排列组合二项式.ppt

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1、1.排列和组合的区别和联系：,从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列,从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组,所有排列的的个数,所有组合的个数,解决排列组合综合性问题的一般过程如下:,1.认真审题弄清要做什么事,2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。,3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.,解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略,(三)、常用解题方法及适用题目类型,直接法：特殊元素法、特殊位置法（两者适用某一个或几个元素在指

2、定的位置或不在指定的位置）、捆绑法（两个或两个以上的元素必须相邻）、插空法（两个或两个以上的元素必须不相邻）隔板法（相同的元素分成若干部分，每部分至少一个）及分组问题.间接法（排除法）,优化190页,（八）住店法188页,解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：,一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客人”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。,例9 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（）,A.B.C D.,分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客人”，每个“客人”

3、有7种住宿法，由乘法原理得 种。,注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？,用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。,练习：,（1）把4个不同的小球放入3个分别标有13号的盒子中，允许有空盒子的放法有多少种？（2)将4封信全部投入3个邮筒，可以随意投，有多少种不同的投法？,例6 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？,（五）189页-例2顺序固定问题用“除法”,对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.,所以共有 种。,分析：先在7个位置上作全排列

4、，有 种排法。其中3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故 只对应一种排法，,（六）分排问题用“直排法”,把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.,例7 七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？,分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以不同的坐法有 种.,（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？,或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，所以,两排可看作一排来处理不同的坐法有 种,（2）八个人排成两排，有几种不同排法？,练 习 6,八.排列组合混合

5、问题先选后排策略,例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法.,解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 有_种方法.再把5个元素(包含一个复合 元素)装入4个不同的盒内有_种方法.,根据分步计数原理装球的方法共有_,例2:3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有多少?,解法一：首先，将3名医生分配到3所学校，每校1名，不同的分配方法有A33种；,其次，将6名护士分配到3所学校，每校2名，不同的分配方法有C62C42C22种；,由分步计数原理，共有A33 C62C42C22 540种,“先选后排”法,十

6、.元素相同问题隔板策略,例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有_种分法。,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,例5:从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?,分析:问题相当于把30个相同的球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处理.,小结：

7、把n个相同元素分成m份，每份至少1个元素，问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”.共有：,十四.构造模型策略,例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关 掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？,解：把此问题当作一个排队模型在6盏 亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯 有_ 种,一排10个座位，有7个座位有人座，每个座位上都有1人，现空出3个座位，但两端的座位不空，且空出的座位不能有2个或3个相连，求不同的空位方式有几种?,练习4 某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭

8、其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（B）种（C）种（D）种,解：,练习3:9件不同的玩具，按下列方案有几种分法？1.甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法？2.一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种分法？3.每人3件，有多少种分法？4.平均分成三堆，有多少种分法？5.分为2、2、2、3四堆，有多少种分法？,解：,例3:有6本不同的书，分成3堆.（1）如果每堆2本，有多少种分法？（2）如果分成一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种分法？,分析:这与例2不同，区别在于把 6本不同的书分给甲、乙、丙3人，每人2本，相当于把6本不同的书先分

9、成3堆，再把分得的3堆分给甲、乙、丙3人.,例3:有6本不同的书，分成4堆.（3）如果一堆3本，其余各堆各1本，有多少种分法？（4）如果每堆至多2本，至少1本，有多少种分法？,引申：分成甲、乙、丙三组，一组4人，一组3 人，一组2人；,分成甲、乙、丙三组，每组3人.,9人分成甲、乙、丙三组，甲组4人，乙组3人，丙组2人；,分成三组，每组3人；,引申：分成三组，一组5人，另两组各两人；,点评：局部均分无序问题易出错.,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(+b)n的，其中（k0,1,2,n）叫做，叫做二项展开式的通项，用 Tk+1 表示，该项是展开式的第 项，展开式共有_项.,

10、展开式,二项式系数,k+1,n+1,二项式定理:,一般地，对于n N*有,分析：,解:,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴：,（1）二项式系数的三个性质:,（2）数学思想：函数思想。,二项式系数之和:,最 值:,当n是偶数时，中间的一项 取得最大时；,当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值。,增减性:,系数性质,即,例1.下面二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上（1）(a+b)20 第 项的二项式系数最大，是.（2）(a+b)19 第 项的二项式系数最大，是；

11、,10、11,11,例4、若 的展开式中，所有奇数项 的系数之和为1024，求它的中间项.,解：展开式中各项的二项式系数与该项的 的系数相等,由已知可得：2n-1=1024,解得 n=11，有两个中间项分别为,T6=462x-4，T7=462x,解：设,展开式各项系数和为,1,注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为1,上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，(2-1)n=,=（2-1）n=1,例8.的展开式的各项系数和为_,例题讲解,解:,设 项是系数最大的项,则,二项式系数最大的项为第11项,即,所以它们的比是,例题讲解,例1 计算并求值,解(1):将原式变形,例1 计算并求值,解:(2)原式,样本的频率分布直方图,作样本频率分布直方图的步骤：,（1）求极差；,（2）决定组距与组数;(组数极差/组距),（3）将数据分组；,（4）列频率分布表（分组，频数，频率）；,（5）画频率分布直方图。,