弯曲变行材料力学.ppt

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1、第8章 弯曲变形及其刚度计算,8.1 工程中的弯曲变形问题,8.2 挠曲线近似微分方程,8.3 用积分法求梁的挠度和转角,8.5 梁的刚度计算,*8.7 超静定梁,8.4 用叠加法求挠度和转角,8.6 提高梁的刚度措施,第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算,8.1 工程中的弯曲变形问题,梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。,弯曲变形,8.2.1 挠度和转角,转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，逆时针转动为正,挠度：梁横截面形心的竖向位移y，向上的挠度为正,转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系,计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施,8.2 挠曲线近似微分方程,力学关系：,

2、几何关系：,挠曲线近似微分方程：,8.2.2 挠曲线近似微分方程,弯曲变形,8.3 用积分法求梁的挠度和转角,2.支承条件与连续条件:,1.,式中C、D为积分常数，由梁边界、连续条件确定。,1)支承条件：,2)连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的,弯曲变形,解：建立坐标系如图,x处弯矩方程为：,例8-1 图示B端作用集中力F的悬臂梁，求其挠曲线方程。,弯曲变形,列挠曲线方程并积分两次得：,例8-2 简支梁AB，承受均布载荷q作用，试求梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。,弯曲变形,解：1.计算支反力,2.建立挠曲线近似微分方程并积分,3.确定积分常数,由支座条件,得积分常数,4.转角

3、与挠度方程分别为,5.求最大转角和最大挠度,例8-3 求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。,解：1、求支反力,弯曲变形,2.分段建立挠曲轴近似微分方程，并积分,3.确定积分常数,弯曲变形,4.建立挠度方程并求最大挠度和最大挠度,最大挠度应在=0截面处，当 a b时，即在：,其最大挠度值,梁A端或B端的转角可能最大,比较二式的绝对值可知，当 时，为最大转角。,（6）讨论 当载荷F无限接近B端支座时，即 时，,梁最大挠度的所在位置仍与梁的中点非常接近,若载荷作用于中点，则最大转角在支座处，最大挠度也在中点处。,所引起的误差不超过3%。,用积分法求梁变形的步骤是：,(1)求支座反力，列弯矩方程；,

4、(2)列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其逐次积分；,(3)利用边界条件和连续条件确定积分常数；,(4)建立转角方程和挠度方程；,(5)求最大转角 和最大挠度，或指定截面的转角和挠度。,积分法是求梁变形的一种基本方法，其优点是可以求得梁的转角方程和挠度方程，可求任意点的挠度和转角；其缺点是运算过程较繁琐。,几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移，等于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。,8.4 用叠加法求挠度和转角,例 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。,1.在F作用下：,2.在q作用下：,3.在F和q共 同作用下：,叠加法,弯曲变形,例8-4 图所示的悬臂梁，受集中力F

5、和集度为q的均布载荷作用，求端点B处的挠度和转角。,解：将作用于梁上的外载荷分解,因集中力F而引起的B端的挠度和转角分别为：,因分布载荷而引起的B端的挠度和转角分别为：,由叠加法得B端的总挠度和总转角分别为：,弯曲变形,将梁分为二段：简支梁AB与悬臂梁BC,简支梁AB受集中力平移而得的集中力F及集中力偶Fa作用，查附录得截面B转角,截面C挠度,悬臂梁BC受集中力作用，在截面C挠度,截面C总挠度和总转角,例8-5 一变截面外伸梁如图所示，AB段的刚度为EI1，BC段的刚度为EI2；在C端受集中力F的作用，求截面C的挠度和转角。,例 简支梁受均布载荷和集中力作用，用叠加法计算截面C挠度。EI为常数

6、。,弯曲变形,解：载荷分解,均布载荷q单独作用时中点C挠度,集中载荷F单独作用时中点C挠度,均布载荷q与 集中载荷F共同作用时中点C挠度,例 图示悬臂梁受集中力F1和F2作用，求截面C挠度。EI为常数。,弯曲变形,解：载荷分解,载荷F1单独作用时截面B转角与挠度,载荷F1单独作用时截面C挠度,载荷F2单独作用时截面C挠度,载荷F1与F2共同作用时截面C挠度,例 组合梁AB,由梁AC与梁CB在铰链C处连接而成，长度均为a，梁AC上作用有集中力偶Me，在铰链C上作用有集中力F，Me=F，求截面C挠度与横截面A的转角。两梁弯曲刚度均为EI。,弯曲变形,解：由梁AC受力得梁AC及CB受力分别为,悬臂梁

7、CB在截面C的挠度为,截面A的转角,除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。,梁的刚度条件为：,通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足，一般是根据强度条件或构造上的要求，先确定构件的截面尺寸，然后进行刚度校核。,当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。,6-7 梁的刚度条件 与合理刚度设计,弯曲变形,例8-6 一台起重量为50kN的单梁吊车，由45a号工字钢制成。已知电葫芦重5kN，吊车梁跨度l=9.2m，许用挠度，材料的弹性模量E=210GPa，试校核此吊车梁的刚度。,解：将吊车梁简化为如图所示的简支梁。,（1）计算变形 电葫芦给吊车梁

8、的轮压为,45a号工字钢横截面的惯性矩和自重分别为：,因集中力F和均布载荷q而引起的最大挠度位于梁的中点C,叠加法求得梁的最大挠度为：,（2）校核刚度 吊车梁的许用挠度为,满足刚度要求。,例8-7 某车床主轴如图所示，已知工作时的切削力F1=2kN，齿轮所受的径向啮合力F2=1kN；主轴的外径D=8cm，内径d=4cm，l=40cm，a=20cm；C点处的许用挠度y=0.0001l，轴承B处的许用转角=0.001rad。设材料的弹性模量E=200GPa，试校核其刚度。,解：将主轴简化为如图所示的外伸梁,（1）计算变形 主轴横截面的惯性矩为,因F1而引起的C端的挠度为,因F1而引起的B处的转角为

9、,因F2而引起的B处的转角及C端的挠度,C处的总挠度为,B处截面的总转角为,（2）校核刚度 主轴的许用挠度和许用转角为：,主轴满足刚度要求,4.梁跨度的选择：缩短跨长：如将简支梁改为外伸梁；,2.合理选用材料；选用弹性模量E大的材料。但注意各种钢材的弹性模量E差别校小。,弯曲变形,3.梁的合理加强：应对危险截面区域更大范围加强抗弯刚度 EI,5.合理安排梁的约束与加载方式将集中载荷分散；载荷靠近支座增加约束的牢固性；增加支座使梁为静不定梁等,8.6提高梁刚度的措施,1.合理选用截面形状（增大梁的抗弯刚度 EI）；主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的

10、地方。例如：工字形、箱形等。,例 一简支梁受载如图示，已知许用应力160 MPa，许用挠度y=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。,解：1、作出梁的弯矩图,2、根据弯曲正应力强度条件，要求,3、梁的刚度条件为：,由此得,由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数Wz3.09xl0-4m3，惯性矩Iz=3.40 x10-5m4，可见选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。,弯曲变形,*8.7 超静定梁,弯曲变形,静定梁与静不定梁（超静定梁）,多余约束与多余支反力,静不定梁的求解方法1.解除多余约束，使梁成为静定梁，在解除约束处加上多余约束反力，得原静定梁的相

11、当系统。（静定梁的相当系统不唯一）2、按照变形协调关系求解相当系统。（在解除约束处的位移应满足原系统的位移要求。）,变形协调方程：yB=0,变形协调方程：yc=0,弯曲变形,例求解图示静不定梁,1.将梁解除B端支座，加上约束力。,3.按悬臂梁在均布载荷和集中载荷作用下，用积分法（或叠加法等）求解B处位移,2、变形协调关系（解除约束处的位移要求）,4、代入变形协调关系得补充方程,5、按题要求求其它未知量（约束反力、内力、应力、强度、变形等）,也可解除A端转动约束，其变形协调关系为,例 图示圆形截面梁，试校核梁的强度。已知F=20kN;a=500mm；d=60mm，=100MPa.,弯曲变形,解：1.求解静不定梁解除B端约束，则变形协调条件为,即补充方程为,解得：,2.强度校核,梁最大弯矩为,梁最大弯曲正应力为,梁强度符合要求,