工程图学第二章基本体和切.ppt

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1、第二章 基本体和切割体,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,21点的投影,二、点的两面投影,点的两面投影体系点在第一分角内的投影点在其他分角内的投影点在特殊位置的投影,投影面,正立投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,两个投影面互相垂直,V,H,X,O,V,H,A,a,a,向下翻,不动,点的两面投影体系,a,a,a,X,O,X,V,H,A,a,a,点的两面投影规律:,aaOX轴,aax=A到V面的距离,aax=A到H面的

2、距离,X,a,ax,a,三、点的三面投影,投影面,正立投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧立投影面（简称侧 面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:,aaOX轴,aax=aaz=y=A到V面的距离,aax=aay=z=A到H面的距离,aay=aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴

3、,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,点在四个分角中的投影,点在特殊位置的投影,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：,x 坐标大的在左,y 坐标大的在前,z 坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B点在A点之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,a,a,c,被挡住的投影加(),(),a c,22 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同

4、名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线倾斜于投影投影比空间线段 ab=AB,直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB 真实性,直线垂直于投影投影重合为一点ab=0 积聚性,直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,(1)一般位置直线,投影特性：,三个投影都缩短了。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。,一般位置直线求实长,直角三角形法求实长

5、,投影面平行线,(2)投影面平行线,在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角:与V面的角:与W面的夹角:,实长,实长,实长,投影面垂直线,反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。,(3)投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,另外两个投影，,在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,例题：判断下列直线的位置,二、直线与点的相对位置,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点

6、必不在此直线上。,判别方法：,AC/CB=ac/cb=ac/cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,点C不在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上，故点K不在AB上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,直线的迹点,定义 直线与投影面的交点基本特性 迹点是直线上的点，又是投影面上的点,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。,两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行

7、。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于投影面平行线，只有这两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。要用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,1(2),3(4),两直线交叉,投影特性：,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影

8、规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,小 结,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。定比定理。,重点掌握：,一、点的投影规律,aaOX轴,aax=aaz=y=A到V面的距离,aax=aay=z=A到H面的距离,aay=aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,二、各种位置直线的投影特性,一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。,投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。

9、,投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,三、直线上的点,点的投影在直线的同名投影上。,点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比定比定理。,四、两直线的相对位置,平行,相交,交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,2.3 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的

10、投影特性,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,投影面垂直面,a,b,c,a,c,b,c,b,a,投影面垂直面,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,投影面平行面,投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积

11、聚成与相应的投影轴平行的直线。,一般位置平面,一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,平面的迹线表示法,1.一般位置直线,2.特殊位置平面,三、平面上的直线和点,平面上取任意直线,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取

12、线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,k,b,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,小 结,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的 投影特性。,要 点,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在

13、其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性。另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性。另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线,相对位置包括平行、相交和垂直。,（一）、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面平行,2.4 直线与平面及两平面的相对位置,a,c,b,m,a,b,c,m,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,两平面平行,若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚

14、性的那组投影必相互平行。,例：过点K作一平面与相交两直线决定的平面平行,k,k,b,c,a,a,b,c,n,m,n,m,直线与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：,求直线与平面的交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。,（二）、相交问题,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,

15、1(2),作 图,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求两平面的交线,方法：,确定两平面的两个共有点。,确定一个共有点及交线的方向。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a

16、,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。,求交线,判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m、b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。,求交线,判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作

17、 图,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,3.求一般位置直线和一般位置平面的交点,方法：辅助平面法,求解过程：,N,M,F,E,C,A,B,R,K,1.作辅助平面R2.求出交线MN3.求交线与EF的交点，即为所求交点K,k,b,m,n,c,b,a,a,c,1(2),k,2,1,f,e,e,f,RH,m,n,求解过程：,1.作辅助平面R2.求出交线MN3.求交线与EF的交点，即为所求交点K4.判断可见性,4.求两一般位置平面的交线,方法1：

18、线面交点法,方法2：三面共点法,方法1：线面交点法,方法2：三面共点法,（三）垂直问题,一、两直线垂直 直角投影定理二、直线与平面相互垂直三、两平面垂直,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面因 BCAB,同时BCBb所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,一 两直线垂直相交（或垂直交叉）,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。,二、直线与平面垂直,如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面；如果一直线垂直于

19、一平面，则此直线垂直于该平面内的所有直线。,定理若一直线垂直于一平面，则该直线正面投影垂直于该平面内正平线的正面投影；该直线水平投影垂直于该平面内水平线的水平投影；该直线侧面投影垂直于该平面内侧平线的侧面投影。,推论：若一直线垂直于一平面，则该直线的各投影必垂直于该平面的同名迹线,作直线垂直于平面,作平面垂直于直线,判断直线与平面是否垂直,求点K到平面ABC的距离,三、两平面垂直,若一平面通过另一平面的垂线，则此两平面相互垂直作相互垂直平面的方法：1、通过一平面的垂线作平面 2、垂直一平面内的一直线作平面,例子,（四）平面上的最大斜度线,平面上和某投影面倾角最大的直线，称为该平面对某投影面的最

20、大斜度线。特性 1.平面对某投影面的最大斜度线与平面内该投影面的平行线相垂直。2.平面对某投影面的最大斜度线与该投影面的夹角，就是平面与该投影面的夹角。,证明,求平面倾角,（五）综合问题求解,点、线、面综合题，是指在解题过程中需要综合运用前述点、直线、平面，特别是直线、平面相对位置的基本概念和作图方法。,1)直角三角形法求线段的实长相对投影面的倾角;2)点将线段定比分割；3)一条边平行于投影面的直角投影定理；4)平面上取点、取直线；5)过点或直线作平面;6)作平面的最大斜度线；7)两直线问的相对位置关系(平行、相交、交叉、垂直)8)直线与平面之间的相对位置关系(平行、相交、垂直)9)平面与平面

21、之间的相对位置关系(平行、相交、垂直),常用的基本作图原理和方法,解题的一般步骤,弄清题意空间分析投影分析拟定解题方法,举例,试过点K作直线KL，使其同时垂直于两相错直线AB、CD,空间分析投影分析拟定解题方法,2.5 体的投影 视图,一、体的投影,体的投影，实质上是构成该体的所有表面的投影总和。,二、三面投影与三视图,1.视图的概念,主视图 体的正面投影,俯视图 体的水平投影,左视图 体的侧面投影,2.三视图之间的度量对应关系,三等关系,主视左视高相等且平齐,俯视左视宽相等且对应,视图就是将物体向投影面投射所得的图形。,3.三视图之间的方位对应关系,主视图反映：上、下、左、右 俯视图反映：前

22、、后、左、右 左视图反映：上、下、前、后,上,下,左,右,后,前,上,下,前,后,左,右,2.6 基本体的形成及其三视图,常见的基本几何体,平面基本体,曲面基本体,点的可见性规定：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。,由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。,一、平面基本体,1.棱柱,棱柱的三视图,棱柱面上取点,棱柱的组成,由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。,在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都

23、积聚成直线，与六边形的边重合。,(),2.棱锥,棱锥的三视图,在棱锥面上取点,b,a(c),b,棱锥的组成,由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点锥顶。,同样采用平面上取点法。,棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。,圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。,二、回转体,1.圆柱体,圆柱体的三视图,轮廓线素线的投影与曲面的 可见性的判断,圆柱面上取点,圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。,圆柱体的组成,由圆柱面和两底面组成。,圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线

24、OO1旋转而成。,直线AA1称为母线。,利用投影的积聚性,利用45线作图,在图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等边三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。,圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。S称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。,圆锥体的组成,2.圆锥体,圆锥体的三视图,轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断,圆锥面上取点,辅助素线法,辅助纬圆法,s,由圆锥面和底面组成。,如何在圆锥面上作直线？,过锥顶作一条素线。,圆的半径？,三个视图分别为三个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向轮廓线的投影。,3.圆球,圆母线以它的直径为轴旋转而成。,圆球的三视图,轮廓线的投影与曲 面可见性的判断,圆球面上取点,辅助纬圆法,圆球的形成,圆的半径？,3.圆环,（1）圆环的形成,（2）圆环的三视图,小结,重点掌握：,基本体的三视图画法及面上找点的方法。,平面体表面找点，利用平面上找点的方法。,圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。,圆锥体表面找点，用辅助素线法和辅助纬圆法。,球体表面找点，用辅助纬圆法。,5.圆环表面找点，用辅助纬圆法。,