数字信号处理 第5章.ppt

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1、5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构 5.5 线性相位结构 5.6 频率采样结构 5.7 格型网络结构 习题与上机题,第5章 时域离散系统的网络结构,5.1 引 言一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入、输出服从N阶差分方程：（5.1.1）则其系统函数H(z)为(5.1.2),为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理（运算），必须把（5.1.1）式或者（5.1.2）式变换成一种算法，按照这种算法对输入信号进行运算。其实(5.1.1)式就是对输入信号的一种直接算法，如果

2、已知输入信号x(n)以及ai、bi和n时刻以前的y(ni)，则可以递推出y(n)值。但给定一个差分方程，不同的算法有多种，例如：,可以证明以上H1(z)=H2(z)=H3(z)，但它们具有不同的算法。不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等，因此研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。我们用网络结构表示具体的算法，因此网络结构实际表示的是一种运算结构。这一章是第9章数字信号处理实现的必要基础。在介绍数字系统的基本网络结构之前，先介绍网络结构的表示方法。,5.2 用信号流图表示网络结构观察（）式可知，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。三种基本运算框

3、图及其流图如图所示。,图5.2.1 三种基本运算的流图表示,z1与系数a作为支路增益写在支路箭头旁边，箭头表示信号流动方向。如果箭头旁边没有标明增益，则认为支路增益是。两个变量相加，用一个圆点表示（称为网络节点），这样整个运算结构完全可用这样一些基本运算支路组成，图所示的就是这样的流图，该图中圆点称为节点，输入x(n)的节点称源节点或输入节点，输出y(n)称为吸收节点或输出节点。每个节点处的信号称节点变量，这样信号流图实际上是由连接节点的一些有方向性的支路构成的。和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。在图中，,图5.2.2 信号流图,不同的信号流图代表不同的

4、运算方法，而对于同一个系统函数可以有多种信号流图与之相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图。（1）信号流图中所有支路都是基本支路，即支路增益是常数或者是z1；（2）流图环路中必须存在延迟支路；（3）节点和支路的数目是有限的。,图（a）是基本信号流图，图中有两个环路，环路增益分别为a1z1和a2z2，且环路中都有延时支路，而图（b）不是基本信号流图，它不能决定一种具体的算法，不满足基本信号流图的条件。根据信号流图可以求出网络的系统函数，方法是列出各个节点变量方程，形成联立方程组，并进行求解，求出输出与输入之间的z域关系。【例】求图（a）信号流图决定的系统函数H(z)。解 图（a）

5、信号流图的节点变量方程为(5.2.1)式，对（）式进行Z变换，得到：,经过联立求解得到：当结构复杂时，上面利用节点变量方程联立求解的方法较麻烦，不如用梅逊（Masson）公式直接写H(z)表示式方便。关于梅逊公式请参考本书附录A。,一般将网络结构分成两类，一类称为有限长单位脉冲响应网络，简称FIR（Finite Impulse Response）网络，另一类称为无限长单位脉冲响应网络，简称IIR（Infinite Impulse Response）网络。FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：（5.2.2）其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照（5.2.2）式，h(

6、n)表示为,另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在反馈环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如，一个简单的一阶IIR网络的差分方程为其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述其网络结构。,5.3 无限长脉冲响应基本网络结构IIR网络的基本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型。1 直接型将N阶差分方程重写如下：对应的系统函数为,设M=N=2，按照差分方程可以直接画出网络结构如图5.3.1(a)所示。图中第一部分系统函数用H1(z)表示，第二部分用H2(z)表示，那么H(z)=H1(z)Hz(z)，当然也可以写成H

7、(z)=H2(z)H1(z),按照该式，相当于将图5.3.1(a)中两部分流图交换位置，如图5.3.1(b)所示。该图中节点变量w1=w2，因此前后两部分的延时支路可以合并，形成如图5.3.1(c)所示的网络结构流图，我们将图5.3.1(c)所示的这类流图称为IIR直接型网络结构。,M=N=2时的系统函数为对照图5.3.1(c)的各支路的增益系数与H(z)分母分子多项式的系数可见，可以直接按照H(z)画出直接型结构流图。,图5.3.1 IIR网络直接型结构,【例5.3.1】设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。解 由H(z)写出差分方程如下：按照差分方程画出如图5.3

8、.2所示的直接型网络结构。,图5.3.2 例5.3.1图,上面我们按照差分方程画出了网络结构，也可以按照H(z)表达式，直接画出直接型网络结构，这里需要用到Masson公式。下面讲述直接型的MATLAB的表示与实现。在MATLAB中，直接型结构由2个行向量B和A表示，B和A与数字滤波器系统函数的关系如下：A=a0,a1,a2,aN,B=b0,b1,b2,bM,则直接型系统函数为调用1.4.2节介绍的MATLAB 信号处理工具箱函数filter就是按照直接型结构实现滤波器。如果滤波器输入信号向量为xn，输出信号向量为yn，则yn=filter(B,A.xn)按照直接型结构实现对xn的滤波，计算系

9、统对输入信号向量xn的零状态响应输出信号向量yn，yn与xn长度相等。,2 级联型在（5.1.2）式表示的系统函数H(z)中，分子、分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数。现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到：（5.3.1）式中,A是常数;Cr和dr分别表示H(z)的零点和极点。由于多项式的系数是实数，Cr和dr是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数；再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络Hj(z)。,图5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构,【例5.3.2】设系统函数H(z)如下式：试画出其级联型网络结构

10、。解 将H(z)的分子、分母进行因式分解，得到：为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络，画出级联结构图如图5.3.4所示。,图5.3.4 例5.3.2图,级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。在（）式中，调整0j、1j和2j三个系数可以改变一对零点的位置，调整1j和2j可以改变一对极点的位置。因此，相对直接型结构，其优点是调整方便。此外，级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。,3 并联型如果将级联形式的H(z)展成部分分式形式，则得到：（5.3.4）

11、对应的网络结构为这k个子系统并联。上式中，Hi(z)通常为一阶网络或二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为,式中，0i、1i、1i和2i都是实数。如果1i=2i=0，则构成一阶网络。由（5.3.4）式，其输出Y(z)表示为上式表明将x(n)送入每个二阶（包括一阶）网络后，将所有输出加起来得到输出y(n)。【例5.3.3】画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。解 将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图5.3.5所示。,图5.3.5 例5.3.3图,在这种并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭

12、极点，因此调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。另外，各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影响，不像直接型和级联型那样有误差积累，因此，并联形式运算误差最小。由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构与直接型和级联型比较，其运算速度最高。,MATLAB信号处理工具箱提供了14种线性系统网络结构变换函数，实现各种结构之间的变换。可惜缺少并联结构于其他结构之间的变换函数，参考文献10，18中开发了直接型与并联型的相互变换函数tf2par和par2tf。本书涉及的3种常用结构（直接型、级联型、格型）之间的变换函数有如下4种：(1)tf2sos 直接型到级联型结构变换。(

13、2)sos2tf 级联型到直接型网络结构的变换。(3)tf2latc 直接型到格型结构变换。(4)latc2tf 格型到直接型结构变换。,下面先简要介绍变换函数tf2sos和sos2tf及其调用格式，tf2latc 和 latc2tf在5.7节介绍。(1)S,G=tf2sos(B,A):实现直接型到级联型的变换。B和A分别为直接型系统函数的分子和分母多项式系数向量，当A=1时，表示FIR系统函数。返回L级二阶级联型结构的系数矩阵S和增益常数G。,S为L6矩阵，每一行表示一个二阶子系统函数的系数向量，第k行对应的2阶系统函数为级联结构的系统函数为 H(z)=H1(z)H2(z)HL(z),例的求

14、解程序如下：B=8，4，11，2；A=1，1.25，0.75，0.125；S，G=tf2sos(B,A)运行结果：S=1.0000 0.1900 0 1.0000 0.2500 0 1.0000 0.3100 1.3161 1.0000 1.0000 0.5000G=8,该结果与例5.3.2所得结果等价，但本程序结果更标准。(2)B,A=sos2tf(S,G)：实现级联型到直接型网络结构的变换。B、A、S和G的含义与S,G=tf2sos(B,A)中相同。,5.4 有限长脉冲响应基本网络结构FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其

15、系统函数H(z)和差分方程分别为1 直接型按照H(z)或者卷积公式直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。,图5.4.1 FIR直接型网络结构,2 级联型将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。【例5.4.1】设FIR网络系统函数H(z)如下式：画出H(z)的直接型结构和级联型结构。解 将H(z)进行因式分解，得到：其级联型结构和直接型结构如图5.4.2所示。,图5.4.2 例5.4.1图,例的求解程序如下：B=0.96,2,2.

16、8,1.5;A=1;S,G=tf2sos(B,A)运行结果：S=1.0000 0.8333 0 1.0000 0 0 1.0000 1.2500 1.8750 1.0000 0 0G=0.9600,级联结构的系统函数为H(z)=0.96(1+0.833z1)(1+1.25z1+1.875z2)级联型结构每一个一阶因子控制一个零点，每一个二阶因子控制一对共轭零点，因此调整零点位置比直接型方便，但H(z)中的系数比直接型多，因而需要的乘法器多。在例中直接型需要四个乘法器，而级联型则需要五个乘法器。分解的因子愈多，需要的乘法器也愈多。另外，当H(z)的阶次高时，也不易分解。因此，普遍应用的是直接型。

17、,5.5 线性相位结构 线性相位结构是FIR系统的直接型结构的简化网络结构，特点是网络具有线性相位特性，比直接型结构节约了近一半的乘法器。第7章将证明，如果系统具有线性相位，它的单位脉冲响应满足下面公式:,（）,观察（）式，运算时先进行方括号中的加法（减法）运算，再进行乘法运算，这样就节约了乘法运算。按照这两个公式，第一类线性相位网络结构的流图如图所示，第二类线性相位网络结构的流图如图所示。和直接型结构比较，如果N取偶数，直接型需要N个乘法器，而线性相位结构减少到N/2个乘法器，节约了一半的乘法器。如果N取奇数，则乘法器减少到(N1)/2个，也近似节约了近一半的乘法器。,图5.5.1 第一类线

18、性相位网络结构流图,图5.5.2 第二类线性相位网络结构流图,5.6 频率采样结构我们已经知道，频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓。如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的Z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式：（5.6.1）,设FIR滤波器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZTh(n)，则(5.6.1)式中H(k)用下式计算:要求频率域采样点数NM。（5.6.1）式提供了一种称为频率采样的网络结构。由于这种结构是通过频域采样得来的，存在时域混叠的问题，因此不适合IIR系统，只适合FIR系统。但这种网络

19、结构中又存在反馈网络，不同于前面介绍的FIR网络结构，下面进行分析。,将（）式写成下式：（）式中Hc(z)是前面学习过的梳状滤波器，Hk(z)是IIR的一阶网络。这样，H(z)是由梳状滤波器Hc(z)和N个一阶网络Hk(z)的并联结构进行级联而成的，其网络结构如图所示。我们看到该网络结构中有反馈支路，它是由Hk(z)产生的，其极点为,即它们是单位圆上有等间隔分布的N个极点，第2章已学过Hc(z)是一个梳状滤波网络，其零点为刚好和极点相同，也是等间隔地分布在单位圆上。理论上，极点和零点相互抵消，保证了网络的稳定性，使频率域采样结构仍属FIR网络结构。,图5.6.1 FIR滤波器频率采样结构,频率

20、域采样结构有两个突出优点：（1）在频率采样点k处，,只要调整H(k)（即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)），就可以有效地调整频响特性，使实践中的调整方便，可以实现任意形状的频响曲线。（2）只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便可以标准化、模块化。各支路增益可做成可编程单元，生产可编程FIR滤波器。,然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：（1）系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点相互对消保证的。实际上，因为寄存器字长都是有限的，对网络中支路增益 量化时产生量化误差，可能使零极点不能完全对消，从而

21、影响系统稳定性。（2）结构中，H(k)和 一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。,首先将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r1且r1。此时H(z)为（5.6.3）式中，Hr(k)是在r圆上对H(z)的N点等间隔采样之值。由于r1，因此可近似取Hr(k)H(k)。这样，零极点均为。如果由于实际量化误差，零极点不能抵消时，极点位置仍处在单位圆内，保持系统稳定。,另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(Nk)。而且，我们将H

22、k(z)和HNk(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则,图5.6.2 频率采样修正结构,N等于奇数的修正结构由一个一阶网络和(N1)/2个二阶网络结构构成。由图可见，当采样点数N很大时，其结构显然很复杂，需要的乘法器和延时单元很多。但对于窄带滤波器，大部分频率采样值H(k)为零，从而使二阶网络个数大大减少。所以频率采样结构适用于窄带滤波器。,5.7 格型网络结构5.7.1 全零点格型网络结构1.全零点格型网络的系统函数全零点格型网络结构的流图如图所示。该流图只有直通通路，没有反馈回路，因此可称为FIR格型网络结构。观察该图，它可以看成是由图的基本单元级联而成。,图5.7.1 全零点格型

23、网络结构,图5.7.2 基本单元,2.由FIR直接型网络结构转换成全零点格型网络结构假设N阶FIR型网络结构的系统函数为(5.7.9)式中,h(0)=1;h(n)是FIR网络的单位脉冲响应。令ak=h(k)，得到:(5.7.10)式中，a0=h(0)=1;kl为全零点格型网络的系数,l=1,2,N。,下面仅给出转换公式，推导过程请参考文献19：(5.7.11)(5.7.12)(5.7.13)式中,l=N,N1,1。,解释 公式中的下标k（或l）表示第k(或l)个系数，这里FIR结构和格型结构均各有N个系数;(5.7.13)式是一个递推公式，上标（带圆括弧）表示递推序号，从（N）开始，然后是N1

24、,N2,2；注意(5.7.12)式，当递推到上标圆括弧中的数字与下标相同时，格型结构的系数kl刚好与FIR的系数相等。下面举例说明。【例 5.7.1】将下面三阶FIR系统函数3(z)转换成格型网络，要求画出该FIR直接型结构和相应的格型网络结构流图。,解 例题中N=3,按照(5.7.11)式，有 由(5.7.12)式，得到:按照(5.7.13)式，递推得到:,l=3,k=1时,l=3,k=2时,l=2,k=1时,最后按照算出的格型结构的系数，画出三阶FIR直接型结构和三级格型网络结构流图如图 5.7.3所示。,图5.7.3 例5.7.1图,略去由全零点格型网络结构转换到FIR直接型网络结构的公

25、式，如需要了解该内容，请参考文献19。实际上，调用MATLAB函数实现直接型网络结构与格型网络结构之间的相互转换非常容易。tf2latc实现直接型到格型结构变换，latc2tf 实现格型到直接结型结构变换。K=tf2latc(hn):求FIR格型结构的系数向量K=k1,k2,kN,hn为FIR滤波器的单位脉冲响应向量，并关于hn(1)=h(0)归一化。应当注意，当FIR系统函数在单位圆上有零极点时，可能发生转换错误。,hn=latc2tf(K)将FIR格型结构转换为FIR直接型结构。K为FIR格型结构的系数向量K，hn为FIR滤波器的单位脉冲响应向量，即FIR直接型结构系数向量。显然，该函数可

26、以用于求格型结构的系统函数的系数。例 的求解程序如下：hn=1,0.9,0.64,0.576;K=tf2latc(hn)运行结果：K=0.6728 0.1820 0.5760与上面的递推结果相同。,5.7.2 全极点格型网络结构全极点IIR系统的系统函数用下式表示:(5.7.14)(5.7.15)式中,A(z)是FIR系统，因此全极点IIR系统H(z)是FIR系统A(z)的逆系统。下面先介绍如何将H(z)变成A(z)。假设系统的输入和输出分别用x(n)、y(n)表示，由(5.7.17)式得到全极点IIR滤波器的差分方程为,图5.7.4 全极点IIR系统的直接型结构,由于重新定义了输入输出，将e

27、l(n)按降序运算，rl(n)不变，即,图5.7.5 全极点IIR格型结构,当x(n)和y(n)分别作为输入和输出时，（）式就是一个全极点的差分方程，由（）（）式描述的结构就是一阶的单极点格型网络，如图5.7.6(a)所示。如果N2，可得到下面方程组:,图5.7.6 单极点和双极点IIR格型网络结构,（）,由上面分析知道,全极点网络可以由全零点格型网络形成，这是一个求逆的问题。对比全零点格型结构和全极点结构，可以归纳出下面的一般求逆准则：（1）将输入到输出的无延时通路全部反向，并将该通路的常数支路增益变成原常数的倒数（此处为1）；（2）将指向这条新通路的各节点的其它节点的支路增益乘以1；（3）

28、将输入输出交换位置。,调用MATLAB 转换函数可以实现全极点系统的直接型和格型结构之间的转换。K=tf2latc(1,A):求IIR全极点系统格型结构的系数向量K，A为(5.7.14)式给出的IIR全极点系统函数的分母多项式A（z）的系数向量。具有零点和极点的IIR格型网络称为格梯型网络结构，这部分内容请参考文献19。K,V=tf2latc(B,A):求具有零点和极点的IIR格型网络系数向量K，及其梯型网络系数向量V。应当注意，当IIR系统函数在单位圆上有极点时，可能发生转换错误。,B，A=latc2tf(K,allpole):将IIR全极点系统格型结构转换为直接型结构。K为IIR全极点系统

29、格型结构的系数向量，A为IIR全极点系统系数函数的分母多项式A（z）的系数向量。显然，该函数可以用于球格型结构的系统函数，这时分子为常数1，所以B=1。B，A=latc2tf(K,V)：将具有零点和极点的IIR格梯型网络结构转换为直接型结构。例如：,则求IIR全极点系统格型结构系数向量K的程序为A=1,13/24,5/8,1/3;K=tf2latc(1,A)运行结果：K=0.2500 0.5000 0.3333对上面所求格型结构的系数向量K，调用latc2tf求其对应的格型结构的系统函数的程序如下：K=0.2500，0.5000，0.3333；B,A=latc2tf(K,allpole)运行结

30、果：B=1 0 0 0 A=1.0000 0.5417 0.6250 0.3333,对应的系统函数为下面再推导全极点网络结构的传输函数，将(5.7.21)和(5.7.22)式进行Z变换，得到:,（）,（）,习题与上机题1.已知系统用下面差分方程描述:试分别画出系统的直接型、级联型和并联型结构。式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。2 设数字滤波器的差分方程为 试分别画出系统的直接型、级联型和并联型结构。,3.设系统的差分方程为 式中,|a|1，|b|1,试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。4.设系统的系统函数为 试画出各种可能的

31、级联型结构，并指出哪一种最好。,5 题5图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。6 题6图中画出了10种不同的流图，试分别写出它们的系统函数及差分方程。,题5图,题6图,7.假设滤波器的单位脉冲响应为 求出滤波器的系统函数，并画出它的直接型结构。8.已知系统的单位脉冲响应为 试写出系统的系统函数，并画出它的直接型结构。9.已知FIR滤波器的系统函数为 试画出该滤波器的直接型结构和线性相位结构。,10 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为:(1)N=6h(0)=h(5)=15h(1)=h(4)=2h(2)=h(3)=3(2)N=7h(0)=h(

32、6)=3h(1)=h(5)=2h(2)=h(4)=1h(3)=0试画出它们的线性相位型结构图，并分别说明它们的幅度特性、相位特性各有什么特点。,15 写出题15图中系统的系统函数和单位脉冲响应。16.画出题15图中系统的转置结构，并验证两者具有相同的系统函数。17.用b1和b2确定a1、a2、c1和c0，使题17图中的两个系统等效。,题15图,题17图,18.对于题18图中的系统，要求：（1）确定它的系统函数（2）如果系统参数为（a）b0=b2=1,b1=2,a1=1.5,a2=0.9（b）b0=b2=1,b1=2,a1=1,a2=2画出系统的零极点分布图，并检验系统的稳定性。,题18图,19

33、*.假设滤波器的系统函数为在单位圆上采样六点，选择r0.95，试画出它的频率采样结构，并在计算机上，用DFT求出频率采样结构中的有关系数。20.已知FIR滤波器的系统函数为：（1）H(z)=1+0.8z1+0.65z2（2）H(z)=10.6z1+0.825z20.9z3试分别画出它们的直接型结构和格形结构，并求出格型结构的有关参数。,21.假设FIR格型网络结构的参数k1=0.08,k2=0.217,k3=1.0,k4=0.5，求系统的系统函数并画出FIR直接型结构。22.假设系统的系统函数为 要求:（1）画出系统的直接型结构以及描述系统的差分方程;（2）画出相应的格形结构，并求出它的系数;（3）判断系统是否是最小相位。,