有限元基本理论小结.pptx

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1、有限元基本理论小 结,数学力学基础,单元技术,计算机应用技术,有限元方法的基本策略离散逼近(discretized approximation)：采用较多数量的简单函数（基底函数base function）的组合来“近似”代替非常复杂的原函数。,基于子域的分段函数组合(如采用分段线性函数的连接),基础知识,有限元分析的基本流程,（1）结构离散（2）单元分析（3）单元组装（4）边界条件处理（5）求解节点位移和力（6）求解每一个单元的应力和应变等其他力学参数。,有限元法的理论基础是变分原理。最常用的变分原理有最小势能原理、最小余能原理和混合变分原理。采用不同的变分原理，将得到不同的未知场变量：采用

2、最小势能原理，需假设单元内位移场函数的形式位移法；采用最小余能原理，需假设单元内应力场函数的形式应力法；采用混合变分原理，需假设单元内某些位移和某些应力场函数的形式混合法。,总 势 能：,形变势能：,外力势能：,形变势能变分:,外力势能变分:,最小势能原理,单元的特性研究：形成单元刚度矩阵和节点外载矩阵,单元分析基本公式,节点自由度（位移）描述：qe 位移模式确定（简单性、完备性、连续性、唯一确定性）由节点条件确定位移模式中的待定系数，推导形状函数矩阵Ne,单元应变场表达（由几何方程）,弹性力学中几何方程算子,Be几何矩阵,单元应力场表达（由物理方程）,De弹性力学中弹性系数矩阵,Se应力矩阵

3、,单元刚度矩阵,单元节点外载,单元势能的表达,Ke单元刚度矩阵 Pe单元节点力矩阵b体积力向量 P面积力向量,应用最小势能原理，得到单元的平衡关系,单元位移函数构造与收敛性要求,1.单元形状函数矩阵性质,0/1性质,Ni表示在i点的节点位移为1，其它节点位移为0时的单元位移场函数,和1性质,C0单元,2.选择单元位移函数的一般原则,(1)广义坐标的个数应该与结点自由度数相等；(2)选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备；(3)多项式的选取应由低阶到高阶；(4)尽量选取完全多项式以提高单元的精度。,多项式的完备性,多项式选择时不仅要考虑解的收敛性，而且其模式应该与局部坐标系的方位无关几何各向

4、同性。,帕斯卡三角形,在构造二维多项式时，若包含三角形对称轴一边的项，就必须同时包含另一边的对称项。,位移函数构造的收敛性准则,收敛性准则1：完备性要求(针对单元内部）,如果在（势能）泛函中所出现位移函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是选取单元内的位移场函数至少是m阶完全多项式。二维问题和三维问题的m阶完全多项式已包含了刚体位移和常应变项,收敛性准则2：协调性要求(针对单元之间）,如果在（势能）泛函中位移函数出现的最高阶导数是m阶，则位移函数在单元交界面上必须具有直至(m-1)阶的连续导数，即Cm-1连续性。,考察：平面单元位移函数选取的要求,在平面问题中，势能泛函为,关于位移的

5、最高阶导数是1，因此m=1。,由准则1，形状函数至少应包含完整的一次多项式。由准则2，位移函数为C0连续，即在单元之间的位移函数要求零阶导数连续，即函数的本身连续，但其一阶导数可以不连续。,平面3节点单元,满足收敛性要求,单元刚度矩阵性质,（1）单元刚度矩阵性质1：对角线元素恒为正性质（2）单元刚度矩阵性质2：非对角线元素的1/0性质（3）单元刚度矩阵性质3：对称性质（4）单元刚度矩阵性质4：半正定性质（5）单元刚度矩阵性质5：奇异性质（）单元刚度矩阵性质：行(或列)的代数和为零的性质,整体刚度矩阵K 的元素Kij称为刚度系数，它的物理意义是要使结构体的j节点自由度发生单位广义位移，而其它节点

6、自由度都保持零位移的状态下，i节点需要施加的节点广义力。整体刚度矩阵的对角元上的主元素都是正的。整体刚度矩阵K 是对称矩阵。因此在实际计算中只需要计算对角元及其某一边的元素。整体刚度矩阵K 是一个稀疏阵，如果遵守一定的节点编号规则，可使非零元素都集中于主对角线附近而呈带状。整体刚度矩阵K 是一个奇异阵。因为物体在受到平衡力作用时，可以是静止不动，但也可以作匀速运动，即物体的绝对位移不能确定，也就是说整体刚度矩阵K 不存在逆矩阵，因此它是奇异矩阵。在排除刚体位移后，它是正定阵。整体刚度矩阵仅与材料物理性质和结构的几何尺寸有关。,整体刚度矩阵的性质,有限元分析结果的性质,有限元近似解的位移总体上比

7、精确解的位移要小，即近似解具有下限(upper limit)性质。,解释：原连续体从理论上来说具有无穷多个自由度，而采用有限单元的方法对原连续体进行离散，即使用了有限个自由度来近似描述原具有无穷多个自由度的系统，那么必然使得原系统的刚度增加，变得更加刚化(stiffening)，即刚度矩阵的总体数值变大，由刚度方程可知，在外力相同的情况下，所求得的位移值在总体上将变小。,单元节点编号与带宽,2D连续体整体刚度矩阵的半带宽,3D连续体整体刚度矩阵的半带宽,节点编号要求：使同一单元的相邻节点号之差尽量小,边界条件处理方法,直接法处理边界条件对角元素置1法对角元素乘大数法,各种单元,杆单元梁单元平面

8、单元：三角形单元、四边形单元、等参单元空间单元：四面体单元、六面体单元、等参单元薄板单元：非协调单元、完全协调单元,高精度单元构造的方法：广义拉格朗日插值函数法和变结点插值函数法,参数单元(parametric element)利用几何规整单元（如三角形单元、矩形单元、正六面体单元）的结果来研究所对应的几何不规整单元,等参单元：坐标变换的形函数插值阶次=位移模式形函数插值阶次,3节点三角形单元分析,节点位移列阵,节点荷载列阵,(1)单元的几何和节点描述,(2)单元位移场的表达,形函数矩阵,形函数,(3)单元应变场的表达,弹性力学平面问题的几何方程,几何函数矩阵,矩阵B 中的元素都是常量，因而单元中任意一点的应变分量 x、y和xy 也都是常量，故通常称这种单元为常应变单元。,弹性力学平面问题的物理方程,单元应力矩阵,平面应变问题的弹性系数矩阵,(4)单元应力场的表达,（5）单元势能的表达,单元刚度矩阵,t为平面问题的厚度,几何矩阵为常数矩阵,平面应力问题,平面应变问题,采用变节点单元方法构造,是构造Serendipity单元插值函数的方法,3,