数值分析-课件-第03章函数逼近与曲线拟合.ppt

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1、数值分析,数 值 分 析Numerical Analysis机械与汽车工程学院主讲人：孔胜利2012-09-01,数值分析,第3章 函数逼近与曲线拟合,3.1 函数逼近的概念 3.2 正交多项式3.3 最佳一次逼近多项式3.4 最佳平方逼近3.5 曲线拟合的最小二乘法3.6 最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换,数值分析,3.1函数逼近的概念,函数逼近：对函数类A中给定的函数，记作，要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数，使 与 的误差在某种度量意义下最小。逼近误差：度量逼近好坏的两个标准：一致逼近均方逼近,数值分析,定理1设，则对任何，总存在一个代数多项 式，使在上一致成立。,数值分析,范

2、数与赋范线性空间定义设S为线性空间，若存在唯一实数，满足条件：（1），当且仅当x=0时，；（正定性）（2）；（齐次性）（3）（三角不等式）则称 为线性空间S上的范数，S与 一起称为赋范线性空间。,数值分析,例如，在 上的向量，三种常见范数为称为无穷范数或最大范数，称为1范数称为2范数类似地，对连续函数空间，则 可定义三种常见范数称为无穷范数称为1范数称为2范数,数值分析,内积与内积空间 线性代数中，中两个向量 及 的内积定义为将其推广到一般的线性空间，则有以下定义。定义设X是数域K上的线性空间，对，有K中一个数与之对应，记为，它满足以下条件：（1）（2）（3）（4）则称 为X上u与v的内积。,

3、数值分析,定义设 是有限或无线区间，在 上的非负函数满足条件：（1）（2）对 上的非负连续函数g(x),如果则则称 为 上的一个权函数。,数值分析,3.2 正交多项式,正交多项式定义若，为 上的权函数且满足则称f(x)与g(x)在 上带权 正交。若函数组 满足关系则称 是 上带权 的正交函数族。,数值分析,勒让德（Legendre）多项式当区间为-1，1，权函数 时，由序列 正交化得到的多项式就称为勒让德多项式，并用 表示。切比雪夫（Chebyshev）多项式当区间为-1，1，权函数 时，由序列 正交化得到的多项式就称为切比雪夫多项式，它可表示为,数值分析,3.3 最佳一次逼近多项式,基本概念

4、 在 中求多项式，使其误差这就是通常所谓的最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。,数值分析,3.4 最佳平方逼近,基本概念对 及 中的一个子集 若存在，使则称 是 在子集 中的最佳平方逼近函数。,数值分析,在实际问题中，常常碰到这样的情况：虽然函数的解析式不知道，但通过实验可得出一组数据对，如何利用已知的数据来求出近似函数的解析式？插值法虽然可以做到这点，但它要求所构造的插值曲线严格经过所有数据点。当观察数据有一定的随机误差时，插值曲线也将保留这些误差；若个别点误差太大，则在该点附近的插值效果便不理想。另一方面，以插值多项式为例，实验数据多了，插值多项式的次数便随着提高，给运算带来不便。在许多实际应

5、用问题中，最小二乘法正是构造各种经验公式的有效数值方法。,3.5 数据拟合的最小二乘法,数值分析,拟合曲线的最小二乘法通过对数据组 描点作图分析，如果确定应当用函数类A中的某个函数P*(x)去拟合它，则根据均方逼近在离散情况下的表示式，P*(x)应满足通过此式去求P*(x)称为拟合曲线的最小二乘法。常用的拟合方法是直线拟合和抛物线拟合。,数据拟合的最小二乘法,数值分析,直线拟合若按数据组描点连起来后几乎成直线形，则可用一次多项式函数，即用直线去拟合数据组，其中a,b为待定系数，称为直线拟合或一次拟合。记则应求二元函数Q(a,b)的最小值点。通常这种点应为驻点，即Q(a,b)的梯度等于零的点。,

6、数值分析,从而(a,b)应满足以下方程组式中规定，从而,数值分析,例题1测得函数 的一组实验数据试求拟合这组数据的多项式。解数据对描成点用线连接，接近一条直线，故可采用直线 拟合数据。由数据知：,数值分析,故得方程组从而，拟合直线为,数值分析,实际应用问题中，除直线拟合外，还常用到分式函数、幂函数、指数函数、对数函数为拟合函数。它们虽然不是直线拟合，不是线性最小二乘法问题，但可化为直线问题即线性拟合问题来求解。分式函数：幂函数：指数函数：对数函数：,数值分析,抛物线拟合若数据组 描点作图与抛物线相似，则可选二次多项式为拟合函数，称为抛物线拟合或二次拟合。为确定系数，记差的平方和,数值分析,令Q

7、的梯度，则可建立的方程组，即式中，,数值分析,超定方程组的广义解方程个数多于未知元的个数的线性方程组称为“超定”方程组。它通常是无解的，无解时人们也称它为矛盾方程组。矛盾方程组无解，但可用最小二乘法求得广义解，这种解在应用问题中具有实际意义。例如：求解解本题方程数大于未知数，是“超定”方程组，故无解。为求广义解，作差的平方和,数值分析,令即为原矛盾方程组的广义解。,数值分析,3.6 最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换,当f(x)是周期函数时，用三角函数的多项式来逼近f(x)比用一般的代数多项式更加合适。设f(x)是以 为周期的平方可积函数，用三角多项式做最佳平方逼近函数。由于三角函数族在 0，上是正交函数族，于是f(x)在 0，上的最小平方三角逼近多项式 Sn(x)的系数是,数值分析,其中，称为傅里叶系数。函数f(x)按傅里叶系数展开所得到的级数就称为傅里叶级数。只要 在 0，上分段连续，则级数（*）一致收敛到f(x)。,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,