弹性力学问题有限单元的一般原理.ppt

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1、第 2 章弹性力学问题有限单元法一般原理和表达式,构造广义坐标有限元并建立其位移插值函数的步骤,以及插值函数的基本性质.,本章要点通过弹性力学平面问题和三角形单元阐述,基于弹性力学最小位能原理,建立有限元求解方程的步骤.,有限元方程求解前引入位移边界条件的必要性和方法.,有限元方法的收敛准则.,有限元方法求解弹性力学问题的一般原理和步骤.,第 2 章弹性力学问题有限单元法一般原理和表达式,单元位移模式及插值函数,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,典型 3 结点三角形单元结点编码为 i,j,m(逆时针方向为正),每个结点的位移(2 个),每个单元的结点位移(6 个),3 结点三角形单元位

2、移模式选取一次多项式,单元的位移模式及插值函数,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,是待定系数,称为广义坐标,可以用单元的 6 个结点位移表示,结点 i(xi,yi)的x方向位移ui,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,求广义坐标,线性代数方程系数行列式,A是三角形单元的面积,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,结点位移表示的位移函数,其中,称为单元的插值函数或形函数,是 x,y 的一次函数.,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,结点位移表示的位移函数,N 称为插值函数矩阵或形函数矩阵,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,

3、形函数性质,结点上形函数的值,单元中任一点各形函数之和等于 1,x 方向有刚体位移 u0,则,若形函数不满足此要求，则不能反映单元的刚体位移，用这形函数求解就得不到正确结果,3 结点三角形单元的形函数是线性的，在单元内部及边界上的位移可由结点位移唯一确定相邻单元公共边界上位移连续,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,应变矩阵和应力矩阵,单元位移,单元应变,B 称为应变矩阵，L 是平面问题的微分算子,应力和应变,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,应变矩阵和应力矩阵,应变矩阵 B 的分块子矩阵,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,应变矩阵和应力矩阵,单元应力,其中,S 称为应力

4、矩阵，其分块矩阵为,平面应力,平面应变,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,利用最小位能原理建立有限元方程,最小位能原理的泛函总位能,对离散模型，系统位能是各单元位能的和,结构结点位移,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,利用最小位能原理建立有限元方程,其中 n 为结构的结点数,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,利用最小位能原理建立有限元方程,离散形式的总位能,单元刚度矩阵,单元等效结点荷载列阵,整体刚度矩阵,结构结点荷载列阵,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,利用最小位能原理建立有限元方程,离散形式的总位能p的未知变量是结构的结点位移 a，泛函p取驻值的条件为,有

5、限元求解方程,即,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,单元刚度矩阵特征,3 结点三角形单元的应变矩阵是常量阵,单元刚度分块矩阵,对称性,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,单元刚度矩阵特征,对称性,利用最小位能原理建立单元的平衡方程,单元刚度矩阵元素的物理意义,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,单元刚度矩阵特征,单元刚度矩阵元素的物理意义,单元结点平衡方程,令,第一列元素的物理意义:当a1=1时，其他结点位移为零，需要在单元各结点位移方向上施加结点力的大小,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,单元刚度矩阵特征,单元刚度矩阵元素的物理意义,单元在结点力作用下处于平衡状态

6、,元素 Kij 的物理意义:当单元的第 j 个结点位移为单位位移而其他结点位移为零时，需要在单元第 i 结点方向上施加的结点力的大小,x 方向,y 方向,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,单元刚度矩阵特征,奇异性,单元刚度矩阵是奇异的，不存在逆矩阵,任意刚体位移,物理解释：单元平衡时，结点力相互不独立，必须满足三个平衡方程,单元的平衡方程,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,单元刚度矩阵特征,主元恒元,分块矩阵 Krs 当 r=s=i,j,m 时，主元 K1 和 K4 恒正,物理解释：要使结点位移 ai=1,施加在 ai 方向的结点力必须与位移 ai 同向,平面问题 3 结点三角

7、形单元的有限元格式,单元等效结点荷载,单元等效结点荷载列阵,结构结点荷载列阵,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,单元等效结点荷载,结点的等效结点荷载,等效结点荷载列阵,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,单元等效结点荷载,单元等效结点荷载列阵,单元边界上的面积力,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,单元等效结点荷载,单元边界上取局部坐标 s，沿 ij边插值函数为,结点的等效结点荷载,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,单元等效结点荷载,结点的等效结点荷载,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,单元等效结点荷载,等效结点荷载,单元边界上的面积力,平面问题 3 结点三

8、角形单元的有限元格式,单元等效结点荷载,等效结点荷载,单元边界上的面积力写成局部坐标的函数,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,结构刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成,单元刚度矩阵的转换,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,结构刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成,单元刚度矩阵的转换,其中 n 为结点总数；i、j、m为单元结点码.,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,结构刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成,单元等效结点荷载的转换,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,结构刚度矩阵的特点,对称性奇异性稀疏性非零元素呈带状分布（结点编号合理）,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式

9、,引入位移边界条件,求解位移场的问题，需要引入消除刚体位移的边界条件。,直接代入法,将已知结点位移的自由度消去，得到修正方程，用以求解其他结点位移。,重新组合方程,待定结点位移,已知结点位移,为相应的刚度、荷载矩阵的分块矩阵.,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,引入位移边界条件,直接代入法,重组方程后，将已知项和未知项分别移置到方程的右边和左边。,重组的方程阶数低了，但是结点位移的顺序已被破坏，导致程序编制困难。,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,引入位移边界条件,给定位移值为零时，在 K 中将与零结点位移相对应的行列中，将主对角元素改为1，其他元素改为0；在荷载列阵中将与零结

10、点位移相对应的元素改为0。,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,引入位移边界条件,对角元素乘大数法,结点位移为给定值 时，第 j 个方程作如下改动：对角元素 中乘以大数（左右量级），并将 用 取代。,平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式,引入位移边界条件,对角元素乘大数法,修改后第 j 个方程,对于任意给定位移均适用，这种方法不改变方程的阶数和结点位移顺序，程序编制方便。,广义坐标有限单元法的一般格式,选择单元位移函数的一般原则,位移模式以广义坐标 为待定参数的有限项多项式作为近似函数,广义坐标个数与结点自由数相等,有限项多项式选取的一般原则,常数项和坐标的一次项必须完备,常数项和一

11、次项反映单元刚体位移和常应变的特性，单元缩小于一点时，单元应变趋于常应变。位移模式能描述由于其他单元变形而通过结点位移引起单元刚体位移。,广义坐标有限单元法的一般格式,选择单元位移函数的一般原则,位移模式以广义坐标 为待定参数的有限项多项式作为近似函数,多项式选取应由低阶到高阶，尽量取完全多项式以提高精度,有限项多项式选取的一般原则,广义坐标有限单元法的一般格式,广义坐标有限元的一般格式,以广义坐标 表示单元内位移 u,2 D 问题,三角形常应变单元,广义坐标有限单元法的一般格式,广义坐标有限元的一般格式,以单元结点位移表示广义坐标,结点位移重写成,三角形常应变单元,广义坐标有限单元法的一般格

12、式,广义坐标有限元的一般格式,以单元结点位移表示单元位移函数u,三角形常应变单元,广义坐标有限单元法的一般格式,广义坐标有限元的一般格式,以单元结点位移表示单元应力和应变,三角形常应变单元,有初应力 和初应变 时,广义坐标有限单元法的一般格式,广义坐标有限元的一般格式,利用最小位能原理建立离散体系的结点平衡方程,系统总位能的离散形式,广义坐标有限单元法的一般格式,广义坐标有限元的一般格式,利用最小位能原理建立离散体系的结点平衡方程,其中,是结点集中力列阵,广义坐标有限单元法的一般格式,广义坐标有限元的一般格式,引入强制边界条件解方程得到结点位移辅助计算,困难,位移函数选择不当时，可能不存在,结

13、点较多时，解广义坐标比较繁琐。,有限元解的性质和收敛性,有限元解的收敛准则,准则 1 完备性要求,如果在泛函中场函数的最高阶导数 m 为，则有限元解的收敛条件之一是单元内场函数的试函数至少是 m 次完全多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至 m 阶导数为常数的项。,待求标量场函数的微分方程,相应泛函,准则 2 协调性要求,如果在泛函中场函数的最高阶导数 m 为，则试函数在单元交界面上必须具有 Cm-1 连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至 m-1 阶的连续导数。,矩形单元和高精度三角形单元,4 结点矩形单元,单元有 8 个结点自由度,相邻单元的边界公共点上有共同的结点位移值，因此位移

14、在公共边界的连续性。这种位移模式是完备、协调的。,广义坐标,位移多项式,位移模式为双线性位移模式，具有完全一次式的非完全二次式。,矩形单元和高精度三角形单元,4 结点矩形单元,结点位移,矩形单元和高精度三角形单元,4 结点矩形单元,位移模式,令,矩形单元和高精度三角形单元,4 结点矩形单元,自然坐标(,)与整体坐标(x,y)的关系,单元形心位置为（x0,y0）,自然坐标(,),单元内,单元边,单元角点,令,矩形单元和高精度三角形单元,4 结点矩形单元,单元应变,单元位移,矩形单元和高精度三角形单元,4 结点矩形单元,单元应力,单元位移,矩形单元和高精度三角形单元,4 结点矩形单元,应力矩阵的分

15、块矩阵,单元刚度矩阵分块形式,矩形单元和高精度三角形单元,4 结点矩形单元,单元厚度 t 是常量,其中,矩形单元和高精度三角形单元,高精度三角形单元,二次单元：6 结点三角形单元,位移函数取完全的二次多项式,位移函数中的常数项和完整的一次多项式满足收敛条件对完备性的要求。,单元边界上位移按二次抛物线分布，三个公共结点正好保证相邻单元位移的连续性，满足协调性的要求。,矩形单元和高精度三角形单元,高精度三角形单元,三次单元：10 结点三角形单元,位移函数取完全的三次多项式,单元边界上位移按三次曲线分布，4 个公共结点正好保证相邻单元位移的连续性，满足协调性的要求。,6 结点、10结点三角形单元求解

16、广义坐标以及刚度、等效结点荷载计算等很繁琐。如果采用面积坐标作为自然坐标，则可以很方便地建立单元的插值函数。,矩形单元和高精度三角形单元,面积坐标,三角形中任一点 P 与其三个角点相连形成三个子三角形。,点 P(x,y)的位置用三个比值确定,矩形单元和高精度三角形单元,面积坐标与直角坐标的转换关系,三角形 的面积,矩形单元和高精度三角形单元,面积坐标与直角坐标的转换关系,面积坐标 Li,Lj,Lm 与3结点三角形单元的形函数 Ni,Nj,Nm 完全相同。,矩阵形式,矩形单元和高精度三角形单元,面积坐标的微积分运算,矩形单元和高精度三角形单元,面积坐标的微积分运算,面积坐标的幂函数在三角形全面积

17、上的积分公式,面积坐标的幂函数在三角形某一边（ij 边）上的积分公式,有关积分,矩形单元和高精度三角形单元,面积坐标给出的三角形单元插值函数,线性单元：3 结点三角形单元,插值函数是线性函数，即三角形单元的三个面积坐标。,矩形单元和高精度三角形单元,面积坐标给出的三角形单元插值函数,二次单元：6 结点三角形单元,对每个结点 i，可选择通过除 i 点以外的所有结点的两条直线，利用直线方程的左部作为线性函数来构造插值函数。,角点 1,2-3直线和4-6直线，并使结点1 上,角点 2、3,统一写作,三个边中点,轴对称问题的有限元格式,3 结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵,位移模式和插值函数

18、,线性位移模式,单元结点位移,其中,轴对称问题的有限元格式,3 结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵,位移模式和插值函数,插值函数,单元内位移,矩阵形式,轴对称问题的有限元格式,3 结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵,单元应变和应力,其中,应变,轴对称问题的有限元格式,3 结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵,单元应变和应力,应力分块矩阵,应力,轴对称问题的有限元格式,3 结点三角形环状单元的单元刚度矩阵,为了简化计算，单元中随点而变化的 r,z 用单元截面形心处的坐标 来近似。,A是三角形环状单元的面积,轴对称问题的有限元格式,3 结点三角形环状单元的单元刚度矩阵,刚度矩

19、阵的每一子块,广义坐标有限单元法的一般格式,其中,集中力应是作用在一圈结点上集中力的总量。ri是结点 i 的坐标，Fir、Fiz作用在结点 i 圆周每单位长度上的集中荷载在 r 和 z 方向的分量。,3 结点环状单元的等效结点荷载,空间问题有限元,常应变四面体单元,位移函数,以四个角点 i、j、m、p为结点。每个结点有 3 个自由度，一个单元有 12 个自由度。,线性位移模式,其中,空间问题有限元,常应变四面体单元,位移函数,其中,空间问题有限元,常应变四面体单元,位移函数,求出 后代入位移函数得,其中,空间问题有限元,常应变四面体单元,其中,V是四面体ijmp的体积，单元结点编号 i,j,m

20、,p 必须依照一定的顺序，以保证不为负值。在右手坐标系中，当按照 ij m 的方向转动时，右手螺旋应向 p 的方向前进。,空间问题有限元,常应变四面体单元,单元位移的矩阵表示,其中,I 是三阶单位矩阵,位移函数是线性的，相邻单元交界面上的位移是连续的，常应变四面体元是协调元。,空间问题有限元,常应变四面体单元,应变矩阵,应变矩阵 B 是常量阵,空间问题有限元,常应变四面体单元,单元刚度矩阵,分块矩阵,空间问题有限元,常应变四面体单元,单元刚度矩阵分块矩阵的元素,空间问题有限元,六面体单元,一次单元,以8个角点为结点的六面体。每个结点有 3 个自由度，一个单元有 24 个自由度。,位移模式,其中,空间问题有限元,六面体单元,二次单元,以角点以及每边中点为结点的六面体，共有 20 结点。每个结点有 3 个自由度，一个单元有 60 个自由度。,位移模式,其中,