数值分析第24讲(ExCht1-9).ppt

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1、,第24讲第1-9章 习题课,一、基本内容及基本要求,第一章、绪论了解数值分析的研究对象与特点。了解误差来源与分类,会求有效数字;会简单误差估计。了解误差的定性分析及避免误差危害。,第1-3章 习题课(绪论、插值、逼近),第二章、插值法了解插值的概念。掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。会三次样条插值,知道其误差和收敛性。,第三章、函数逼近与曲线拟合了解函数逼近的基本概念,了解

2、范数和内积空间。了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理,掌握最佳一次一致逼近多项式的求法。理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多项式的求法,了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换*。,二、练习,P19,5,9.,P59,6,8.,7、P59,4.,P115,1,4(2),6,8,13,15,17(1),19，按基本方法即可，22(选作).,一、数值积分与数值微分,第4-5章 习题课(数值积分和数值微

3、分,解线性方程组的直接法),基本内容及基本要求,了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。了解龙贝格(Romberg)求积算法，知道外推法。会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。了解几种常用的数值微分方法。,二、练习,三、解线性方程组的直接方法,基本内容及基本要求了解求解方程组的两类方法,了解矩阵基础知识。掌握高斯消去法,会矩阵的三角分解。掌握高斯列主元素消去法,了解高斯-若当消去法。掌握直接三角分解法,了解平方根法,会追赶法,了解有关结

4、论。了解向量和矩阵的几种范数。了解矩阵和方程组的性态,会求其条件数。会初等反射阵和平面旋转阵,了解QR分解,了解用正交约化法解超定方程组。,分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组,四、练习,2.设A为n阶对称正定阵，试证:(1)A的对角元素aii0;(2)设L为非奇异阵，则LALT是对称正定阵；(3)经顺序Gauss消去法A化为,求证A2为对称正定.,证明:(1)由正定二次型理论,aii=eiAei0.(或因所有主子式0),(2)因(LALT)T=LALT,故LALT是对称的;又因对于任意x0,则有y=LTx0,从而 xTLALTx=(LTx)TA(LTx)=

5、yTAy 0,故LALT是对称正定阵.,(3)经顺序Gauss消去法A化为,A2是对称的,因为,A2是正定的,这是因为经顺序Gauss消去法A的各阶顺序主子式的值不变,a11A2的k阶顺序主子式=A的k+1阶顺序主子式0,且a110,于是得出A2的各阶顺序主子式0.,3.用带行交换的杜利脱尔分解计算线性代数方程组,AX=b，其中,4.用追赶法求解三对角方程组,一、解线性方程组的迭代法,第6-8章 习题课(线性方程组迭代解法,解非线性方程,矩阵特征值),基本内容及基本要求,了解迭代法及其收敛性的概念。掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR

6、)迭代法。3.了解一阶定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程组迭代法的收敛条件。4.知道分块迭代法。,雅可比迭代法计算公式：对k=0,1,高斯塞德尔迭代法计算公式：对k=0,1,SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,定理7 若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。,定理9 对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当02时，SOR迭代收敛.,定理10 对于线性代数方程组Ax=b，若A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约；则当0w1时，SOR迭代收敛。,二、非线性方程求根,基本内容及基本要求,了

7、解求根问题和二分法。了解不动点迭代法,及不动点存在性和迭代收 敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。3.了解加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛顿法及其收敛性、了解简化牛顿法和牛顿法 下山法,了解重根情形。5.掌握弦截法，了解抛物线法。6.了解非线性方程组的迭代解法。,三、矩阵特征值问题计算,了解特征值和特征向量的概念和性质,了解圆盘定理、Schur定理和Rayleigh商。2.掌握乘幂法，了解其加速收敛技术,会反幂法。3.了解豪斯霍尔德方法。4.了解QR方法。,基本内容及基本要求,反幂法计算公式:,v1=(10,8,1)T,mu1=10u1=(1.0000,0.8000,0.100

8、0)Tv2=(7.2000,5.4000,-0.8000)Tmu2=7.2000u2=(1.0000,0.7500,-0.1111)Tv3=(6.5000,4.7500,-1.2222)Tmu3=6.5000u3=(1.0000,0.7308,-0.1880)T,第九章 常微分方程初值问题数值解法关键词：欧拉法、后退欧拉法、梯形法、显式法、隐式法、（2、3、4阶）龙格库塔法、单步法、线性多步法、ADAMS法、预测-校正法、相容性、收敛性、稳定性（判别法）、收敛阶、局部截断误差、全局截断误差、刚性方程,本章讨论形如,的初值问题的数值解法，其中f（x,y）是已知连续函数，,为给定的初值，假设该初值

9、问题的解存在唯一。,单步法欧拉（Euler）法及其改进形式向前欧拉公式（欧拉折线法或欧拉显格式）,其中h为步长，该方法的局部截断误差阶为O（h2），是一阶方法。2.向后欧拉公式（后退欧拉公式）,3.梯形公式（欧拉公式的改进）,这是二阶隐格式方法。实用中常按下述爹带进行求解：,该方法是二阶方法；如果关于k仅迭代一步，并换,则称该方法为欧拉预估校正方法。,2.显式龙格-库塔方法（Runge-Kutta）方法,一般形式为：,其中Ci为待定权因子，满足,m为所使用的f值的个数，a1=0，ai（i1），bij均是待定参数，随着m取不同的正整数值，便可以得到各阶显式龙格-库塔格式，特别当m=4时，可以得到四阶、经典的龙格-库塔格式：,单步法的收敛性与稳定性单步法的收敛性与稳定性的概念非常重要，有关定义 和结论可见参考教材。,习题，P381-382，1，2，5，8，12,梯形法，带入方程得,