弹性力学及有限元.ppt

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1、第2章 应力分析与平衡方程,2-1 一点的应力状态、应力张量,2-2 主应力与主剪应力、应力张量不变量,2-4 应力球张量和应力偏张量,2-5 平衡方程应力和外力的关系,2.1 一点的应力状态、应力张量,基本概念：,外力、应力、形变、位移。,1.外力,体力、面力,（材力：集中力、分布力。）,(1)体力,弹性体内单位体积上所受的外力,体力分布集度,（矢量）,X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影,单位：,N/m3,kN/m3,说明：,(1)F 是坐标的连续分布函数；,(2)F 的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等),(3)X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。,(2)面力,作用于物体表面单

2、位面积上的外力,面力分布集度（矢量）,面力矢量在坐标轴上投影,单位：,1N/m2=1Pa(帕),1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕),说明：,(1)F 是坐标的连续分布函数；,(2)F 的加载方式是任意的;,(3)的正负号由坐标方向确定。,2.应力,(1)一点应力的概念,内力,(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;,(2)由于外力作用引起的相互作用力.,(不考虑),P,(1)P点的内力面分布集度,(2)应力矢量.,-P点的应力,的极限方向,由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度,应力分量,应力的法向分量,正应力,应力的切向分量,剪应力,单位:,与面力相同,MPa(兆帕),应力关于坐

3、标连续分布的,(2)一点的应力状态,通过一点P 的各个面上应力状况的集合,称为一点的应力状态,x面的应力：,y面的应力：,z面的应力：,用矩阵表示：,其中，只有6个量独立。,剪应力互等定理,应力符号的意义：,第1个下标 x 表示所在面的法线方向；,第2个下标 y 表示的方向.,应力正负号的规定：,正应力 拉为正，压为负。,剪应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；,坐标负面上，与坐标正向相反时为正。,与材力中剪应力正负号规定的区别：,规定使得单元体顺时转的剪应力为正，反之为负。,在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题,考察物体内任一点o，设oxyz为旧坐标系，其单位矢量为e1、e2、e3，相应的

4、应力分量为,x,y,z,e1,e2,e3,设oxyz为新坐标，其单位矢量为e1、e2、e3。相应的应力分量为,3.应力张量,数学上，对坐标变换时服从一定坐标变换式的9个数所定义的量叫二阶张量，应力张量通常表示为：,作斜面abc垂直于x轴，该斜面上的应力矢量为P。P在坐标系下的三个分量为Px，Py 和Pz，则,x,y,z,z,x,y,P,由斜面应力(Cauchy)公式,4.斜面上的应力,由此可见，过某点的任意斜面上的应力分量，都可以用过该点的平行于坐标面的微分面上的9个应力分量来表示。写成矩阵的形式，即：斜面上的总应力为：斜面上的正应力为：,设斜截面外法线方向为，它的方向余弦为,应力矢量P在坐标

5、轴上的投影为：,将上式展开,2.2 主应力与应力张量不变量,当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向）称为主方向。,上述方程为 的齐次线性方程组，且常数项都为零。因为：，故 不能同时为零，所以方程组的系数行列式应为零，即,将行列式展开，得到求解主应力 的三次方程，称为应力张量 的特征方程。,式中,设特征方程的三个根为，则,展开后有,比较上两式，有,对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，不随坐标系的变换而变化。故 是不随坐标系的变换而变化的量，称为应力张量不变量。,（特征方程）,分别称为

6、应力张量的第一、第二、第三不变量。,主应力的重要性质,1.主应力为实数；2.三个主应力相互垂直；即物体内任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主平面，及对应的三个主应力。（1）当，有3个相互垂直的主应力；（2）当，与 垂直的平面上的任意方向都为主应力方向，即该平面上任意方向都是主方向，且应力值相同。（3）当，空间任意方向都是主方向，且应力值相同。,3.主应力的极值性；（1）最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上正应力的最大（或最小）值；设：，则（2）绝对值最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上全应力T的最大（或最小）值。,最大剪应力,主剪应力与主应力的数值关系为,按代数值的大小，将3个主

7、应力排序：,则有,现在主应力空间里，考察通过物体内任一点M这的一个微分面，该微分面的外法向n与三个应力主轴呈等倾斜。这样的微分面共有8个，它们可组成一个包含点M在内的无限小的正八面体，如图所示。这些微分面上的应力，就称为八面体应力。,2.3 八面体应力、应力强度,于是得：,由于这些斜面的法线的方向余弦的绝对值都相等：同时有：,带入正应力的计算公式，可得八面体正应力为：,八面体剪应力对于塑性理论具有重要意义，为了使用方便，将它乘以，并称之为应力强度，用符号 来表示，即,八面体剪应力为：,2.4 应力球张量和应力偏张量,描述一点应力状态的9个应力分量构成一个对称应力张量,其中 称为应力张量的分量。

8、,引入平均应力,则,应力张量可分解为两个张量之和,简写为,式中,称 为应力偏量，为应力球形张量，为单位张量。,球形张量是代表各向均匀拉伸或压缩的应力状态。,球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状不变。,应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变而形状改变。,静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到很大值，材料也不产生塑性变形。故：应力球形张量不产生材料的塑性变形；应力偏量是产生塑性变形的真正原因。,3.形变,形变 物体的形状改变,（1）线段长度的改变,（2）两线段间夹

9、角的改变。,P,B,C,A,用线（正）应变度量,用剪应变度量,（剪应变两垂直线段夹角（直角）的改变量）,三个方向的线应变：,三个平面内的剪应变：,(1)一点形变的度量,应变的正负：,线应变：,伸长时为正，缩短时为负；,剪应变：,以直角变小时为正，变大时为负；,2.5 平衡(运动)微分方程,在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。首先，以连接六面体前后两面中心的直线 为矩轴，列出力矩的平衡方程,整理，并略去微量后，得,同样可以得出,剪应力互等定理,列出x轴方向的力的平衡方程,由其余两个平衡方程 和 可以得出与之相似的两个方程。化简，除以

10、dxdydz，得,空间问题的平衡微分方程（纳维叶方程）,如物体处于运动状态,根据达朗伯(dAlembert)原理,在体力项中引入惯性力:,运动微分方程,第三章 应变分析与几何方程,第二节有关力学基本概念描述已知:*在载荷作用下,物体的形状和位置要发生变化,*力学中用应变来度量一点形状的改变;用位移来度量一点位置的改变.如已知物体中每一点的位移,则受载物体的位置和形状均可确定.即位移与应变之间存在一定的关系.描述位移与应变之间关系的方程称为几何方程,研究在oxy平面内投影的变形，,P,A,B,C,A,B,C,P,PA=dxPB=dyPC=dz,一.几何方程,一点的变形,线段的伸长或缩短；,线段间

11、的相对转动；,考察P点邻域内线段的变形：,变形前,变形后,P,A,B,u,v,注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。,PA的正应变：,PB的正应变：,P点的剪应变：,P点两直角线段夹角的变化,整理得：,几何方程,同样方法研究另外两平面yoz和zox上投影线元的变形可得到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也称柯西(Cauchy)方程,几何方程,（1）,几何方程反映任一点的位移(3个分量)与该点应变(6个分量)间的关系，是弹性力学的基本方程之一。,（2）,当 位移分量u、v、w已知，则6个应变分量可完全确定；反之，已知6个应变分量，不能确定位移分量。,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。

12、）,说明：,（3）,几何方程是纯几何变形分析结果，不涉及产生运动的原因和材料的物理性能，对一切连续介质力学问题都适用。,二.连续性方程,应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示；已知位移分量,可通过求偏导数得到6个应变分量；这是唯一确定的。反之,已知应变分量求位移分量,需通过积分运算。-从数学上看，6个方程求3个未知量，如有解，则6个方程是相关的，即应变之间必须满足某种关系才有可能得到唯一的位移解。-从物理上看，为保证变形后物体连续和单值，应变间必须满足一定关系。称为相容性。表示应变分量间的这种关系的方程称为变形连续性方程，也称为变形相容方程或变形协调方程。,第1式对y求两阶偏导,第2式对x

13、求两阶偏导,两式相加：,将第4式代入得：,同理：,后三式分别对z、y、x求偏导得：,同理：,连续性方程,连续性方程是单连体小变形连续的必要和充分条件。,如应变分量满足连续性方程，可保证位移分量存在。,第4章 应力与应变关系物理方程,由材料力学已知，Hooke定律可表示为：,单向拉压,纯剪切,E为拉压弹性模量；,横向与纵向变形关系,G为剪切弹性模量,为泊松比,一.各向同性材料的广义Hooke定律,对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理：,考虑x方向的正应变：,产生的x方向应变：,产生的x方向应变：,产生的x方向应变：,叠加,同理：,剪应变：,物理方程：,说明：1.方程表示了各向同性材

14、料的应力与应变的关系，称为广义Hooke定义。也称为本构关系或物理方程。2.方程组在线弹性条件下成立。,二.体积应变与体积弹性模量,令：,则：,令：,sm称为平均应力;q 称为体积应变,三.物理方程的其他表示形式,物理方程：,用应变表示应力：,或：,各种弹性常数之间的关系,四.广义Hooke定律(物理方程)的一般表达式,广义虎克定律(物理方程)描述应力与应变的关系,6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。,当自变量(应变)很小时，式（）中的各表达式可用泰勒级数展开略去二阶及以上的高阶微量，则式（）中的第一式展开为：,表示应变分量为零时的值，由基本假设，初始应力为零故,表示函数f1对应变分量的一

15、阶偏导数在应变分量为零时的值，等于一个常数,故,式（）可用一个线性方程组表示,式（）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应变的一般关系式,式（）中的系数称为弹性常数，共有个,由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力时，必产生同样的应变，反之亦然因此为常数，其数值由弹性体材料的性质而定,式（）推导过程未引用各向同性假设，故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、二维各向同性体以及各向同性体等,式(3)可用简写为,称为弹性矩阵.,式（）可用矩阵表示,物体内的任一点,沿各个方向的性能都不相同,则称为极端各向异性体.(这种物体的材料极少见),五.弹性常

16、数,1.极端各向异性体:,由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性常数之间存在关系,即使在极端各向异性条件下,式(2)中的36个弹性常数也不是全部独立.,36个弹性常数减少到21个.弹性矩阵是对称矩阵.,弹性矩阵为,极端各向异性体的特点:,(1)当作用正应力 时,不仅会产生正应变,还会引起剪应变。,(2)当作用正应力时,不仅会产生剪应变,也会引起正应变。,2.正交各向异性体,如在均匀体内,任意一点都存在着一个对称面,在任意两个与此面对称的方向上,材料的弹性性质都相同。称为具有一个弹性对称面的各向异性体。该对称面称为弹性对称面,垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。,具有一个弹性对称面的各向

17、异性体,弹性常数有13个。单斜晶体(如正长石)具有这类弹性对称。,如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对称面,这种物体称为正交各向异性体。如:煤块、均匀的木材、叠层胶木、复合材料等,正交各向异性体有9个弹性常数。其弹性矩阵为,3.横观各向同性体,如物体内任意一点,在平行于某一平面的所有各个方向都有相同的弹性性质,这类正交异性体为横观各向同性体。如不同层次的土壤、复合板材等。,横观各向同性体只有五个弹性常数,弹性矩阵为,物体内任意一点,沿任何方向的弹性性质都相同。,4.各向同性体,各向同性体只有两个独立的弹性常数,弹性矩阵为:,可见:,一.指标表示法,1.指标符号,具有相同性质的一组物理量

18、，可以用一个带下标的字母表示：,如：位移分量u、v、w表示为u1、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3）,坐标x、y、z表示为x1、x2、x3，缩写为xi（i=1,2,3）。,单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。,应力分量：,可表示为：,缩写为：,同理，应变分量可表示为：,向量 表示为,三阶线性方程组,可表示为,缩写为,2.爱因斯坦求和约定,在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为哑指标（简称哑标）,例,说明：,（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。例：（2）哑标的有效范围仅限于本项。（3）多重求和可采用不同的哑标表示

19、。例：（4）哑标可局部地成对替换。（5）自由指标必须整体换名。（6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混淆，应声明对该指标不求和。例,3.求导数的简记方法,微分算符简记法,例:,求和约定,4.克罗内克(Kroneker)符号,具有如下性质,(1),(2),也称换名算子,同理:,4.置换符号,表示，有个分量。定义：,有两个以上的指标相同,置换符号用于简化公式的书写,行列式：,二.弹性力学方程的指数表示,(1)平衡(运动)微分方程,(2)几何方程,(3)物理方程,(4)边界条件,力边界条件:,位移边界条件:,1.迭加原理:弹性体受几组外力同时作用时的解(应力、应变和位移)等于每一组外力单

20、独作用时对应解的和.,2-8 弹性力学的几个基本原理,(1)迭加原理成立的条件是微分方程和边界条件是线性的.,说明:,(2)对大变形问题,几何方程将出现二次非线性项,平衡方程将受到变形的影响,迭加原理不再适用。,(3)对非线弹性或弹塑性材料,应力应变关系为非线性,迭加原理不成立。,圣维南原理:若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系 若作用在物体局部表面上的外力,用一个静力等效的力系(具有相同的主矢和主矩)代替,则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计.,课件上传 FTP,IP:Username:mechanicPassword:888888Port:210,第5章 弹性力学问题的求解,要点,

21、建立直角坐标下的平面问题基本方程,包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等,主 要 内 容,5-1 两类平面问题,5-2 平面问题的基本方程和边界条件,5-3 位移解法,5-4 应力解法,5-5 应力函数与应力函数解法,5-6 多项式逆解法解平面问题,5-7 几种平面问题的直角坐标求解,应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这 3 类基本未知函数与第 3 个坐标方向（一般取 z 方向）无关时，则将该类问题称为平面问题。,4-1 两类平面问题,平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的二维问题。,弹性力学平面问题分为平面应变与平面应

22、力问题两类。,1.平面应力问题,(1)几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。,等厚薄平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2)受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。,(3)应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,由剪应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,2.平面应变问题,(1)几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两

23、个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。,近似认为无限长,(2)外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,约束 沿长度 z 方向不变化。,(3)变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。,设 z方向为无限长，则,沿 z 方向都不变化，,仅为 x，y 的函数。,任一横截面均可视为对称面,水坝,因为任一横截面均可视为对称面，则有,所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。,平面位移问题,平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中应力分量：,仅为 x y 的函数。,可近似为平面应变问题的例子：,煤

24、矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,3.平面问题的求解,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：,仅为 x y 的函数,建立平面应力（或应变）条件下的基本方程：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系；,形变与位移间的关系；,建立边界条件：,平衡微分方程,几何方程,物理方程,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,4-2 平面问题的基本方程和边界条件,1.平衡微分方程,空间问题的平衡微分方程（纳维

25、叶方程）,对平面应力问题,对平面应变问题,仅为 x y 的函数。,平面问题的平衡微分方程：,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：,超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；,（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。,2.几何方程,平面应变,平面应力,注：平面应力问题的解为近似解！,平面应力问题，但,由,有,对薄板，可认为上两式近似为零，故平面应力问题的解为近似解。,3.物理方程,1.各向同性弹性体的物理方程,其中：E为拉压弹

26、性模量；G为剪切弹性模量；为泊松比。,(应力与应变的关系),（1）平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题中,平面应力问题的物理方程,注：,(1),(2),物理方程的另一形式,（2）平面应变问题的物理方程,由于平面应变问题中,平面应变问题的物理方程,注：,(2),平面应变问题 物理方程的另一形式：,由式（2-13）第三式，得,？,（3）两类平面问题物理方程的转换：,平面应变问题的物理方程,平面应力问题的物理方程,(1),平面应力问题,平面应变问题,材料常数的转换为：,(2),平面应变问题,平面应力问题,材料常数的转换为：,4.边界条件,1.弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2）几

27、何方程：,（3）物理方程：,未知量数：,8个,方程数：,8个,结论：,在适当的边界条件下，上述8个方程可解。,2.边界条件及其分类,边界条件：,建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。,是力学计算模型建立的重要环节。,边界分类,（1）位移边界,（2）应力边界,（3）混合边界,三类边界,（1）位移边界条件,位移分量已知的边界 位移边界,用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,平面问题的位移边界条件,说明：,称为固定位移边界。,平面问题的应力边界条件,(2)力的边界条件,(1)边界面力为合力时，面力正负号的确定,边界面力分量的矢量方向指向坐标轴的正

28、向为正，反之为负,(2)边界面力为合力矩时，力矩正负号的确定,x,y,Ms,3.力的边界条件的具体化,x,y,Ms（+）,右手法则，母指指向z轴的正向为负，反之为负,x,y,Ms（-）,x,y,Ms（+）,Ms（-）,x,y,例1,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),(4),说明：,x=0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：,第4章内容回顾：,1.,两类平面问题：,平面应力问题,平面应变问题,几何特征;,受力特征;,应力特征。,几何特征;,受力特征;,应变特征。,水坝,滚柱,位移边界条件,2.,平面问题的基本方程：,（1）平衡方程：,（2-2）,（2）几何方程：,

29、（2-9）,（3）物理方程：,（4）边界条件：,（1）,（2）,应力边界条件,平面应力问题,例2,如图所示，试写出其边界条件。,(1),AB段（y=0）：,代入边界条件公式，有,(2),BC段（x=l）：,(3),AC段（y=x tan）:,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例4,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,解：,平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即,AB 边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC 边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A 点同处于 AB 和 AC 的边界，满足

30、式（1）和（2），解得,A 点处无应力作用,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,图示构件，试写出其边界条件。,例6,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,上侧：,下侧：,图示构件，试写出其应力边界条件。,例6,上侧：,下侧：,（3）混合边界条件,(1),物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。,(2),物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：,图(a)：,位移边界条件,应力边界条件,图(b)：,位移边界条件,应力边界条件,4-3 按位移求解平面问题,1.弹性力学问题的求解方法,（1）按位移求解（位移法、刚度法）,以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界

31、条件都用u、v 表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。,（2）按应力求解（力法，柔度法）,以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。,（3）混合求解,以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。,2.按位移求解平面问题的基本方程,（1）将平衡方程用位移表示,由应变表示的物理方程,将几何方程代入，有,（a）,将式(a)代入平衡方程，化简有,（1）,（2）将边界条件用位移表示,位移边界条件：,应力边界条件：,（a）,将式（a）代入，得,式（1）、（2）、（3）

32、构成按位移求解问题的基本方程,说明：,（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。,（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。,（3）,（3）按位移求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（1）,（2）边界条件：,位移边界条件：,（2）,应力边界条件：,（3）,5-4 按应力求解平面问题 相容方程,按应力求解平面问题的未知函数：,平衡微分方程：,2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从形变、形变与应力的关系建立补充方程。,显然有：,形变协调方程（或相容方程）,即：必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得位移分量。,1.变形协调方程（相容方

33、程）,将几何方程：,作如下运算：,（1）平面应力情形,将物理方程,（a）,2.变形协调方程的应力表示,代入,相容方程,得：,利用平衡方程,将两式相加：,（b）,将（a）式化简：,将(b)代入(a)，得：,将 上式整理得：,应力表示的相容方程,（平面应力情形）,（2）平面应变情形,将 上式中的泊松比代为：，得,应力表示的相容方程,（平面应变情形）,注意：,当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,3.按应力求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（3）边界条件：,（平面应力情形）,说明：,（1）对位移边界问题，不易按应力求解。,（2）对应力边界问题

34、，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。,（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。,例,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,（1）,（2）,（a）,（b）,解,（1）,将式（a）,满足,将式（a）代入相容方程：,式（a）不是一组可能的应力场。,代入平衡方程：,（2）,解,将式（b）,式（b）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。,代入应变表示的相容方程：,例,图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力=0，

35、然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（a）满足平衡方程和相容方程？,（a）,式（a）是否满足边界条件？,代入平衡微分方程：,显然，平衡微分方程满足。,式（a）满足相容方程。,再验证，式（a）是否满足边界条件？,满足,满足,近似满足,近似满足,结论：式（a）为正确解,代入相容方程：,上、下侧边界：,右侧边界：,左侧边界：,平衡方程:,相容方程:,边界条件:,常体力下，满足的方程：,(a),4.常体力下体力与面力的变换,令：,将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有,(b),(c),表明：,（1）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程（容易求解）；,（2）变换后问题的边

36、界面力改变为：,结论：,当体力X=常数，Y=常数时，可先求解无体力而面力为：,问题的解：，而原问题的解为：,例如：,p,图示深梁在重力作用下的应力分析。,原问题：,体力：,边界面力：,所求应力：,变换后的问题：,体力：,边界面力：,(1)当 y=0 时，,(2)当 y=h 时，,(3)当 y=2h 时，,所求得的应力：,原问题的应力,常体力下体力与面力转换的优点（好处）：,原问题的求解方程,变换后问题的求解方程,常体力问题,无体力问题,作用：,(1),方便分析计算（齐次方程易求解）。,(2),实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。,注意：,面力变换公式：与坐标系的选取有关，

37、,因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。,5-5 应力函数 应力函数解法,常体力下问题的基本方程：,边界条件、位移单值条件。,(a),(b),式(a)为非齐次方程，其解：,全解=齐次方程通解,1.平衡微分方程解的形式,(1)特解,常体力下特解形式：,+非齐次方程的特解。,(1),(2),(3),(2)通解,式(a)的齐次方程：,(c),(d),的通解。,将式(d)第一式改写为,由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得,(e),(f),同理，将式(d)第二式改写为,(g),(h),比较式(f)与(h)，有,也必存在一函数 B(x,y)，使得,由微分方程理论，必存在一函数(x,y)，使

38、得,(i),(j),将式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解,(k),对应于平衡微分方程的齐次方程通解。,(3)全解,取特解为：,则其全解为：,(2-26),常体力下平衡方程（a）的全解。,由式（2-26）看：不管(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。,(x,y)平面问题的应力函数,Airy 应力函数,2.相容方程的应力函数表示,将式（2-26）代入常体力下的相容方程：,有：,注意到体力 X、Y 为常量，有,将上式展开，有,(2-27),应力函数表示的相容方程,给出了应力函数满足的条件。,式（2-27）可简记为：,或：,式中：,满足方程(2-27)的函数(x,y)称为重调

39、和函数（或双调和函数）,结论：,应力函数应为一重调和函数,按应力求解平面问题（X=常量、Y=常量）的归结为：,（1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(2-26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,(2-28),（无体力情形）,3.应力函数 求解方法,（1）,逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y)的形式；,（2）,主要适用于简单边界条件的问题。,然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；,（3）,再利用应力边

40、界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y)可以求解什么问题。,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式；,（2）,根据 与应力函数(x,y)的关系及，求出(x,y)的形式；,（3）,最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。,半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,5-6 多项式逆解法解平面问题,应力函数表示的相容方程,为四阶偏微分方程,三阶及以下的多项式作为应力函数，必定满足相容方程，不论其系数如何。,考察不同多项式能解决的问题。（不计体力）,1.一

41、次式,由应力函数与应力分量的关系式,得,代入应力边界条件方程，得面力,结论,（1）线性应力函数对应于无外力作用的零应力状态。,（2）应力函数线性项不影响应力分布。,2.二次式,（1）,应力分量：,应力分量与坐标无关，为均匀应力状态。,对应的边界面力：,左边界：,右边界：,上下边界：,对应于矩形板左右端面均匀拉伸（b0）或均匀压缩（b0）。（包括轴向拉压）,（2）,应力分量：,对应于矩形板上下端面均匀拉伸（b0）或均匀压缩（b0）。（包括轴向拉压）,（2）,应力分量：,a0,a,对应于矩形板纯剪切状态,3.三次式,应力分量：,左、右边界：,上下边界：,左、右端面受线性分布面力作用；面力合力,对应

42、纯弯曲,M,M,同一个应力函数由于所给出的坐标轴不同，可解决不同的问题,例：,应力分量：,左、右边界：,如图坐标位置，可解矩形梁偏心拉伸问题,上下边界：,问：坐标位置如右图，可解何问题？,4-6 几种平面问题的直角坐标解,1.悬臂梁的弯曲,P,按平面应力问题求解;,y,x,分析：横截面上的弯矩与截面的 x 坐标成正比，由材料力学可知，正应力与作用点的 y 坐标成正比。故假设：,将上式对 y 积分两次，得,代入相容方程，得,上式在梁内任意x和y都满足，故,对上式求积分，得,将上式代回到应力函数式中，得,上式中的一次项对应力分量无作用，可令,由应力函数求应力分量，得,由边界条件求待定常数,本 章

43、小 结,1.,两类平面问题：,平面应力问题；平面应变问题。,（两类平面问题中基本方程的异同）,2.,平面问题的基本方程：,平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件（位移、应力）。,（几何特点、受力特点、应力或应变特点）,3.,平面问题的求解,（1）,按位移求解平面问题,基本方程：,（1）用位移表示的平衡微分方程；,（2）用位移表示的应力边界条件；,（3）边界条件：应力、位移边界条件。,应力函数表示的应力分量表达式：,(2-26),常体力下的简化；,应力函数的求解方法：,（逆解法、半逆解法。）,（1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(2-26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,按应力求解平面问题的基本步骤：,