数项级数敛散性习题课.ppt

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1、2023/11/14,1,第十二章(1),习题课,数项级数的敛散与幂级数的收敛域,三、课外练习题,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,2023/11/14,2,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅立叶级数.,为傅氏系数)时,时为数项级数;,时为幂级数;,2023/11/14,3,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,2023/11/14,4,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,

2、Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,2023/11/14,5,例1,解,原级数发散,2023/11/14,6,例2,解,根据极限审敛法,知所给级数收敛.,2023/11/14,7,例3,解,因为,根据极限审敛法,知所给级数收敛.,2023/11/14,8,例4 若级数,均收敛,且,证明级数,收敛.,证,则由题设,收敛,收敛,收敛,2023/11/14,9,解答提示:,判别下列级数的敛散性:,提示:(1),据比较判别法,原级数发散.,因调和级数发散,P322 题2,2023/11/14,10,利用比值判别法,可知原级数发散.,用比值法,可判断级数,因 n 充分大时,原

3、级数发散.,用比值判别法可知:,时收敛;,时,与 p 级数比较可知,时收敛;,时发散.,再由比较法可知原级数收敛.,时发散.,发散,收敛,2023/11/14,11,设正项级数,和,也收敛.,提示:因,存在 N 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛,证明级数,当n N 时,P323 题3,2023/11/14,12,设级数,收敛,且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛.,问级数,提示:对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛,收敛,级数,发散.,例如,取,P323 题4,2023/11/14,13,讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:(1),

4、P 1 时,绝对收敛;,0 p 1 时,条件收敛;,p0 时,发散.,(2)因各项取绝对值后所得强级数,原级数绝对收敛.,故,P323 题5,2023/11/14,14,因,单调递减,且,但,所以原级数仅条件收敛.,由Leibniz判别法知级数收敛;,2023/11/14,15,因,所以原级数绝对收敛.,2023/11/14,16,例5,解,即原级数非绝对收敛,2023/11/14,17,由莱布尼茨定理：,2023/11/14,18,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,2023/11/14,19,例6,解,2023/11/14,20,由比较审敛法知，,即原级数绝对收敛,2023/11/14,21,例7,解,2023/11/14,22,2023/11/14,23,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,求下列级数的敛散区间:,练习:,P323 题7,2023/11/14,24,解,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.,故收敛区间为,2023/11/14,25,解 因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,2023/11/14,26,例8,解 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:,类似地，P323 题7(1),