弹塑性力学的解题[修改].ppt

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1、2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,1,第四章 弹塑性力学的解题方法,求解弹塑性力学问题，就是：给定作用在物体边界或内部的外界作用，求解物体内因此产生的应力场和位移场。在弹塑性力学问题中，未知量应包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，而方程包括3个平衡方程，6个几何方程和6个物理方程，这样共有15个方程解15个未知量，因此问题是可解的。再利用初始条件，边界条件（偏微分方程的初值问,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,2,题和边值问题）等又可使此解具有唯一性。但真正要求解这样一组偏微分方程，在数学上是很困难的，因此就产生了一些相应的解题方法，包括解析解法和

2、数值解法两大类。本章介绍解析解法。,第一节 按位移求解弹性力学问题,在解方程组中，一种通用的方法是“消元法”。在处理弹性力学问题时也不例外。以位移为基本未知量进行求解，就是“位移法”。以应力为基本未知量进行求解，就是“应力法”。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,3,以部分位移和部分应力为基本未知量求解，就是“混合法”。选用何种方法，视具体问题具体分析。如：当边界条件给的是位移边界条件，则适用位移法；当边界条件给的是应力边界条件，则适用应力法；当边界条件给的是混合边界条件，则适用混合法。,位移法：以u、v、w作为基本未知量，在物理方程（318式，P88）中，利用几何方程将应变

3、用位移表示，可得用位移表示的应力分量：,因为：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,4,所以有：,(41),其中，,为体积应变。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,5,将（41）式代入平衡方程（139式，P35）有拉梅位移方程（42）。,（42）,梯度算子（矢量算子）。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,6,散度算子：设 为一矢量，则,旋度算子：,若设：则有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,7,方程（42）可写成：,又因为：式（42）可写为：,对边界条件：应力边条，则可把（41）式代入边界条件,2023/11/13,第四

4、章 弹塑性力学的解题方法,8,其中，为该边界的外法线的三个方向余弦，得到用位移表示的边界条件。,（44）,解题思路：在求解问题时，要使所求的位移函数 在物体内部满足方程式（42），在边界上满足边条（44）或满足直接给出的位移边条；将所求问题的,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,9,位移代入几何方程便可求出应变，利用式（41）可求出应力分量。,按位移法求解弹性力学问题时，未知函数个数比较少，仅只有三个未知量，但必须求解三个联立的二阶偏微分方程，而不能像按应力求解问题时那样简化为求解一个单独的微分方程（缺点）。,但是，位移法是一种普适方法，特别是在数值解法中得到了广泛应用，如：有

5、限元法、差分法等数值计算方法。,例P132；该问题是关于z 轴的轴对称问题。,可以假设：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,10,代入拉梅方程得：,积分得：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,11,确定积分常数A、B：,由边条：,代入式（44），前两式为恒等式，第三式为,而由上述 的表达式有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,12,又由条件：，得：,将常数：A，B代入 的表达式，则有：,利用式（41）求应力：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,13,第二节 按应力求解弹性力学问题,解题思路：以六个应力分量作为基本未知量。

6、从基本方程中消去位移和应变，得到关于应力的偏微分方程组。首先这六个应力分量应满足三个平衡方程，但还需补充方程。,在第二章中，我们推导了应变协调方程（239）、（240）如下：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,14,由广义胡克定律：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,15,代入上式得应力表示的协调方程：,(45),2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,16,第一式由,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,17,在（43）式中，利用平衡方程，将第一，三式相加，可得出：,下面解释上式的推导：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的

7、解题方法,18,平衡方程：,可有（46）式：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,19,（46）,将（46）式三式相加得出：,（47）,将（47）式代入式（46）后，可得：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,20,同理可建立起另外两个类似的方程。按书中 将式（45）中的第4式改写，类似改写另外两式可得出书中式（48）,推导（46）式：,将（45）中第一式，第三式相加，有：,利用（139）式,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,21,进一步整理：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,22,得（46）式第一式,相关解释：,2023/

8、11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,23,推导（47）式：,将（46）式三式相加,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,24,（47）,将（47）式代入（46）第一式有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,25,由（45）式第四式有：,由平衡方程可得上下步的互换,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,26,即有：,由此可得出：以应力表示的变形协调条件（相容方程）为（48）式,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,27,(48),式中，,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,28,当体积力为零或常数时，则（48）式可

9、写为：,（49）,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,29,此时，由（47）得出：,即应力第一不变量 是调和函数。,对（49）式两边作用拉普拉斯算子，得出式（410）即：,（410）,则所有的应力分量都是双调和函数。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,30,第三节 平面问题和应力函数,平面问题分为两类：一类是平面应力问题，一类是平面应变问题。在平面应力问题中，所研究的是薄板一类的弹性体，在其侧面上（边界上），受有平行于薄板两底面的外力的作用，并且在薄板的两底面上没有荷载的作用，即两底面上，由于板厚度很小，所以薄板内部这些应力分量也很小，而其它应力分量 也由于厚

10、度很小而变化不大，因此可近似地认为它们与坐标无关，也近似地认为物体内各处的，这种类型的问题称之为平面应力问题，所以对于平面应力问题有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,31,平面问题,两类平面问题：平面应力问题和平面应变问题。,任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因此，严格地说，任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题。,注意31-36时添加的，注意修改。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,32,如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。这样处理，分析和计算的工作量将大大地减少，而

11、所得的成果都仍然能满足工程上对精度的要求。,1、平面应力问题,设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如图2中的深梁，以及平板坝的平板支墩，都属于这一类。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,33,设板的厚度为，以板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为 z 轴。,因为板面上（）不受力，所以有：,因为板很薄，外力又不沿厚度变化，所以，可以认为在整个薄板的所以各点都有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,34,注意到剪应力互等关系，所以，。这样，只剩下平行于xy平面的三个应力分量，即：，故这种

12、问题称为平面应力问题。,同时，也因为板很薄，以及分析问题时必须要考虑的形变分量和位移分量，都可以是不沿厚度变化的，即：它们只是x和y的函数，不随z 而变化。,2、平面应变问题,与平面应力问题相反，设有很长的柱形体，它的横截面如图所示，在柱上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时，体力也平行于横截面而且不沿长度变化，（内在,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,35,因素和外来作用都不沿长度变化）。,假想该柱形体为无限长，以任一横截面为xy 面，任一纵线为z 轴，则所有一切应力分量，形变分量和位移分量都不沿z 轴方向变化，而只是x和y的函数。,此外，在这一情况下，由于对称（任

13、一横截面都看作是对称面），所以各点都只会沿x和y方向移动而不会有z方向的位移，也就是。因为所有各点的位移分量都平行于xy面，所以这种问题称为“平面位移问题”，担在习惯上常称为“平面应变问题”。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,36,又由对称条件可知，。根据剪应力互等关系，。但是由于z方向的伸缩被阻止，所以，一般。,有些问题，例如挡土墙、重力坝的问题等等，是很接近于平面应变问题的。虽然由于这些结构不是无限长的，而且在靠近两端之处，横截面的形状也往往是变化的，并不符合无限长柱形体的条件，但是实践证明，对于离开两端较远之处，按平面应变问题进行分析计算，得出的结果是工程上可用的。,

14、2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,37,（411）,在平面应变问题中，物体某一位移，如 在各处均为零，而位移 与坐标系无关。这种情况可发生在一个方向很长的,棱柱形成柱形的物体上，其轴线与z 轴平行，而在侧面上承受垂直于z 轴的荷载，荷载沿 z 轴不变，这样的问题属于平面应,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,38,问题。对于平面应变问题有：,（412）,由几何方程：,利用应力应变关系可得出：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,39,则对于平面应变问题有：,(413),由（411）和（413）式知：平面应力和平面应变问题的差别在于关于 的一个条

15、件。即：对于平面应变问题，应变是平面的，但应力却是空间的。,（1）按位移求解平面问题,对于平面应力问题有平衡微分方程为:,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,40,（414）,用位移表示的应力边界条件为：,（415）,对于平面应变问题，只须在上面的各方程中将E、v 换为 即可。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,41,（2）按应力求解平面问题,对于平面应力问题所有平衡微分方程为：,（416）,相容方程为：,（417）,对于平面应变问题只须在上式中 将换为 即可。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,42,讨论：当体力为常量时有：平衡方程为（41

16、6），相容方程为：,（418）,考察常体力平衡微分方程（416）式，这是一个非齐次微分方程组，它的解答应包含两部分，即任意一个特解及对应的齐次微分方程的通解。,特解可取为：,下面来研究一下通解：通解对应的齐次方程为：,（419）（书：414）,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,43,其实，方程（419）就是体力为零时的平面问题的微分方程，所以，要求的通解就是要求解当体力为零时的平面问题。,当体力为零时,由平衡方程可得：,根据微分方程理论，这就一定存在某一个函数，使得,同样，由于，,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,44,因此，一定存在某一个函数 使得,因而又

17、一定存在某一函数 使得：,（420）（书：415）,则平衡方程（419），（414）自动满足，函数 将为（）应力函数。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,45,将应力函数（420）代入相容方程（414）得,（421）（书：420）,即：,因此，当体力为零时的平面问题就归结为解满足双调和方程和给定边界条件的函数 问题。在此情况下，边界条件为：,（422）（书：421）,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,46,例P145 解：这是一个平面应变问题。由给定的应力函数和艾里函数,可得通解为：,特解为：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,47,所以全

18、解为：,下面来确定常数：A，B，C，D。,在 处的边条为：（由边界条件方程可得出）,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,48,刚性槽的条件为：,而 与 无关，,又因：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,49,所以有（应力与应变之间的关系）：,下面求上表面的位移值：,（由物理意义确定）,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,50,由边条：,所以上表面 的位移为：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,51,第四节 逆解法和半逆解法,由于用直接积分法（正解法）解微分方程组很困难，所以可用其它方法（逆解法）来解一些特殊问题。1、逆解法 所

19、谓逆解法：就是先假定各种形式的，满足相容方程的应力函数，再求出相应分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所假设的应力函数可以解决什么问题。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,52,设有一矩形平面板（弹性板），不计体力，现讨论如下几种应力函数所对应的边界面力分布情况。,（1）,（2）,显然，满足双调和方程，可以求出：（书中图44a,b对应）,显然，满足双调和方程，且对应的应力分量均为零，其边界上应无面力，由此可以看出一次项和常数项对应力无影响。,这一结果代表均匀应力状态。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方

20、法,53,边界条件为：,AB边，,CD边：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,54,几种特解：,AB边,CD边,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,55,AD边,BC边,（或）,AB边,CD边,AD边,BC边,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,56,（3）,显然满足双调和方程：可得，,这是一个复杂应力状态，其对应的边界条件为：,AB边：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,57,CD边：,AD边：,BC边：,显然，边界上的面力是线性分布。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,58,特例：则有,表示纯弯受力状态。

21、（书中图44c对应）,（4）,若使 满足双调和方程，必有 则有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,59,可得：,若取 则有：,则边界条件为：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,60,边界的面力分布与书中图44d对应（l 换为h2，h 换为h1）。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,61,（5）,上式满足双调和方程,边界条件：AB边，,CD边：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,62,AD边：,BC边：,边界的面力分布与书中图44e对应（l 换为h2，h 换为h1）。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,6

22、3,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,64,2、半逆解法 所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的某种形式的函数，从而推出应力函数，然后来考察 是否满足相容方程以及边界条件等。如果满足，则可解，否则修改原来假设的函数。,例 P147。,解：根据结构的特点和受力情况，可以假设纵向纤维互不挤压，即有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,65,积分得出：,应满足双调和方程，有：,（1）,（2）,由于（2）式，取任何值均应成立，即,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,66,略去 中对应力分量无影响

23、的常数项和一次项，则：,（3）,根据下列边界条件，确定积分常数：,（5）,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,67,但由该条件确定不了常数，因此可以考虑用等效力系代替，从而找到常数，这也是符合圣维南原理的。在上端面用等效条件：,方向的合力为零，,将 的表达式代入：,代B进入（5）式有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,68,方向的合力为零即：,积分得：,（7）,合力矩为零即：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,69,积分为：,（8）,由（7）、（8）两式得：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,70,第五节 边界上 及其导数

24、的力学意义,用应力函数表示的边界条件为：,应力函数的引入，给求解平面问题带来了很大的方便，为了更有效地确定所给问题的应力函数，研究边界上 及其导数的力学意义是非常必要的。,（423）,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,71,现有一边界如图所示。,假设 的方向是由A点出发反时针方向为正，在AB之间取一段微弧 为正，相应,的 为正，为负，均为正，这时有（当 很小时）：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,72,其中，是 方向与 轴正向的夹角。推出：,由式（423）得出：,由高等数学定义的方向导数：,（424）,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,7

25、3,现由A点出发，沿逆时针方向在边界上积分，求出合力分量：即：,(425),(426),式中，和 代表边界AB 段上边界力的合力在 和 方向分量的大小。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,74,当初始点的 和 的值为已知，则可求出 和。,若由A点开始，沿反时针方向在边界上积分求合力矩：,对原点O：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,75,因为：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,76,式中，为AB 段边界力对B点的矩。,由此可见，一旦A点确定，而且 已知，则可求出终点的。,若设：,则有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,

26、77,由上面分析可以看出，由于线性项不影响应力，所以 中的线性项 可以去掉，既是说可以假定 为零。即初始点可任意取，这就给出了利用边界条件确定应力函数特性的一种方法。,例1 P153,解：A点为始点，并令：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,78,AB 边：（注意逆时针转）,BC 边：（此时是对图示的 点取矩）,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,79,在 C 点：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,80,DA 边：,现将边界上的 值画于图（48），由以上分析，可以假设:,它满足双调和方程，同时满足边条，应力分量可推出为：,2023/11/1

27、3,第四章 弹塑性力学的解题方法,81,书中（2 P155）可自看。,结论：由于起始点不同，因而应力函数也不一样，由于只差常数项和一次项，因而求解的应力结果相同。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,82,例2 P156,解：（1）用半逆解法,由材料力学知，任意截面 上的弯距与 成正比，而截面上任意点处的应力分量 与该点到中性轴的距离成正比，所以可设：，这也是一种方法。,积分得：,代入双调和方程：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,83,上式对任意 均成立，,求解略去（前面有过类似介绍）。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,84,（2）用边界

28、上 及其导数的力学意义的方法,取初始点A，令：,AB边：,CD边：,因此，可假设：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,85,此时边条可写为：在 处，,在 处，,将 代入双调和方程，得：,积分得：,由于边界条件：AB、CD边 及 为已知，故有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,86,（1）,（2）,（3）,（4）,（2）（4）,（1）（3）,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,87,边界条件：AB边：,BC边：,CD边：,这里要注意：把集中力 放在左端考虑等效条件，而CD边则应精确满足边条。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法

29、,88,由 表达式：,这一结果显然满足上、下面的边条，而对于左、右面只能满足合力、合力矩相等的等效条件。,左端：,右端：,按平面应力问题考虑时，应变分量为：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,89,其中，,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,90,第六节 平面问题的极坐标解答,在实际问题中，结构的形状和受力情况是复杂的，选用合适的坐标系，针对某些特定的问题，这时可以大大方便问题的求解。前面我们介绍了平面直角坐标系下平面问题的求解，下面介绍极坐标下问题的求解。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,91,取极坐标 则有物理方程：,平衡微分方程为：,

30、2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,92,几何方程为：,极坐标中的相容方程（不计体力）：,是应力函数。,极坐标中应力函数表示的应力分量为（不计体力）：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,93,（427）,平面轴对称问题：,各物理量仅是的 函数与 无关，则有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,94,应力分量为：,应变分量为：,（430）,（431）,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,95,位移分量为：,（432）,其中，A，B，C，H，I，K 均为任意常数。,【应满足位移单值条件：当 时，是同一值，所以有】,对于平面应变问题

31、可以作相应变换即可。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,96,例1 P161,是单位厚度所受的力，显然，楔形体内任一点的应力分量是 的函数。应力分量的量纲为力长度-2，的量纲为力长度-1，的量纲为长度，无量纲，所以应力分量只能为 形式。,即是说，在各应力分量的表达式中，只能以负一次幂,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,97,出现，而从式 可以看出，应力函数 中的 的幂次应比应力分量中 的幂次高出两次，从而可以假设应力 函 数为：,（分离变量）,代入相容方程：,得：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,98,其特征方程为：,解为：,所以原方程的

32、通解为：,则有：,因为：,所以：为线性项，它不影响应力表达式，可略去，得：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,99,下面来确定常数C，D：,显然在左，右两面的应力边界条件是：,已自动满足,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,100,在楔体取一圆柱面，则上部应满足平衡条件，即：,积分得：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,101,利用坐标变换：,可以求出直角坐标系下应力分量的表达式为：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,102,当 时有：,半无限大平面体,直角坐标表达：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,10

33、3,例2 已知矩形截面圆环状的曲杆，受弯矩 的作用，试用应力函数及其导数的力学意义，求出应力函数以及相应的应力分量（图411）。,解：取A点为起点，令,DA 边：,BC 边：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,104,CD 边：,DA 边：,由于边界上 和 都与 无关，故可设：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,105,代入双调和方程得：,以下略，看书。,例3 P164,解：按圣维南原理，圆孔附近产生的应力集中影响在距圆孔较远处将明显减小，若取一个半径为 的大圆，则在大圆周边以外应力集中现象已很小。由单向拉伸知，在距圆孔较远处的应力状态，在 处通过坐标变换有

34、新问题的边界条件为：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,106,根据叠加原理可以把上面的边界条件分为：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,107,第一部分边界条件对应“平面轴对称问题”。,可以看出 是由常数项和余弦项两部分组成，所以可以设：,对于 有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,108,当 时，有：,当 时，有：,这相当于一个承受外拉力圆管的轴对称问题，由于是轴对称问题，所以有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,109,代入边界条件可得出：,又因为，在 表达式中，一项是多值的，比如，对于同一个，与 时，相差，而 与 为同一点，这不可能，所以必须有。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,110,若 时，则有：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,111,下面再研究 的第二项，其边界条件为：,时,时,由于几何形状具有对称性，且边界荷载是 的函数，所以可设：,代入双调和方程为：,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,112,逐次积分可得的 表达式，再代入 得：,式中：A，B，C，D 为积分常数。,2023/11/13,第四章 弹塑性力学的解题方法,113,利用叠加原理可得：,第七节 关于塑性力学的解题方法第八节 板条的弯曲问题不讲了，自学。,