数字图像处理课件封筠.ppt
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1、1,ftp:/202.206.41.8:6621/User:Student.feng2006.4,数字图像处理Digital Image Processing,主讲人:封筠,石家庄铁道学院计算机系,2,5.1 概述5.2 退化模型5.3 无约束恢复(逆滤波)5.4 有约束恢复(维纳滤波)5.5 几何失真校正5.6 投影重建,第5章 图像恢复与重建(Image Restoration and Restruction),3,5.1概述,图像的退化,退化的形成 成像系统受各种因素的影响,导致了图像质量的降低,或者说是退化。由于获得图像的方法不同(光学、光电子或电子等),有多种退化形式,如传感器噪声、
2、摄像机未聚焦、物体与摄像机之间的相对移动、随机大气湍流、光学系统的像差、成像光源和射线的散射等,都使成像的分辨率和对比度退化。降质举例 宇航、卫星、航空测绘、遥感、天文学中所得照片,拍摄运动物体所得图像等,4,5.1概述,图像的退化,主要表现形式 可分为图像模糊和图像受到干扰。模糊是成像系统造成图像退化的典型现象。,5,5.1概述,图像恢复与图像增强异同,相同点 都是要得到在某种意义上改进的图像。不同点(1)图像增强:用适当方式改善图像质量,增强图像的视觉效果,以适应人眼的视觉和心理,不用考虑增强处理后的图像是否符合原有图像,是否失真。主观标准(2)图像恢复:试图利用退化过程的先验知识(退化模
3、型),去恢复已被退化图像的本来面目。客观标准,6,5.1概述,图像恢复,基本思路根据图像降质过程的某些先验知识,建立“退化(降质)数学模型”,运用和退化相反的过程,将退化图像恢复(即根据该模型对退化图像进行拟合)。模型可以用连续数学和离散数学处理,处理项的实现可在空间域卷积,或在频域相乘。,7,5.1概述,图像恢复,准则要用某一客观标准来度量,则为某种准则下的最优估计。,8,5.1概述,图像恢复,分类(1)在给定模型条件下,可分为无约束和有约束两大类;(2)根据是否需要外来干预,可分为自动和交互两大类;(3)根据处理所在的域,可分为频域和空域两大类。推广(1)对在图像采集过程中产生的几何失真(
4、畸变)进行校正。几何失真看作退化,校正看作恢复;(2)根据对物体的多个投影重建图像。投影看作退化,重建图像看作恢复。,9,5.1概述,图像恢复,举例,10,5.1概述,图像恢复,运动模糊,11,5.1概述,图像恢复,噪声,12,5.1概述,图像恢复,大气湍流,13,5.1概述,图像恢复,考古,与玩魔方关系?,14,5.2退化模型,简单的通用图像退化模型,图像退化过程被模型化为1个作用在输入图像 f(x,y)上的系统H。H与1个加性噪声 n(x,y)的联合作用导致产生退化图像 g(x,y)。根据这个模型恢复图像就是要在给定 g(x,y)和代表退化的H基础上,得到对 f(x,y)的某个近似的过程。
5、这里假设已知n(x,y)的统计特性。输入输出具有如下关系:g(x,y)=H f(x,y)+n(x,y)主要退化原因在H,H是系统的传递函数。,f(x,y),H,+,g(x,y),n(x,y),15,5.2退化模型,简单的通用图像退化模型,系统H的线性时(空间)不变性:为了方便描述成像系统,通常把成像系统看作一个线性系统。实际上,物体成像系统总存在非线性。但是,如果这种非线性失真不至于引起明显误差,或者能局部满足线性性质,即使是完全的非线性系统,用线性系统近似描述也是通常的可行方法。,16,5.2退化模型,连续函数的退化模型,一维冲激函数 延时取样 卷积取样,17,5.2退化模型,连续函数的退化
6、模型,二维卷积取样二维连续退化模型,其中h(x,y)是系统H的冲激响应,在光学上称点扩 散函数(Point Spread Function,简称PSF),18,5.2退化模型,连续函数的退化模型,对于线性时不变系统,退化模型可表示为:,时域频域,若我们已知h和n,经过反演运算,可以得到一个近似于原图像的复原图像,它是f(x,y)的最佳估计,故求f(x,y)的最佳估计的过程就是图像恢复。,19,5.2退化模型,离散的退化模型,为便于计算机实现,需将退化模型离散化。,一维卷积对f(x)及h(x)均匀采样,样本数分别为A及B,即 f(x)x=0,1,A-1 h(x)x=0,1,B-1可借助卷积计算g
7、(x)。离散循环卷积是针对周期函数定义的,为了不致使离散循环卷积的周期性序列之间发生相互重叠现象(卷绕效应),必须把函数f(x)和h(x)周期性地延拓成:,即,20,5.2退化模型,离散的退化模型,fe(x)、he(x)均是长度为M的周期性离散函数,其卷积为,ge(x)也是长度为M的周期性离散函数。若把fe(x)、ge(x)表示成向量形式:,循环卷积写成矩阵形式:,H是M*M的矩阵。,21,5.2退化模型,离散的退化模型,利用周期性:he(x)=he(x+M),循环矩阵:方阵,每一行是前一行循环右移一位的结果。,22,5.2退化模型,离散的退化模型,推广到二维空间 f(x,y)、h(x,y)均
8、匀采样,样本数分别为A*B,C*D。周期性地延拓成M*N样本,则循环卷积为,23,5.2退化模型,离散的退化模型,矩阵形式:g=Hf其中 f 和 g 是MN维向量,分别由大小为MN的函数矩阵fe(x,y),ge(x,y)的各个行堆叠而成;H是MN MN矩阵。,其中:第1组N个元素是fe(x,y)的第1行元素;第2组N+1个到2N个元素是fe(x,y)的第2行元素;第3组2N+1个到3N个元素是fe(x,y)的第3行元素;对fe中所有M行都是这样的。,24,5.2退化模型,离散的退化模型,H是分块循环矩阵。,其中,25,5.2退化模型,离散的退化模型,n是MN 维噪声向量,则退化模型即,图像恢复
9、问题就是通过上式估计 f,但运算量大,要解联立方程。如对于512x512图像,H的大小是262144262144,要解512x512个联立方程。求解方法有两种:(1)将循环矩阵H对角化,以简化运算;(2)在频域求解,通过FFT减少运算量。,26,5.2退化模型,27,5.2退化模型,28,5.2退化模型,退化参数的确定,已知退化图像,图像恢复要对原始图像作出尽可能好的估计,须知道退化参数的有关知识。退化参数包括:点扩展函数:h(x,y)噪声信号:n(x,y)点扩展函数的确定 a.运用先验知识的方法;b.运用后验判断的方法,29,5.2退化模型,退化参数的确定,运用先验知识确定PSF:(1)长时
10、间曝光下大气湍流造成的转移函数,C是与湍流性质有关的常数。,30,5.2退化模型,退化参数的确定,(2)光学散焦,d是散焦点扩展函数的直径,J1()是第一类贝塞尔函数。,(3)照相机与景物相对运动 设T为快门时间,x0(t),y0(t)是位移的x分量和y分量,31,5.2退化模型,退化参数的确定,线性运动模糊,32,5.2退化模型,退化参数的确定,噪声的确定,要知道n(x,y)的统计性质,以及n(x,y)与f(x,y)之间的相关性质。一般假设图像上的噪声是一类白噪声。白噪声:图像平面上不同点的噪声是不相关的,其谱密度为常数。实际上,只要噪声带宽远大于图像带宽,就可把它当作白噪声。虽不精确,确是
11、一个很方便的模型。,33,5.2退化模型,退化参数的确定,34,5.2退化模型,退化参数的确定,35,5.2退化模型,退化参数的确定,当噪声与图像不相关时,噪声是加性的。在有些情况下噪声大小确实与图像信号有关。如以下的乘性白噪声,不同的恢复方法需要关于噪声的不同的数字特征。例如:维纳滤波要知道噪声的谱密度。约束最小平方滤波要知道噪声的方差。,36,5.2退化模型,代数恢复法,其理论基础是图像退化模型。该方法的基本原理为:根据对退化系统 H和噪声 n 的某些了解或假设,寻找一个最接近输入向量 f 的估计值,使得某种事先确定的误差准则为最优(即这种估计在某种预先选定的最佳准则之下,具有最佳性质),
12、一般就是误差最小。对不同的误差最优准则,得到不同的恢复方法。本章重点介绍两种代数恢复法:(1)无约束代数恢复方法;(2)约束条件下的代数恢复方法,37,5.3无约束恢复,求解思路,由退化模型:g=Hf+n可得噪声为:n=g-Hf,其实质:寻找 使目标函数J为最小,不再受任何约束,故称为无约束复原。,38,5.3无约束恢复,求解思路,给定退化的图像 g 及 H 和 n 的某种了解或假设,就可估计出原始图像f。,这里只需要将J对 求微分,并将结果设为零。,求解过程中假设H-1可逆。,39,5.3无约束恢复,逆(反向)滤波法(Inverse Filter),定义由前面可得:对式中的各元素进行傅里叶变
13、换,得到:,(其中P(U,V)=1/H(U,V)为恢复函数)由于上式是(正向)滤波公式 G(u,v)=H(u,v)F(u,v)的逆(反)过程,故此法称为逆(反)向滤波法。则恢复后图像为:,40,5.3无约束恢复,逆(反向)滤波法(Inverse Filter),特点 将频域退化模型 G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)代入逆滤波器,有,(1)存在问题 上式包含了我们希望得到的F(u,v),但同时又加上一项由噪声带来的项 N(u,v)/H(u,v),当H(u,v)较小或0处具有噪声放大作用,即在这些H(u,v)较小的点上噪声起主要作用。,41,5.3无约束恢复,逆(反向)滤波法(
14、Inverse Filter),以下两个原因可能带来所谓噪声放大的问题:H(u,v)有许多零点,相应于奇异条件下求解;H(u,v)0 但非常小,使 N(u,v)/H(u,v)很大,从而影响恢复的数据结果,即所谓病态条件(ill-condition)。解决问题的要点:避开H(u,v)零点。一般情况下,在低频附近的有限区域内,H(u,v)0,可以在频域原点附近进行反滤波。,42,5.3无约束恢复,逆(反向)滤波法(Inverse Filter),(2)使用逆滤波器时的注意事项 忽略 H(u,v)=0 的点(奇异点)。比如可令此处的 的邻域均值,对恢复结果不会产生太大影响;当H(u,v)非常小时,N
15、(u,v)/H(u,v)对恢复结果起主导作用,而多数实际应用系统中,H(u,v)离开原点衰减很快,故恢复应局限于离原点不太远的有限区域进行。,43,5.3无约束恢复,逆(反向)滤波法(Inverse Filter),(3)一种改进的方法是取恢复滤波器P(u,v)为 其中k和d均为小于1的常数,且d选得较小为好。,44,5.3无约束恢复,逆(反向)滤波法(Inverse Filter),图像退化和恢复模型,F(u,v),H(u,v),+,G(u,v),N(u,v),P(u,v),F(u,v),45,5.3无约束恢复,逆(反向)滤波法,举例,46,5.4有约束恢复,基本原理,除要求了解关于退化系统
16、的传递函数之外,还要知道某些噪声的统计特性或噪声与图像的某些相关情况。根据所了解噪声的先验知识的不同,采用不同的约束条件,从而得到不同的图像恢复技术。,问题提出,令Q为f 的线性算子,寻找一个最优估计,使 在约束 的条件下为最小。,47,5.4有约束恢复,基本原理,求解思路,这类最小化问题,可用Lagrange乘子法来处理。,48,5.4有约束恢复,维纳滤波(Wiener Filter),逆滤波法较简单,但有时可能带来噪声放大问题。维纳滤波对噪声放大有抑制作用。准则采用的准则是使 与 之间的均方误差最小,即,其中E是数学期望算子。,49,5.4有约束恢复,维纳滤波(Wiener Filter)
17、,协方差矩阵设Rf和Rn分别为 f 和 n 的相关矩阵(即协方差矩阵),可表示为 Rf的第ij个元素是Efifj,代表f的第i和第j元素的相关。Rf和Rn都是实对称矩阵。,对大多数图像来说像素间的相关不超过2030个像素,所以典型的相关矩阵只在主对角线方向有1个条带不为零,而右上角和左下角都为零。,50,5.4有约束恢复,维纳滤波(Wiener Filter),选择Q满足如下关系 其傅氏变换为信噪比(Signal Noise Rate,简称SNR),则式变成,将上式中各矩阵的元素进行傅氏变换这里Sf和Sn分别是f 和 n 的谱函数。,51,5.4有约束恢复,维纳滤波(Wiener Filter
18、),滤波传递函数,52,5.4有约束恢复,维纳滤波(Wiener Filter),结果讨论(1)若,则P(u,v)就是维纳滤波器;(2)若 是变量,则P(u,v)是变参数维纳滤波器;(3)若无噪声或不考虑噪声时,维纳滤波器就退化为理想的逆滤波器。即逆滤波可看作是维纳滤波器的一种特例。而 项是在有噪声情况下,在统计意义下对H的修正,即为在有噪声的情况下提供均方意义下的最佳恢复。,53,5.4有约束恢复,维纳滤波(Wiener Filter),(4)求解关键是要知道频谱密度Sn和Sf,而对随机噪声的统计性质的了解往往是困难的和有限的,因此,一般设想是白噪声,即其频谱密度为一常数,并与图像不相关。实
19、际中并非如此,但只要噪声的带宽远大于图像的带宽,就可近似看成白噪声。,54,5.4有约束恢复,维纳滤波(Wiener Filter),(5)若不知道噪声的统计特性,即未知Sn和Sf(实际中常如此),则可近似为 上式中K是噪声对信号的频谱密度之比,近似为一常数,相当于已知信噪比。此式可使退化图像得到一定程度的恢复,但并非一定达到最优。,55,5.4有约束恢复,维纳滤波,举例,56,5.4有约束恢复,57,5.5几何失真校正,形成,原因 在图像生成过程中,由于成像系统本身所具有的非线性或者摄像时视角的不同,都会使生成的图像产生几何失真或几何畸变。如一个物体图像常会出现歪斜现象。从广义上来说,图像的
20、几何失真也是一种图像退化。举例 由于摄像机的扫描偏转系统有一定的非线性,会出现所谓桶形失真、枕形失真。由于地球表面呈球形,而卫星摄取的地球表面图像往往覆盖了较大面积,这样的平面图像会有较大的几何失真。,58,5.5几何失真校正,形成,59,5.5几何失真校正,形成,原始图像,几何失真图像,60,5.5几何失真校正,校正步骤,以某一幅图像为基准,去校正另一种摄取方式得到的图像的几何畸变。需要通过几何变换来校正失真图像中的各像素位置,以重新得到像素间原来的空间关系,包括原来的灰度值关系。两个步骤(1)空间变换:对图像平面上的像素进行重新排列以恢复原空间关系。(2)灰度插值:对空间变换后的像素赋予相
21、应的灰度值以恢复原位置的灰度值。,61,5.5几何失真校正,空间变换(Spatial transform),描述,62,5.5几何失真校正,空间变换,几何形变可表示为:其中s(x,y)和t(x,y)代表产生几何失真图像的2个空间变换。对线性失真,s(x,y)和t(x,y)可写为:对一般的非线性二次失真,s(x,y)和t(x,y)可写为:如果已知s(x,y)和t(x,y)的解析表达式,就可以通过反变换来恢复图像。但实际中通常不知道解析表达式,可应用约束对应点法(或称连接点)解决。,63,5.5几何失真校正,空间变换,利用“连接点”建立失真图像和校正图像间像素空间位置的对应关系,而这些“连接点”在
22、输入(失真)图像和输出(校正)图像中的位置是精确已知的。两个四边形区域的顶点可作为对应点。设在四边形区域内的几何失真过程可用一对双线性等式表示:,64,5.5几何失真校正,空间变换,由上图可知两个四边形区域共有4组(8个)已知对应点,所以8个系数ki可以全部解得。这些系数可建立将四边形区域内的所有点进行空间映射的公式。一般来说,可将1幅图分成一系列覆盖全图的四边形区域的集合,对每个区域都找足够的对应点以计算进行映射所需的系数。,可得到:,65,5.5几何失真校正,灰度插值(Gray-level interpolation),定义 尽管实际数字图像中的(x,y)总是整数,但由前面公式算得的(x,
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