数列的极限与无穷大量.ppt

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1、1,2023/11/14,Chapt 2 数列与极限,严格的证明是数学的标志,这是数学对于文化修养所提供的不可缺少的营养,一个学生若对数学证明从未留下印象,那他就缺少了一种基本的思维经历.-波利亚(Polya,G.)数学的主要目标是大众的利益和对自然现象的解释.-傅里叶(Fourier,J.B.J.),Chapt 2.极限与连续,2,2023/11/14,本章主要内容 1.数列极限和无穷大 2.函数的极限 3.连续函数 4.无穷小量和无穷大量的阶,Chapt 2.极限与连续,3,2023/11/14,Chapt 2.极限与连续,教学目的:本章讨论的极限与连续概念和性质,是贯穿数学分析课程的基本

2、方法与工具.后面全部内容的研究都要用到.所以这部分内容既是重点同时也是难点.教学要求:务必深刻理解和熟练掌握极限与连续的概念和性质及其运算方法,这是学好本课程的基础与关键.,4,2023/11/14,本 节 内 容,一、数列极限的定义二、数列极限的性质三、数列极限的运算四、单调有界数列五、无穷大量的定义六、无穷大量的性质和运算七、小结 思考题,5,2023/11/14,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽,1、割圆求周,播放,极限思想：,6,2023/11/14,讨论圆内接正多边形与该圆周的关系,（1）在任何有限的过程中，即对任何确定的n，皆为 的近似值；

3、（2）在无限的过程中，即当n无限增大时，无限接近于常数 的精确值。,是 当n无限增大时的极限,7,2023/11/14,圆面积亦如此。,8,2023/11/14,2、截丈问题,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,9,2023/11/14,一、数列极限的定义,1.数列:是按一定次序排列的一列无穷多个数,数列是定义在自然数集N上的函数。即以N为定义域并且由小到大取值所对应的一列函数值(集合)。,对，设，则,函数值：,自变量：,10,2023/11/14,例如：,0,1,摆动！,无限增大!,考虑数列(以下例定性定量分析),11,2023/11/14,播放,定性分析：当n无限增大时，无限趋近于1，数1即

4、所谓 的“极限”。,12,2023/11/14,定量分析：无限趋近于1是指：当 n 充分大时,能任意小，并保持任意小。,例如：,即 自然数10，当n10时，有,13,2023/11/14,由不等式有，故只须 即可。,以上还不能说明 任意小，并保持任意小，毕竟它们都还是确定的数。,自然数，当 时，便有,定量定义：,则称数1是 的极限。,14,2023/11/14,若数列不存在极限,则称数列是发散的.如 是发散数列.,15,2023/11/14,、数列极限的几何解释:,16,2023/11/14,邻域法定义,可见：数列是否有极限，只与它从某一项以后有关，而与它前面的有限个项无关。因此，在讨论数列极

5、限时，可添加、去掉或改变其有限个项的数值，对数列收敛性和极限都无影响。,？,17,2023/11/14,（2）N的存在性与非唯一性，且N仅与 有关而与n无关。,（1）正数 绝对的任意性和相对固定性。,4、关于数列极限定义的几点理解,（3）当 时，即以零为极限的数列 称为无穷小量。,无穷小量不是很小的量。,18,2023/11/14,19,2023/11/14,例1,证:,方法1：直接解不等式,数列极限的定义未给出求极限的方法.,注意：,(不妨设),20,2023/11/14,例2,证：,放大,21,2023/11/14,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N

6、.,方法2：若 不易求解，可设法先把 适当地放大，再由 求解N.,22,2023/11/14,证明：分三种情况证明.(方法一),或,(这里即不是最小的N),23,2023/11/14,（方法二）,由二项式定理，有,24,2023/11/14,25,2023/11/14,26,2023/11/14,缩小分母，适当放大,27,2023/11/14,28,2023/11/14,29,2023/11/14,30,2023/11/14,(,),b,a,x,(,),二、数列极限的性质,定理1所指出的实质问题是两个收敛数列的极限大小与这两个数列的充分远片段中项的大小的关系问题。,31,2023/11/14,

7、推论1所指出的实质问题是两个收敛数列的充分远片段中项的大小与这两个数列的极限大小的关系问题。,32,2023/11/14,推论2特殊情况所指出的实质问题是一个收敛数列的极限符号与这个数列的充分远片段中项的符号的关系问题。,33,2023/11/14,Th2.（唯一性）收敛数列的极限是唯一的。,34,2023/11/14,称“两边夹”法则,证毕,Th3所指出的问题的实质是三个收敛数列的极限之间的关系。,35,2023/11/14,36,2023/11/14,由两面夹法则，得证。,由两面夹法则，得证。,放大,37,2023/11/14,分析：观察函数结构，构造出定理给出的结构形式，然后应用定理。,

8、*,由两面夹法则，得证。,38,2023/11/14,Def:,39,2023/11/14,40,2023/11/14,Th4.有极限（收敛）的数列是有界的。,举出反例即可。,41,2023/11/14,三、数列极限的运算,（常数）,42,2023/11/14,43,2023/11/14,44,2023/11/14,注1.两数列收敛仅是极限运算成立的充分条件，而非必要条件。例 如：,45,2023/11/14,注2.极限运算可推广到有限多个数列的情形，但对无穷多个却不成立。,46,2023/11/14,47,2023/11/14,48,2023/11/14,49,2023/11/14,50,2

9、023/11/14,四.单调有界数列,Def:,若等号都不成立，则称它是严格单调增加（或减少）的。,Th（实数连续性）单调有界数列必有极限。,51,2023/11/14,放大,52,2023/11/14,53,2023/11/14,五、无穷大量的定义,Def:,54,2023/11/14,极限含义的差别。(记号统一),注,),),.,O,-G,G,x,55,2023/11/14,56,2023/11/14,57,2023/11/14,58,2023/11/14,六、无穷大量的性质和运算,Th.,59,2023/11/14,60,2023/11/14,61,2023/11/14,62,2023/11/14,63,2023/11/14,64,2023/11/14,七、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、定义、几何意义;,收敛数列的性质:保号性、唯一性、“两边夹法则”、有界性;,数列极限的运算:代数和、积与商;,单调有界数列必有极限。,无穷大量、定义、性质和运算,作业:p54.p56,