数字电子技术第二章、逻辑代数基础.ppt

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1、第二章 逻辑代数基础,数字电子技术基础,2.1 概述,2.2 逻辑代数中的常用运算,2.3 逻辑代数中的基本定律和常用公式,2.4 逻辑函数及其表示方法,2.5 逻辑函数的公式化简法,2.6 逻辑函数的卡诺图化简法,逻辑代数基础,数字电子技术基础,逻辑代数运算法则,基本逻辑关系,基本运算规则,基本代数规律,吸收规则,摩根定理,反演定理,逻辑函数的化简,公式法,图形法,逻辑函数表示法,2.1 概述,逻辑代数基础,数字电子技术基础,逻辑电路,逻辑代数,研究工具,逻辑函数,逻辑状态,二值变量,2.2 逻辑代数中的常用运算,依据：,1.逻辑变量只取：0、1两种状态。,2.与、或、非是三种最基本的逻辑运

2、算。,与普通代数运算法则类似的：分配律、结合律、交换律等。,与普通代数运算法则不同的：,AA=A,A+A=A,一、“与”逻辑,A、B、C条件都具备时，事件F才发生。,逻辑符号,2.2.1 基本逻辑运算,逻辑代数基础,数字电子技术基础,逻辑符号 逻 辑 式 真 值 表,F=A B C,逻辑式,真值表,逻辑代数基础,数字电子技术基础,二、“或”逻辑,A、B、C只有一个条件具备时，事件F就发生。,逻辑符号,逻辑代数基础,数字电子技术基础,F=A+B+C,逻辑式,真值表,逻辑代数基础,数字电子技术基础,三、“非”逻辑,A条件具备时，事件F不发生；A不具备时，事件F发生。,逻辑符号,逻辑代数基础,数字电

3、子技术基础,逻辑式,真值表,逻辑代数基础,数字电子技术基础,2.2.2 复合逻辑运算,“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。,与非：条件A、B、C都具备，则F不发生。,逻辑代数基础,数字电子技术基础,或非：条件A、B、C任一具备，则F不发生。,异或：条件A、B一个具备，另一个不具备则F发生。,逻辑代数基础,数字电子技术基础,一、常量间的运算,由三种基本逻辑关系(与、或、非），可得逻辑运算结果：,0 0=0 1=1 0=0,1 1=1,0+0=0,0+1=1+0=1+1=1,逻辑代数基础,数字电子技术基础,2.3 逻辑代数中的基本定律和常用公式,2

4、.3.1 逻辑代数中的基本定律,二、基本定律,A+0=A,逻辑代数基础,数字电子技术基础,A 0=0,A+1=1,A 1=A,三、基本代数规律,交换律,结合律,分配律,A+B=B+A,A B=B A,A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B,A(B C)=(A B)C,A(B+C)=A B+A C,A+B C=(A+B)(A+C),逻辑代数基础,数字电子技术基础,普通代数不适用,四、吸收规则,吸收：多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉 被消化了。,1.原变量的吸收：,A+AB=A,证明：,左式=A(1+B),原式成立,长中含短,留下短。,长项,短项,=A=右式,2.反变量的吸收：

5、,证明：,=右式,长中含反,去掉反。,3.混合变量的吸收：,证明：,=右式,正负相对,余全完。,（消冗余项）,五、德 摩根定理,（De Morgan),证明：,穷举法,推广到多变量：,说明：变量的与非（或非）运算等于变量的非或（非与）运算。,可以用列真值表的方法证明：,逻辑代数基础,数字电子技术基础,六、反演定理,变量与常数均取反,（求反运算）,互补运算,1.运算顺序：先括号 再乘法 后加法。,2.不是一个变量上的反号不动。,注意:,用处：实现互补运算（求反运算）。,新表达式：,显然：,(变换时,原函数运算的先后顺序不变),(反函数),将函数式F中所有的,例1：,与或式,注意括号,注意括号,例

6、2：,与或式,反号不动,反号不动,1、真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。,设A、B、C为输入变量，F为输出变量。,2.4 逻辑函数及其表示方法,逻辑代数基础,数字电子技术基础,请注意,n个变量可有2n个组合，按二进制顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。,真值表、函数式、卡诺图、逻辑图,2、逻辑函数式:把输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，常用“与或”的形式。,如：,最小项:乘积项中包含所有输入变量的原变量或反变量。,逻辑相邻:两个最小项中只有一个变量以原、反状态相区别。,逻辑代数基础,数字电子技术基础,逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子,逻辑代数基础,

7、数字电子技术基础,3、逻辑图：把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示。,F=AB+CD,逻辑代数基础,数字电子技术基础,逻辑函数的两种标准形式,一、逻辑函数的最小项及其性质二、逻辑函数的最小项表达式,一、逻辑函数的最小项及其性质,（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成8个最小项：,（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个

8、二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。,3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：,（3）最小项的性质：,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。,全部最小项的和必为1。,任意两个不同的最小项的乘积必为0。,2、逻辑函数的最小项表达式,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,2.5 逻辑函数的公式化简法,2.5.1 逻辑函数的最简表达式,1、最简与或表达式,乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。,最简与或表达式,2.5 逻

9、辑函数的表达式,一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。,2.5.2 逻辑函数的公式化简法,1、并项法,若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。,运用摩根定律,运用分配律,运用分配律,2、吸收法,如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。,运用摩根定律,（）利用公式，消去多余的项。,如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。,、配项法,（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。,、消去冗余项法,数字电子技术,2

10、.6.1 用卡诺图表示逻辑函数,2.6 逻辑函数的卡诺图化简法,卡诺图：将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上。,逻辑代数基础,数字电子技术基础,两变量卡诺图,三变量卡诺图,四变量卡诺图,函数取0、1均可，为任意状态。,只有一项不同,逻辑代数基础,数字电子技术基础,为了方便，有时用二进制对应的十进制表示单元编号。,F(A,B,C)=(1,2,4,7),1,2,4,7单元取1,其它取0,逻辑代数基础,数字电子技术基础,2.6.2 逻辑函数的化简图形化简法,卡诺图法步骤:,一、布阵（画法规则）,二、填项(用卡诺图表示逻辑函数),三、勾圈化简(用卡诺

11、图化简),一、布阵（画法规则）,卡诺图:是与真值表关系相对应，按一定规则画出来的方块图。,n个变量:N=2n 项,n=3:N=8,n=4:N=16,最小项：构成逻辑函数的基本单元。,小方块,1.N=2n 格（n 5）:最小项,2.循环码编排,循环邻接,上下封闭,A B,C D,0 0,0 1,1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,00001111,0000 0001 0011 0010,0100 0101 0111 0110,1100 1101 1111 1110,1000 1001 1011 1010,相邻两项只有一个变量取值不同,布阵,最小项,编号方式二：,变量,0 0,0 1,

12、1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,D,按十进制数编号：,m0 m1 m3 m2,m4 m5 m7 m6,m8 m9 m11 m10,m12 m13 m15 m14,高位,低位,布阵:,1.N=2n 格（n 5）:最小项,2.循环码编排,最小项编号 方式:,1)0000 1111,3)m0 m15,例:四变量 卡诺图,2),二、填项,用卡诺图表示逻辑函数,填F=1项,1.最小项直接填入；,2.刷项（填公因子所包含的项）；,3.按（m0,m15)编号填入。,按F=1与或式填项,例1:,有重复“1”者，只填一个“1”。,1,1,有重复“1”者，只填一个“1”。,刷项：,填公因子包含的项

13、,例1:,1 1 1 1,1 1 1 1,例1:,F=1的项全部填完以后,填项结束;,不填者自动为“0”。,例1:,三、勾圈化简,1.圈最少,圈内“1”最多,但为2 n个(n0);,2.2 n个“1”被圈消n个变量;,3.所有“1”圈过，化简结束。,用卡诺图化简,方法：,可得最简与或式,A,B,D,C,1 1 1 1,1 1 1 1,1 1,1 1,D,消取值不同的变量：,合理重叠（“1”可以重复使用）。,例1:,也可以取F=0的项化简:,1 1 1 1,11,填项：,1 1 1 1,11,1 1,F=1的项全部填完以后,填项结束。,冗余项,勾圈化简,例：用公式化简法得到下式，是否为最简式?,

14、填项,1,1,F=1全部填完,填项结束,勾圈化简,圈最少,圈内“1”最多,但为2 n个,圈最少,圈内“1”最多,但为2 n个,说明：化简结果不唯一。,F4(A,B,C,D)=m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15),圈最少,圈内“1”最多,但为2 n个,化简结果不唯一。,说明一：,说明二：,小结：,逻辑代数：数字电路分析和设计的理论工具。,一、逻辑函数的表示方法（五种）：,真值表，逻辑式，卡诺图，逻辑图，波形图。,二、逻辑代数：,1.基本运算法则：结合律、交换律、分配律等；,2.几种形式的吸收律：原变量、反变量、混合变量；,3.几个定理：德 摩根定理、反演定理。,三、化简：两种方法,1.公式法布尔代数；,2.图形法卡诺图(n 4)：三步：布阵、填项、勾圈化简；具有约束的逻辑函数的化简。,三、化简：两种方法,