数理方程特殊函数.ppt

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1、1,数理方程与特殊函数,2,本次课主要内容,(一)、行波法,(二)、积分变换法,行波法与积分变换法习题课,3,(一)、行波法,1、要点回顾,(1)行波法的适用范围是什么？,答：波动方程的初值问题。,(2)行波法求解波动方程定解问题的要领是什么？,答：引入变量替换，将方程化为变量可积的形式，从而求出其通解；用定解条件确定通解中的任意函数(或常数)，从而求出其特解。,4,(3)无限长弦的自由振动问题的达朗贝尔公式是什么？公式的物理意义是什么？,答：(a)公式为：,(b)物理意义：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向弦的两个方向传播出去，传播速度正好是弦振动方程中的系数a。,(4)如何求解无限长弦的纯

2、强迫振动问题和一般强迫振动问题？,5,答(a)纯强迫振动定解问题为：,求解方法：齐次化原理,(b)一般强迫振动定解问题为：,6,求解方法：利用函数分解方法对定解问题进行拆分,答：(a)公式为：,(5)三维自由振动的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？,(b)物理意义：1)空间任意一点M在任意时刻t0的状态完全由以该点为心，at为半径的球面上的初始扰动决定；,2)当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰的“前锋”与“阵尾”，即惠更斯原理成立。,7,答：(a)公式为：,(5)二维齐次波动方程柯西问题的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？,(b)物理意义：1)空间任意一点M在任意时刻t0的

3、状态完全由以该点为心，at为半径的圆盘域上的初始扰动决定；,2)局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效，波的传播有清晰的前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。,8,2、典型题型,(1)利用行波法求解,例1、求下面柯西问题的解：,解：特征方程为：,特征线方程为：,9,令：,变换原方程化成标准型：,通解为:,代入条件得：,10,例2、求波动方程的古沙问题,11,解：方程通解为：,由(2)得：,又由(3)得：,由(4)与(5)得：,12,所以：,又由(4)得：,所以：,(2)半无界问题的求解,采用延拓或行波方法求解,13,例3、半无限长杆的端点受到纵向力F(t)=Asint的作用，求解杆的振动。

4、,解：定解问题为：,14,解：方法1：延拓法,首先，当xat时，端点的影响没有传到，所以有：,其次，当xat时，端点的影响已经传到，所以定解问题必须考虑边界影响。将定解问题作延拓：,延拓后的定解问题的解为：,15,欲使延拓后的解限制在x0上时为原定解问题的解，只需让延拓解满足边界条件，即：,为此：令,只要：,又令,16,得到：,所以有：,所以当xat时，解为：,17,方法2：行波法求解(课后作业）,(3)高维波动方程的定解问题(重点),例4、求如下定解问题：,18,分析：这是三维空间自由振动问题，所以直接代入泊松公式计算。,球坐标变换为：,19,解：由泊松公式,例5、用泊松公式解如下定解问题,

5、20,解：由二维泊松公式得：,21,(二)、积分变换法,1、要点回顾,(1)什么叫积分变换？,答：所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数f(x)，经过某种可逆的积分方式：,变成另一类B中的函数F(P)。其中F(P)称为像函数，f(x)称为原像函数，k(x,P)称为积分变换的核。,(2)积分变换法求解数理方程的步骤是什么？,22,答:(a)对方程和定解条件中的各项作针对于某变量的积分变换，得到像函数满足的方程;,(2)积分变换法求解数理方程的步骤是什么？,(b)求出像函数；,(c)求出原像函数。,(3)傅立叶变换与拉普拉斯变换适用的数理方程对象是什么？分别针对于什么变量作变换？,答：傅立叶变换多

6、用于求解半无界(正，余弦变换)和全无界初值问题。一般针对空间变量作变换；拉氏变换常用于,23,带有边界条件的定解问题。常针对时间变量作变换。,(4)叙述傅立叶变换、逆变换，傅立叶正余弦变换、逆变换和拉普拉斯变换、逆变换的定义(略）,(1)、利用定义与性质求函数的积分变换,(5)叙述(4)中各种变换的主要性质(略)和变换存在定理(略),2、典型题型,24,例6、求下列函数的傅立叶变换,只对(5)进行讲解，其余留为课后练习。,25,解法1：令,由于,26,所以得：,解此微分方程得：,利用相似性质：,27,解法2：由傅立叶变换的定义,考虑复变函数 沿下图所示的围道积分。,28,由柯西积分定理得：,由

7、于,所以：,29,即得：,于是由*得：,同理：,所以得：,30,例8 求函数f(x)的拉普拉斯变换,31,解:(1)由拉氏变换定义有：,32,(2)由拉氏变换定义有：,33,同理：,(3)由拉氏变换定义有：,34,例9 求下列函数的拉氏变换,解:(1)令：f(t)=tm，则f(m)(t)=m!，且：,由微分定理：,35,(2)由于,由位移定理得：,36,(3)由像函数微分性质,同理：,37,例10 求 的逆变换,解,因为f(s)的奇点是两个极点s1=-,s2=-.前者是一阶极点，后者是二阶极点，所以，由展开定理：,(2)、利用展开定理求拉普拉斯逆变换(重点),38,(4)、简单证明题,例12、

8、设f(t)在0,+上以T为周期，且f(t)在一个周期内分段连续，则：,39,证明：,令x=t-T，则可推出：,对于,(5)、求解数理方程,40,例13 求解上半平面的狄氏问题,解(1)对定解问题作对应于空间变量x的傅立叶变换,变换后得关于y的常微分方程定解问题：,41,*中方程的通解为：,当0时：,(2)求像函数,(3)求原像函数,当0时：,像函数为：,42,由卷积定理：,这里：,43,于是得定解为：,44,例14、求解如下定解问题：,解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换,45,(2)、求像函数：,(3)、求原像函数：,46,所以原像函数：,例15、求解如下定解问题(习题5.4第5题)：,47,解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换,(2)、求像函数：,48,(3)、求原像函数：,由延迟定理：,得：,49,所以原像函数为：,