数项级数的审敛法.ppt

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1、,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,部分和数列 为单调增加数列.,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,不是有 界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,解,由图可知,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.,证明,4.比较审敛法的极限形式:,证明,由比较审敛法的推论,得证.,解,原级数发散.,故原级数收敛.,证明,收敛,发散,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,解,比值审敛法失效,改用比较审敛法,级数收敛.,二、交错级数及其审敛法,定义:正、负项相间的级数称为交错级数.,证明,满足收敛的两个条件,

2、定理证毕.,解,原级数收敛.,三、任意项级数,定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,绝对收敛与条件收敛,定义：（1）如果级数的各项绝对值所组成的级数收敛，则称原级数绝对敛；（2）如果级数收敛，而它的各项绝 对值所组成的级数发散，则称原级数条件收敛。,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,解,故由定理知原级数绝对收敛.,但是,解：,根据Leibniz 准则 知,收敛，但它是条件收敛。,由于任意项级数各项的绝对值,组成的级数是正项级数，因此,一切判定正项级数敛散性的判,别法，都可以用来判定任意项,级数是否绝对收敛。,如果 收敛，,不能判定它必发散!,(因还可能条件收敛.),那么 绝

3、对收敛.,但当 发散,而不,时，,例 8 证明级数,绝对收敛。,证,例 9,解,为调和级数,发散,为交错级数,条件收敛.,例 10,解,判定级数 的敛散性.,定理 4,四、绝对收敛级数 与 条件收敛级数的本质差异是什么？见以下定理。,定理 5,绝对收敛级数可以任意调换项的位置，所得级数仍绝对收敛，且和不变；,绝对收敛级数的积等于它们和的积，即若,定理5 说明绝对收敛级数具有,级数却不一定。见下例。,有穷和的一切性质，可是条件收敛,例6 条件收敛级数,的一个重排级数:,(*),此例表明条件收敛级数(*)中项的次序是不可交换的.,四、小结,思考题,思考题解答,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,练 习 题,练习题答案,