内，应变滞后于,这就是通常说的摩擦力，出现在干摩擦之间。按库仑摩擦定律：RN 其中摩擦系数，由接触面的材料和粗糙程度决定。,3、干摩擦阻尼,应力，在反复受力过程中形成滞后回线，因此要耗散能量，而成为振动的阻尼。,二、阻尼振动微分方程,令,按牛顿第二定

11、律：,则得标准型单自由度阻尼自由振动的微分方程,（1）,阻尼比（无量纲数）,其中c阻尼系数（单位：Ns/m）,现在求解方程（1），这是一个二阶常系数齐次微分方程。下面求出方程的通解。,我们先设 x=ept（p常数）,那么，,代入方程（1）得：,但ept0，故有：,（2）特征方程,可见，若p是二次代数方程（2）的一个根，则ept能使微分方程（1）满足，也就是说，是它的一个特解。代数方程（2）叫做微分方程（1）的特征方程。,特征方程（2）的两个根是：,可能有三种情况，我们分别讨论之。,d是 阻尼自由振动的角频率。,1、当（欠阻尼状态），得两个复数根：,因此，微分方程（1）的两个特解是,由线性齐次微

12、分方程的性质，x1与x2的线性组合也是方程（1）的解，故,注：做此变换的目的是把微分方程的解写成实数形式,这里，我们利用了欧拉公式,很容易看出x1与x2线性无关，由齐次线性微分方程通解定律，x1与x2的线性组合即方程（1）的通解，故：,（3）,（3）,其中C，D为待定常数，由初始条件 给出,（3）式即单自由度系统有阻尼振动的位移通解。,（3）,其中,（3）是有阻尼振动的位移通解另一种形式。,其振幅随着时间t的增长而衰减。,由于阻尼的存在,对于小阻尼，,周期略有增大,为了表示振幅衰减的快慢，取任意两个相邻振幅之比,以初始条件代入，得,2、当(临界阻尼状态)，得两个相同的实根：p1=p2=-n，即方程之解为：,0,t,x,这是一个单调衰减运动（随着t增大，x越来越小，趋于零），,右图是不同初始条件下的位移时程图。,它们不是真正意义的振动。,式中e的指数分别为,它们都是负数,3、当（过阻尼状态），得两个不同负根，方程解为：,因此这里xx(t)也是一个单调衰减运动，而不是真正意义的振动。,解：,例2.5-1 为车辆设计小阻尼减震器，要求振动1周后的振幅减少到第一幅值的1/16.已知车辆质量m=500kg，阻尼振动周期Td=1s，试求减震器的刚度系数k和阻尼系数c。,所以,