数学物理方法1-5分式线性变换.ppt

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1、1.5 分式线性变换,导数f(z0)的幅角Argf(z0)是曲线经过w=f(z)映射后在z0处的转动角.,w=f(z),导数f(z0)的模|f(z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的任何曲线在z0的伸缩率。,Z 平面,w 平面,复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角）,导数不为零的解析变换属于保角变换,1 分式线性变换的定义,5,2 分式线性变换的分解,可分解为下述简单类型变换的复合,6,(I)(II)型变换的几何性质,旋转,位似(伸缩),平移,平移映射,8,3.分式线性变换的保圆周(圆)性,对(I)显然将圆周(或直线)变为圆周(或直线).,对(II)型:,圆周(或直线)可表为,它表示

2、圆周或直线.,9,注,在扩充z平面上,直线可视为过无穷远点的圆周.,补充定义,10,定理1.5.3,注,三对对应点唯一确定一分式线性变换.,证明,先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是,那么，由,11,得,同理，有,因此，有,12,由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。,那么，由,同理有,由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。,其次，如果已给各点除 外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：,13,解,所求的分式线性变换为,整理得,即,14,15,解,16,即,整理后得,17,六 线性变换的应用,由于线性

3、变换具有共形性,保交比性,保圆(圆周)性和保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中,起着重要的作用,下面介绍一些类型.,例6,18,事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z为实数时,即实轴变为实轴是同向的,或,解,19,例7,解,故,20,即,故,解该方程组得,故所的线性变换为,21,例8,解,由线线变换的保对称性,22,因此这个变换应具有形式,故可令,从而所求的变换为,23,注1,确定变换(7.13)的k,只需再给一对边界对应点.,注2,24,例9,解,因此所求变换具有形式,25,利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令,从而所求的变换为,26,注1,确定变换(7.14)的k,只需再给一对边界对应点.,注2,作 业,习 题（P）,1（1）（3）（5）；2,28,.,.,.,2 定理7.1,证明,29,.,.,.,30,3 分式线性变换的保对称性,定理7.12,证明,由分式线性变换的保角性,由定理7.11,31,五 分式线性变换的保对称性,1定义7.5,注,证明,“必要性”,32,则,所以,“充分性”,33,例10,34,解,作线线变换,复合上述两个变换得,整理得,35,即由,得,从而所求的变换为,36,例11,解,(1)先作伸缩变换,(2)再作平移变换,37,使得,于是,(4)排列对应点,38,(5)将以上线性变换复合起来,即得所求的线性变换为,39,