数字图像处理-正交变换.ppt

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1、数字图像处理,1 基本概念,模拟图像处理包括光学处理和电子学处理。如照相、电视图像等的处理；速度快，但精度不高。数字图像处理利用计算机或其他硬件对图像进行处理。精度高，但是速度较慢。,1.1 数字图像,从物理的角度来看，一幅图像记录的是物体辐射能量的空间分布。,如果不考虑波长和时间的因素，则图像的一般表达形式为：,1.1 数字图像,数字图像可以理解为图像物体的一种数字化表示形式。对连续图像可以进行空间和幅度抽样，得到数字图像。在空间和幅度上对图像进行抽样：,x方向，抽样M行y方向，每行抽样N点整个图像共抽样MN个像素点一般取 M=N=2n=64，128，256，512，1024，2048,对每

2、个像素点进行灰度级量化：G=2m常取 m=6,7,8,9,10,11,12bit对应的灰度级为:64,128,256,512,1024,2048,4096级,1.1 数字图像,数字图像常用矩阵来表示：,1.1 数字图像,矩阵中每一个元素称为像素(pixel)，其值称为图像的灰度或亮度(intensity)，是离散的。矩阵的维数或大小称为图像的分辨率。无论是灰度还是分辨率，量化时一般都取2的整数幂。一般地，彩色图像可以采用红(R)、绿(G)、蓝(B)三个矩阵表示或混合表示。,1.2 数字图像的种类,几种基本数字图像类型：二值图像灰度图像索引图像RGB图像(真彩图像)其他图像,1.2 数字图像,二

3、值图像:图像的灰度级别仅有2个，即0和1。通常用于文字图像。每个像素只用1bit表示。灰度图像:图像灰度通常有较大的取值范围，常用的为256级，即灰度值域为0,255。0表示黑色，255表示白色，其他灰度为从黑到白的变化情况。每个像素所需的字节数根据其灰度的变化范围不同二不同。256级灰度图像每个像素需用8bit表示。,1.2 数字图像,索引图像每个像素的值并不表示该像素真正的灰度值，而是表示对应于色彩表中的索引号。色彩表为预先设置好的RGB色彩。通常用来表示256色的彩色图像。每个像素需要8bit表示。RGB图像图像的灰度为该点的R、G、B值，直接存放在图像灰度矩阵中。一般每个像素需要用38

4、24bit位来表示。其色彩可为224，一般称为真彩图像。其他图像还有图像的透明因子，每个像素需要32bit来表示。,1.3 数字图像处理的研究内容,从计算机处理的角度可以由高到低将数字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图像处理的所有应用领域。,1.3 数字图像处理的研究内容,数字图像处理是一门交叉学科，研究方法上，与数学、物理学、生理学、心理学、电子学、计算机科学相互借鉴；研究范围上，与计算机图形学、模式识别、计算机视觉相互交叉。,1.3 数字图像处理的研究内容,图像正交变换 采用各种图像变换方法对图像进行间接处理。有利于减少计算量并进一步获得更有效的处理。图像增强与复原 加强图像的有用信息，

5、消弱干扰和噪声。把退化、模糊了的图像复原。模糊的原因有许多种，最常见的有运动模糊，散焦模糊等等。图像编码简化图像的表示，压缩表示图像的数据，以便于存储和传输。,1.3 数字图像处理的研究内容,图像重建由原始图像数据进行不同目的的图像显示。如二维图像重建三维图像。图像分割与特征提取图像分割是指将一幅图像的区域根据分析对象进行分割。图像的特征提取包括了形状特征、纹理特征、颜色特征等等。图像分析和理解 对图像中的不同对象进行分类、识别和描述、解释。,1.3 数字图像处理的研究内容,学习内容正交变换复原和增强图像编码图像分割形态学处理图像识别,2 图像的正交变换,2.1 图像正交变换,数字图像是一个二

6、维信号，可以写成代数形式，也可写成实数矩阵形式。可以采用初等变换找到同型矩阵：数字图像的变换要求能从反变换中完整地恢复过来。正交变换是满足完整反变换要求的一种变换。,2.1 图像变换的表达式正交变换,正交变换的变换核为正交函数。满足正交性：。满足完备性：函数集合中的函数可以完整的对其他函数进行分解表达。正交完备性意味着所有的正交函数都存在于完备函数集中，无论是在时域还是在变换域中其能量都是相同的，可以将函数分解成正交函数的表达形式。,二维变换：NN的二维函数f(x,y),2.1 图像变换的表达式正交变换,称为正变换核，,称为反变换核。,为了使信号完整重建，正变换核和反变换核都必须满足正交性和完

7、备性。,变换核可分离性：将二维变换分解为2个一维变换的计算。,2.1 图像变换的表达式正交变换,即可将二维变换进行分解计算，分别对行和列进行计算，简化计算过程。,2.2.1 一维傅立叶变换,1.一维连续函数的傅立叶变换（FT）,定义：若函数满足狄里赫利(Dirichlet)条件：1）具有有限个间断点；2）具有有限个极值点；3）绝对可积，则把下列变换成立：,傅立叶正变换：,傅立叶反变换：,2.2 傅立叶变换,2.2.1 一维傅立叶变换,如果,为实函数，傅立叶变换用复数表示：,用指数形式表示：,傅立叶谱：,相角：,能量谱：,2.2.2 二维傅立叶变换,1.二维连续函数傅立叶变换（2D FT）,定义

8、:若f(x,y)是连续图像函数,反变换:,正变换:,变换对:,2.幅度谱、相位谱、能量谱,一般F(u,v)是复函数,即:,幅度谱:,相位谱:,能量谱:,2.2.2 二维傅立叶变换,2.2.3 离散傅立叶变换,1.一维离散傅立叶变换（DFT）,傅立叶正变换：,傅立叶反变换：,对于一个有限长序列X(n),(0nN-1),其傅立叶变换式为：,2.2.3 离散傅立叶变换,令,2.2.3 离散傅立叶变换,2.快速傅立叶变换流程图,基2、时间抽取算法，N=8,-1,w2,w2,w2,w1,w3,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,F(u),f(x),2.2.3 离散傅立叶变换

9、,3.如何提高FFT的速度？,（1）减少乘法次数；（2）基4、基8算法；（3）实数FFT；（4）硬件实现（DSP芯片，FFT集成块）,因为：,4.FFT举例,F（u）,2,0,其中：,2.2.3 离散傅立叶变换,幅度谱：,幅度谱图：,定义:若f(x,y)是离散图像函数，为NN维大小，则其傅立叶变换为：,正变换:,反变换:,2.2.4 二维离散傅立叶变换,1.求移中的傅立叶变换：,2.求幅度谱：,3.求幅度谱的对数函数：,步骤:,2.2.4 二维离散傅立叶变换,1.可分离性,正变换,2.2.4 二维离散傅立叶变换,同样，反变换也具有可分离性,1.可分离性,2.2.4 二维离散傅立叶变换,利用二维

10、傅立叶变换的可分离性，可将二维DFT转化成一维DFT计算。即，先在x（或y）方向进行一维DFT，再在y（或x）方向进行一维DFT：,第一步：,第二步：,1.可分离性,2.2.4 二维离散傅立叶变换,二维离散傅立叶变换过程图示：,第一步：,第二步：,f（x，y）=,F（u，y）=,先在x方向逐行进行一维FT,再在y方向逐列进行一维FT,1/N,F（u，v）=,1.可分离性,2.2.4 二维离散傅立叶变换,二维离散傅立叶变换举例,例1：,2.平移性,FT,则：,2.2.4 二维离散傅立叶变换,即：,移中性,同理：,2.平移性,2.2.4 二维离散傅立叶变换,移中性,移中性的用途：图像作傅立叶变换时

11、，若采用以下公式变换，则变换后主要能量（低频分量）集中在频率平面的中心。,移中性,未移中的变换：,移中的变换：,能量集中于中心（示意图）,原图像f（x，y）,能量分布于四角（示意图）,3.周期性,非周期性离散函数的FT是离散的周期性函数,2.2.4 二维离散傅立叶变换,4.旋转性,当变量x，y，u，v都用极坐标表示时，即：,则：,若：,此式含义是：当原图像旋转某一角度时，FT后的图像也旋转同一角度。,2.2.4 二维离散傅立叶变换,旋转性举例：,原图像及其傅立叶幅度谱图像,原图像旋转45，其幅度谱图像也旋转45,5.卷积定理,若：,则：,2.2.4 二维离散傅立叶变换,6.相关定理,若：,则：

12、,2.2.4 二维离散傅立叶变换,7.共轭对称性8.平均值9.线性10.比例变换,2.2.4 二维离散傅立叶变换,2.2.5 离散傅立叶变换的矩阵表示,目的:（1）用矩阵乘法的程序进行FT；（2）理论推导用。,1.一维DFT的矩阵表示,根据定义:,令:,则:,展开:,令:,正变换:,2.2.5 离散傅立叶变换的矩阵表示,2.二维DFT的矩阵表示,根据可分离性：,2.二维DFT的矩阵表示,FT：,IFT：,（忽略1/N）,复数计算收敛速度较慢幅度衰减快,2.2.6 傅立叶变换的特点,2.3 离散余弦变换,问题的提出：Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数

13、的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT(Discrete Cosine Transform)变换。,2.3.1 一维离散余弦变换,正变换：,反变换：,特点：（1）无虚数部分（2）正变换核与反变换核一样,2.3.1 一维离散余弦变换,其变换核为：,满足正交完备条件。,实奇函数的DFT:若,则，仅有正弦项的虚部。,实偶函数的DFT:若,则,，仅有余弦项的实部。,偶函数的构造（1）奇对称的偶函数（a）原图像（b）奇对称的偶函数（c）偶对称的偶函数（2）偶对称的偶函数,二维离散余弦变换（2D-DCT）公式将构造的偶函数代入2D-DFT公式，进行整理后

14、就得到2D-DCT公式：2D-DCT的反变换定义为：式中：，,2.3.2 二维离散余弦变换,1.正变换,F(0,v),F(u,v),2.3.2 二维离散余弦变换,2.反变换,2.3.2 二维离散余弦变换,其变换核为：,2.3.2 二维离散余弦变换,变换核是可分离的。二维DCT可分解为二次一维DCT。离散余弦变换对应于傅里叶变换中的实数部分。计算机中可以快速实现。,2.3.3 离散余弦变换的矩阵表示方法,一维离散余弦变换：,正变换：,反变换：,二维离散余弦变换：,正变换：,反变换：,C为离散余弦变换矩阵，CT为C的转置矩阵,2.3.3 离散余弦变换的矩阵表示方法,由此例可看出：DCT将能量集中于

15、频率平面的左上角。,2.3.3 离散余弦变换的矩阵表示方法,3.举例,图像经DCT后,能量集中于频率平面的左上角。DCT用于图像数据压缩。,DCT变换的应用：余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。余弦变换主要用于图像的压缩和语音处理，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT 相似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。,2.3.4 离散余弦变换的应用,2.4 沃尔什变换(Walsh Transform),傅立叶变换和余弦变换:适合于频域处理，可硬件实现，精度高。快速算法，复数运算，乘法，速度慢。Walsh变换:快速算法，实数运算，加减法，速度快，可硬件实现

16、，精度低，适用于计算机技术和数字信号处理等。,2.4.1 引言,2.4 沃尔什(Walsh)变换,拉德梅克(Rademacher)函数的定义:,其中：n为序号，n=0，1，N-1 t为连续时间变量把正弦函数无限放大得到。,拉德梅克(Rademacher)函数:,（2）是一个不完备的函数，只有奇函数，不能用于变换。,拉德梅克函数的特点：,（1）是正交函数族。,（3）其值为+1或-1。,2.4.2 Walsh函数,1.连续Walsh函数的定义,(1)Walsh序的Walsh函数,定义:,其中:,2.4 沃尔什(Walsh)变换,二进制码 格雷码n b2b1b0 g2g1g00 000 0001 0

17、01 0012 010 0113 011 0104 100 1105 101 1116 110 1017 111 100,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.2 Walsh函数,二进制码 格雷码n b2b1b0 g2g1g00 000 0001 001 0012 010 0113 011 0104 100 1105 101 1116 110 1017 111 100,Walsh序的Walsh函数的特点:(1)是完备的正交函数,序号为偶数的是偶函数,序号为奇数的是奇函数;可用于正交变换。(2)一个周期内,过零点数与序号一致.,2.4.2 Walsh函数,(2)Hadamard序的Walsh

18、函数,二进制码 倒序码n b2b1b0 I2I1I00 000 0001 001 1002 010 0103 011 1104 100 0015 101 1016 110 0117 111 111,2.4 沃尔什(Walsh)变换,定义:,(2)Hadamard序的Walsh函数,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.2 Walsh函数,2.离散Walsh函数的定义,定义:,(1)Walsh序的离散Walsh函数,其中:,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.2 Walsh函数,定义:,例:N=8,n=0,1,7,t=0,1,7 计算WW(4,0),n=4=(100)2t=0=(000

19、)2t的格雷码g=(000)2,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.2 Walsh函数,(1)Walsh序的离散Walsh函数,(1)Walsh序的离散Walsh函数,例:N=8,n=0,1,7,t=0,1,7 计算WW(4,t),同理，可求出：,实际上，这个序列就是从连续的Walsh序的Walsh函数WW（4，t）在等间距的N个点上的抽样（取中间值）,(1)Walsh序的离散Walsh函数,例:N=8,n=0,1,7,t=0,1,7,同理，可求出：WW(n,t),Walsh序的Walsh矩阵,定义:,(2)Hadamard序的离散Walsh函数,例:N=8,n=0,1,7,t=0,1,

20、7 计算WH(4,t),这个序列可看成从连续的Hadamard序的Walsh函数WH（4，t）在等间距的N个点上的抽样而得到。,2.离散Walsh函数的定义,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.2 Walsh函数,(2)Hadamard序的离散Walsh函数,Hadamard序的Walsh矩阵,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.2 Walsh函数,3.Walsh矩阵,(1)Walsh序的Walsh矩阵,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.2 Walsh函数,3.Walsh矩阵,(2)Hadamard序的Walsh矩阵,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.2 Walsh

21、函数,2.4.2 Walsh函数,2.4 沃尔什(Walsh)变换,(2)Hadamard序的Walsh矩阵,一般来说：,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.2 Walsh函数,3.Walsh矩阵,2.4.3 一维离散Walsh变换(WT),1.定义,正变换:,反变换:,注意:Walsh正、反变换的变换核都一样！,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.3 一维离散Walsh变换(WT),2.一维离散Walsh变换的矩阵算法,正变换:,展开：,令：,IWT：,注意:（1）正反变换的变换矩阵W都一样；（2）W代表Walsh序的Walsh矩阵。,2.4 沃

22、尔什(Walsh)变换,2.4.3 一维离散Walsh变换(WT),注意:当变换矩阵为Hadamard矩阵HN时,称为Hadamard序的 Walsh变换。变换矩阵如下写法：,IWHT：,其中H为Hadamard序的Walsh矩阵。,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.3 一维离散Walsh变换(WT),Walsh序的Walsh变换：,IWT：,WT：,反变换：,正变换：,举例:,求Walsh序的一维离散Walsh变换F(u)。用WHT。,用WHT：,用WT：,结果为Walsh序,结果为Hadamard序,对应关系W序 H序0 01 22 33 1,IWT：,WHT：,Hadamard序

23、的Walsh变换：,3.Walsh序和Hadamard序的相互转换,变换结果为Hadamard序的，要转换为Walsh序,可以推导出以下转换方法（N=4）：,二进制码格雷码倒序码 00 00 00 01 01 10 10 11 11 11 10 01（W序）（H序）,对应关系W序 H序0 01 22 33 1,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.3 一维离散Walsh变换(WT),N=8时的转换方法：,二进制码 格雷码倒序码 000 000 000 001 001 100 010 011 110 011 010 010 100 110 011 101 111 111 110 101 10

24、1 111 100 001（W序）（H序）,对应关系W序 H序0 01 42 63 24 35 76 57 1,对应关系W序 H序0 01 42 63 24 35 76 57 1,连续Walsh函数的定义,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.3 一维离散Walsh变换(WT),变换结果为Hadamard序的，要转换为Walsh序,对应关系W序 H序0 01 22 33 1,用WHT：,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.3 一维离散Walsh变换(WT),4.一维Walsh变换的物理意义,正如一维傅立叶变换（连续）是将一个函数分解成无穷个正弦波的叠加，而傅立叶幅度谱是这些正弦波的幅

25、度系数。,一维Walsh变换（连续）是将一个函数分解成无穷个Walsh函数（方波）的叠加，而F(u)是这些Walsh函数的幅度系数.,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.3 一维离散Walsh变换(WT),2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.3 一维离散Walsh变换(WT),2.4.4 快速Walsh变换(FWT),1.快速Walsh-Hadamard变换,以N=8为例,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.4 快速Walsh变换(FWT),2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.4 快速Walsh变换(FWT),2.4 沃尔什(Walsh)变换,FWHT流程图(N=8),

26、规律性:每个蝶形运算都是上加下减.,结果为Hadamard序,必须转换为Walsh序,FWHT举例:若求FH(u)的反变换,采用与正变换同一流程,只是不乘系数1/8.,求f(x).,也可推导出FWT的流程图(N=8):,规律性:先将f(x)进行码位倒置.每次迭代中,偶数分组每个蝶形运算都是上减下加,奇数分组每个蝶形运算则是上加下减.结果为Walsh序.,2.快速Walsh变换（FWT）,快速Walsh反变换与正变换用同样流程,2.4.5 二维离散Walsh变换,1.定义:,正变换:,反变换:,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.矩阵算法:,WT：,其中：W为Walsh矩阵,WHT：,其中：H

27、为Hadamard矩阵,2.4.5 二维离散Walsh变换,2.4 沃尔什(Walsh)变换,3.矩阵算法举例:,WT：,正变换:,反变换:,3.矩阵算法举例:,用WHT：,正变换：,结果是Hadamard序，,必须再转换为Walsh序。,离散沃尔什变换DWT举例,例：求二维数字图像的DWT,当N=4时，沃尔什核矩阵(佩利序)为：,4.实际图像变换举例:,WT将能量集中于频率平面的左上角,移中FT将能量集中于频率平面的中央,二维离散Walsh变换的应用用于图像数据压缩,2.4 沃尔什(Walsh)变换,例：,复原后图像,2.4 沃尔什(Walsh)变换,2.4.6 二维离散Walsh变换的应用

28、用于图像数据压缩,2.5 Karhunen-Loeve变换,变换核是变化的，随着图像统计性质不同而有不同的变换核矩阵。输入为同一副图像的不同内容。主要用于图像压缩和识别。,2.5 Karhunen-Loeve变换,对一个向量用确定的正交完备归一向量系 展开：,使用有限项来估计x，即：,引起的均方误差为：,2.5 Karhunen-Loeve变换,根据拉格朗日定理，取极值：,以矩阵 的特征向量作为坐标轴来展开x是，其截断均方误差具有极值性质。,以有限项逼近时，引起的均方误差和在所有其他正交坐标系下展开时所引起的均方误差最小。,2.5 Karhunen-Loeve变换,K-L变换的一个重要性质是它

29、的展开系数是无关的：,系数的方差就是对应的特征值：,通过K-L变换，消除了原有向量x分量之间的相关性，从而有可能去掉那些带有较少信息的坐标轴以达到降维的目的。,2.5 Karhunen-Loeve变换,通常也可把数据的协方差矩阵作为K-L坐标系的产生矩阵：,要求出以上矩阵的特征值和特征向量比较困难，因此通常采用奇异值分解方法进行计算。,奇异值分解（SVD）：,2.5 Karhunen-Loeve变换,2.5 Karhunen-Loeve变换,其 变换公式为：,U为协方差矩阵的特征向量组成；为图像矩阵的均值向量。,图像压缩时改变U矩阵的大小，去掉对应于特征值较小的特征向量；重建图像时采用补零方法。此时，所得到的变换结果在截断后是最小均方意义上最优。,图像识别应用：训练过程：1.计算训练图像的平均值2.计算图像差值3.构造协方差矩阵4.计算特征值和特征向量5.求归一化特征向量6.向特征向量空间投影,图像识别应用：识别过程：1.计算图像差值2.向特征向量空间投影3.计算投影距离4.根据识别规则判别,参考书,阮秋琦.数字图像处理.电子工业出版社，2003章毓晋.图像工程(上中下).清华大学出版社，2006容观澳.计算机图像处理.清华大学出版社，1999R.C.Gonzales(美).数字图像处理.电子工业出版社，2004,