数字电子技术第一章逻辑代数与EDA技术的基础知识.ppt
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1、第一章 逻辑代数与EDA技术的基础知识,传递、处理模拟 信号的电子电路,传递、处理数字信号的电子电路,数字电路中典型信号波形,一、数字电路与数字信号,二、数字电路特点,数制:表示数时,仅用一位数码往往不够用,必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制,简称数制。,基 数:进位制的基数,就是在该进位制 中可能用到的数码个数。,三、几种常用的数制,位 权(位的权数):在某一进位制的数中,每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数,这个固定的数就是这 一位的权数。权数是一个幂。,N进制数的一般表的形式:DN=KiNi 按权展开式,(101.1
2、1)2 122 021120121122(5.75)10,(2A.7F)16 216110160716115162(42.4960937)10,1.500 1,整数0.750 0,1.各种数制转换成十进制,2.十进制转换为二进制,例 将十进制数(26.375)10 转换成二进制数,26,6 1,3 0,1 1,0 1,2,(26)10=(11010)2,2,2,1.000 1,.375,2,2,2,2,0.375,2,一直除到商为 0 为止,余数 13 0,按权展开求和,整数和小数分别转换 整数部分:除 2 取余法 小数部分:乘 2 取整法,读数顺序,读数顺序,.011,四、不同数制间的转换,
3、每位八进制数用三位二进制数代替,再按原顺序排列。,八进制二进制,3.二进制与八进制间的相互转换,二进制八进制,(11100101.11101011)2=(345.726)8,(745.361)8=(111100101.011110001)2,补0,(11100101.11101011)2=(?)8,11100101.11101011,0,0,从小数点开始,整数部分向左(小数部分向右)三位一组,最后不足三位的加 0 补足三位,再按顺序写出各组对应的八进制数。,补0,11,100,101,111,010,11,一位十六进制数对应四位二进制数,因此二进制数四位为一组。,4.二进制和十六进制间的相互转
4、换,2=(4FB.EC)16,(3BE5.97D)16=(11101111100101.100101111101)2,2=(?)16,0,0,0,100,1111,1011,1110,11,五、几种常用的编码,我们常用的数字1、2、39、0 通常有两大用途:表示大小:10000(一万),8848米。表示编码:000213班,8341部队。我们习惯使用十进制,而计算机硬件是基于二进制的,因此需要用二进制编码表示十进制的09十个码元,即BCD(Binary Coded Decimal)码。至少要用四位二进制数才能表示09,因为四位二进制有16种组合.现在的问题是要在16种组合中挑出10个,分别表示
5、 09,怎么挑呢?不同的挑法构成了不同的BCD码。,用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码,因各位的权值依次为8、4、2、1,故称8421 BCD码。,2421码的权值依次为2、4、2、1;余3码由8421码加0011得到;格雷码是一种循环码,其特点是任何相邻的两个码字,仅有一位代码不同,其它位相同。,逻辑代数:用于描述客观事物逻辑关系的数学工具,又称布尔代数(Boole Algebra)或开关代数。,逻辑:,事物因果关系的规律,逻辑函数:逻辑自变量和逻辑结果的关系,逻辑变量取值:0、1 分别代表两种对立的状态,另一状态,高电平,低电平,真,假,是,非,有,无,1,0,0,1,1.1
6、 逻辑代数基本概念、公式和定理,1.1.1 基本和常用逻辑运算,一、三种基本逻辑运算,1.基本逻辑关系举例,功能表,灭,灭,灭,亮,断,断,断,合,合,断,合,合,与逻辑关系,(1)电路图:,或逻辑关系,功能表,灭,亮,亮,亮,断,断,断,合,合,断,合,合,非逻辑关系,亮,灭,断,合,功能表,(2)真值表:,经过设定变量和状态赋值后,得到的反映输入变量与输出变量之间因果关系的数学表达形式。,功能表,与逻辑关系,真值表,(Truth table),功能表,功能表,真值表,或逻辑关系,非逻辑关系,真值表,与逻辑:,当决定一事件的所有条件都具备时,事件才发生的逻辑关系。,(3)三种基本逻辑关系:,
7、或逻辑:,决定一事件结果的诸条件中,只要有一个或一个以上具备时,事件就会发生的逻辑关系。,非逻辑:,只要条件具备,事件便不会发生;条件不具备,事件一定发生的逻辑关系。,二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算,1.逻辑变量与逻辑函数,在逻辑代数中,用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中,变量的取值不是 1 就是 0。,逻辑函数:,如果输入逻辑变量 A、B、C 的取值确定之后,输出逻辑变量 Y 的值也被唯一确定,则称 Y 是 A、B、C 的逻辑函数。并记作,原变量和反变量:,字母上面无反号的称为原变量,有反号的叫做反变量。,逻辑变量:,真值表,逻辑函数式,与门(AND gate),逻辑符
8、号,(1)与运算:,2.基本逻辑运算,有 0 出 0;全 1 出 1,(2)或运算:,或门(OR gate),真值表,逻辑函数式,逻辑符号,(3)非运算:,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,非门(NOT gate),有 1 出 1;全 0 出 0,(1)与非运算(NAND),(2)或非运算(NOR),(3)与或非运算(AND OR INVERT),(真值表略),1,1,1,0,0 0,0 1,1 0,1 1,1,0,0,0,3.几种常用复合逻辑运算,Y1、Y2 的真值表,(4)异或运算(ExclusiveOR),(5)同或运算(ExclusiveNOR),(异或非),0,1,1,0,0 0,0 1
9、,1 0,1 1,=AB,1,0,0,1,0 0,0 1,1 0,1 1,三、基本和常用逻辑运算的逻辑符号,曾用符号,美国符号,国标符号,国标符号,曾用符号,美国符号,或:,0+0=0,1+0=1,1+1=1,与:,0 0=0,0 1=0,1 1=1,非:,二、变量和常量的关系(变量:A、B、C),或:,A+0=A,A+1=1,与:,A 0=0,A 1=A,非:,1.1.2 公式和定理,一、常量之间的关系(常量:0 和 1),三、与普通代数相似的定理,交换律,结合律,分配律,例 1.1.1 证明公式,解,方法一:公式法,例 1.1.1 证明公式,方法二:真值表法,(将变量的各种取值代入等式两边
10、,进行计算并填入表中),A B C,解,四、逻辑代数的一些特殊定理,同一律,A+A=A,A A=A,还原律,例 1.1.2 证明:,A B,将Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量,反变量换成原变量,五、关于等式的两个重要规则,1.代入规则:,等式中某一变量都代之以一个逻辑函数,则等式仍然成立。,例如,已知,(用函数 A+C 代替 A),则,2.反演规则:,不属于单个变量上的反号应保留不变,例如:已知,反演规则的应用:求逻辑函数的反函数,则,将 Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量,反
11、变量换成原变量,已知,则,六、若干常用公式,公式(4)证明:,公式(5)证明:,即,=AB,同理可证,一、标准与或表达式,1.2 逻辑函数的化简方法,1.2.1 逻辑函数的标准与或式和最简式,标准与或式,标准与或式就是最小项之和的形式,最简式,例 1.2.1,1.最小项的概念:,包括所有变量的乘积项,每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。,(2 变量共有 4 个最小项),(4 变量共有 16 个最小项),(n 变量共有 2n 个最小项),(3 变量共有 8 个最小项),对应规律:1 原变量 0 反变量,2.最小项的性质:,(1)任一最小项,只有一组对应变量取值使其值为 1;,A B C 0
12、 0 1,A B C 1 0 1,(2)任意两个最小项的乘积为 0;,(3)全体最小项之和为 1。,变量A、B、C全部最小项的真值表,3.最小项是组成逻辑函数的基本单元,任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成,都可以表示成为最小项之和的形式。,例 1.2.2 写出下列函数的标准与或式:,解,相同最小项合并,标准与或表达式是唯一的,一个函数只有一个最小项之和的表达式。,函数的标准与或式也可以由其真值表直接写出:,例如,已知 Y=A+BC 的真值表,函数的标准与或式,Y,方法:将使得输出取值为1的对应最小项相加即可,4.最小项的编号:,把与最小项对应的变量取值当成二进制数,与之相应的十进制数,
13、就是该最小项的编号,用 mi 表示。,对应规律:原变量 1 反变量 0,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,1,2,3,4,5,6,7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,例 写出下列函数的标准与或式:,m7,m6,m5,m4,m1,m0,m8,m0,与前面m0相重,二、逻辑函数的最简表达式,1.最简与或式:,乘积项的个数最少,每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式。,例如:,2.最简与非 与非式:,非号最少,每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非-与非式。,例 1.2.3 写出下列函数的最简与非-与非式:,解,
14、3.最简或与式:,括号个数最少,每个括号中相加的变量的个数也最少的或与式。,例 1.2.4 写出下列函数的最简与或式:,解,4.最简或非 或非式:,非号个数最少,非号下面相加的变量个数也最少的或非 或非式。,例 1.2.5 写出下列函数的最简或非 或非式:,解,5.最简与或非式:,非号下面相加的乘积项的个数最少,每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式。,例 1.2.6 写出下列函数的最简与或非式:,解,结论:,只要得到函数的最简与或式,再用摩根定理进行适当变换,就可以获得其它几种类型的最简式。而最简与或式一般需要经过化简才能求得。,已知,1.2.2 逻辑函数的公式化简法,一、并项法:,例
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