工程力学-9-圆轴扭转的强度与刚度.ppt

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1、,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算,第二篇 材料力学,工程力学,返回总目录,工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面上仅有扭矩（Mx）作用时，与扭矩相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即为剪应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力变形分析以及强度设计和刚度设计。,分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算,返回,工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形,第9章 圆轴扭转时的应力

2、变形分析 与强度刚度计算计算,请判断轴受哪些力将发生什么变形,工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形,工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形,当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。,不难看出，圆轴受扭后，将产生扭转变形（twist deformation），圆轴上的每个微元的直角均发生变化，这种直角的改变量即为剪应变。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现剪应力分别用 和 表示。,返回,剪应力互等定理,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算,微元能不能平衡？,怎样才能平衡？,哪些力互相平衡？,剪应力互等定理,哪些力互相平衡？,剪应力互等定理,根据力偶平衡

3、理论,剪应力互等定理,剪应力互等定理,如果在微元的一对面上存在剪应力，另一对与剪应力作用线互相垂直的面上必然垂直大小相等、方向或相对(两剪应力的箭头相对)或相背(两剪应力的箭尾相对)，以使微元保持平衡。微元上剪应力的这种相互关系称为剪应力互等定理或剪应力成对定理(theorem of conjugate shearing stress),返回,圆轴扭转时的剪应力分析,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时的剪应力分析,变形协调方程,弹性范围内的剪应力剪应变关系,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,静力学方程,

4、圆轴扭转时的剪应力分析,变形协调方程,圆轴扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相邻的圆绕圆轴的轴线相互转过一角度。根据这一变形特征，假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。这就是关于圆轴扭转的平面假定。所谓“刚性地转过一角度”，就是横截面上的直径在横截面转动之后依然保持为一直线。,圆轴扭转时的剪应力分析,变形协调方程,称为单位长度相对扭转角（angle of twist per unit length of the shaft）。,对于两相邻截面，,故上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转

5、时的变形协调方程。,圆轴扭转时的剪应力分析,弹性范围内的 剪应力剪应变关系,剪切胡克定律,圆轴扭转时的剪应力分析,弹性范围内的剪应力剪应变关系,若在弹性范围内加载，即剪应力小于某一极限值时，对于大多数各向同性材料，剪应力与剪应变之间存在线性关系,此即为剪切胡克定律（Hooke law in shearing），式中G为比例常数，称为剪切弹性模量或切变模量(shearing modulus)。,圆轴扭转时的剪应力分析,弹性范围内的剪应力剪应变关系,其中,于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。,对于确定的横截面是一个不变的量。,圆轴扭转

6、时的剪应力分析,弹性范围内的剪应力剪应变关系,于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。,圆轴扭转时的剪应力分析,静力学方程,静力学方程,圆轴扭转时的剪应力分析,作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有,此即静力学方程。,IP就是圆截面对其中心的极惯性矩。式中的GIP称为圆轴的扭转刚度（torsional rigidity）。,静力学方程,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的 剪应力表达式,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的剪应

7、力表达式,这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表达式，其中Mx由平衡条件确定；IP由积分求得。,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,最大剪应力,Wp 扭转截面系数,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,截面的极惯性矩与扭转截面系数,=d/D,对于直径为 d 的实心圆截面,对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,已知：P7.5kW,n=100r/min,最大剪应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。,例 题 1,求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的

8、重量之比。,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩,实心轴,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题 1,解：对于空心轴，,算得,d20.5D2=23 mm,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题 1,解：确定实心轴与空心轴的重量之比,空心轴,D246 mm,d223 mm,实心轴,d1=45 mm,长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题 1,已知：P114kW,n1=n2=120 r/min,z1=36,z3=1

9、2;d1=70mm,d 2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大剪应力。,例 题 2,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,P1=14kW,P2=P3=P1/2=7 kW,n1=n2=120r/min,解：计算各轴的功率与转速,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题 2,Mx1=T1=1114 N.m,Mx2=T2=557 N.m,Mx3=T3=185.7 N.m,解：计算各轴的扭矩,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题 2,解：计算各轴的横截面上的最大剪应力,圆轴扭转时的剪应力分析,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式

10、例题 2,返回,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算,扭转实验与扭转破坏现象,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,试验结果表明，低碳钢的剪应力与剪应变关系曲线上，类似于拉伸正应力与正应变关系曲线，也存在线弹性、屈服和破断三个主要阶段。屈服强度和强度极限分别用s和b表示。,对于铸铁，整个扭转过程，都没有明显的线弹性阶段和塑性阶段，最后发生脆性断裂。其强度极限用b表示。,扭转实验与扭转破坏现象,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,韧性材料与脆性材料扭转破坏时，其试样断口有着明显的区别。韧性材料试样最后沿横截面剪断，断口比较光滑、平整。,铸铁

11、试样扭转破坏时沿45螺旋面断开，断口呈细小颗粒状。,扭转强度设计,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,扭转强度设计,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,与弯曲强度设计相类似，扭转强度设计时，首先需要根据扭矩图和横截面的尺寸判断可能的危险截面；然后根据危险截面上的应力分布确定危险点（即最大剪应力作用点）；最后利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。,对于脆性材料，,对于韧性材料，,其中为许用剪应力。,圆轴扭转时的强度设计准则为,已知：汽车发动机将功率通过主传动轴AB传给后桥，驱动车轮行驶。设主传动轴所承受的最大外力偶矩为Me1.5 kNm，轴由45号钢无缝钢管制成，外直径D90 mm，壁厚

12、2.5 mm，60 Mpa。,例 题 3,扭转强度设计,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,试:1试校核主传动轴的强度；2.若改用实心轴，在具有与空心轴相同的最大剪 应力的前提下，试确定实心轴的直径；3.确定空心轴与实心轴的重量比。,扭转强度设计例题 3,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,解：1校核空心轴的强度,根据已知条件，主传动轴横截面上的扭矩MxMe1.5 kNm，轴的内直径与外直径之比,因为轴只在两端承受外加力偶，所以轴各横截面的危险程度相同，轴的所有横截面上的最大剪应力均为,由此可以得出结论：主传动轴的强度是安全的。,扭转强度设计例题 3,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,

13、解：2确定实心轴的直径,根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求，实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于50.9MPa。若设实心轴直径为d1，则有,据此，实心轴的直径,扭转强度设计例题 3,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,解：3计算空心轴与实心轴的重量比,由于二者长度相等、材料相同，所以重量比即为横截面的面积比，即,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,扭转刚度设计,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,扭转刚度设计,扭转刚度计算是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则：,其中单位长度上的相对扭转角,式中的称为单位长度上的许用相对扭转角，其数值视轴

14、的工作条件而定。,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,扭转刚度设计,刚度设计中要注意单位的一致性：,中的单位为rad/m；而通常所用的单位为()m。因此，在实际设计中，若不等式两边均采用radm，则必须在不等式右边乘以（180）；若两边均采用()m，则必须在左边乘以（180）。,已知：钢制空心圆轴的外直径D100 mm，内直径d50 mm。若要求轴在2 m长度内的最大相对扭转角不超过1.5()，材料的切变模量G80.4 GPa。,例 题 5,试：1 求该轴所能承受的最大扭矩；2 确定此时轴内最大剪应力。,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,扭转刚度设计,解：1确定轴所能承受的最大扭矩根据刚

15、度设计准则，有,解：1确定轴所能承受的最大扭矩,由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为,空心圆轴截面的极惯性矩,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,扭转刚度设计例题 5,解：1确定轴所能承受的最大扭矩,9.688103 N.m9.688 kN.m,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,扭转刚度设计例题 5,解：3计算轴在承受最大扭矩时，横截面上的最大剪应力,轴在承受最大扭矩时，横截面上最大剪应力,承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,扭转刚度设计例题 5,结论与讨论,关于圆轴强度与刚度设计,结论与讨论,关于圆轴强度与刚度设计,圆轴是很多工程中常见的零件之一，其强度设计和刚度设计一般过程如下：,根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。,应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加力偶时，需要画出扭矩图。,根据轴的扭矩图，确定可能的危险面和危险面上的扭矩数值。,计算危险截面上的最大剪应力或单位长度上的相对扭转角,根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。,