实验十一向量、矩阵与行列式.ppt

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1、MATLAB,高等数学实验,实验十一向量、矩阵与行列式,实验目的掌握矩阵的输入方法。掌握利用MATLAB命令对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算,以及求逆矩阵和计算行列式。,11.1 学习MATLAB命令,11.1.1 向量的生成,(1)在“命令”窗口中直接输入向量在MATLAB中,生成向量最简单的方法就是在“命令”窗口中按一定格式直接输入。输入的格式要求是：向量元素用“”括起来,元素之间用空格、逗号或分号相隔。需要注意的是,用空格或逗号相隔生成行向量,用分号相隔生成列向量。(2)使用向量的生成函数冒号生成法：基本格式为vec=vec0:n:vecn,其中vec表示生成的向量,vec

2、0表示第一个元素,n表示步长,vecn表示最后一个元素。使用线性等分向量函数linspace：基本格式为vec=linspace(vec0,vecn,n),其中vec表示生成的向量,vec0表示第一个元素,vecn表示最后一个元素,n表示生成向量元素的个数。,11.1.2 向量的点积、叉积和混合积,当向量a,b,c具有相同的维数时,用命令dot(a,b)或sum(a.*b)可以计算出向量a与b的点积,用命令cross(a,b)计算三维向量a与b的叉积,用命令dot(a,cross(b,c)计算三维向量a,b,c的混合积。,11.1.3 矩阵的生成,(1)在“命令”窗口中直接输入矩阵把矩阵的元素

3、直接排列到方括号中,每行内的元素用空格或逗号相隔,行与行之问用分号相隔。(2)通过语句和函数产生矩阵在命令窗口中输入如下语句,并按Enter键确认：for i=1:5for j=1:5a(i,j)=1/(i+j-1);endenda,另外,命令zeros(m,n)生成mn阶零矩阵;命令ones(m,n)生成mn阶全1矩阵;命令eye(n)生成n阶零矩阵;命令“v=1,2,4,5;E=diag(v)”生成主对角线上的元素为1,2,4,5的对角矩阵;命令rand(m,n)生成mn阶随机矩阵,其元素值在区间(0.0,1.0)之间;命令randn(n)生成n阶随机矩阵,其元素值服从正态分布N(0,1)

4、;命令J=magic(n)生成n阶魔术矩阵,其每行、每列及每条主对角线的元素和相等;命令K=hilb(n)生成n阶Hilbert矩阵;命令L=invhilb(n)生成n阶反Hilbert矩阵;命令“v=1 2 3 4 5;M=vander(v)”生成5阶范德蒙德矩阵。此外,还可以在M文件中建立矩阵,或从外部的数据文件中导入矩阵。,命令transpose(A)或A,给出矩阵A的转置同型矩阵A与B的加法用A+B表示数k与矩阵A的乘法,用k*A表示矩阵A与矩阵C的乘法用A*C表示矩阵A与矩阵C的除法A/C用 表示命令An给出方阵A的n次幂命令inv(A)给出方阵A的逆运用det(A)命令可以求得一个

5、方阵A的行列式,11.2 实验内容,向量的输入与向量的基本运算,【例1】练习向量的输入,并求向量的转置。输入：a1=1,3,5,7,9%输入行向量a2=1 3 5 7 9%输入行向量,逗号可以用空格代替a3=1;3;5;7;9%输入列向量a4=transpose(a1)输出为：a1=1 3 5 7 9a2=1 3 5 7 9,a3=13579a4=13579,【例2】等差元素向量的生成。输入：vec1=10:5:80%10为第一个元素,5为步长,10为最后一个元素vec2=linspace(10,80,15)%10为第一个元素,80为最后一个元素,15为生成向量的元素个数输出为：vec1=10

6、 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80vec2=10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80,【例3】求向量u=1,2,3与v=1,-1,0的点积、叉积及混合积。输入：u=1,2,3;v=1,-1,0;a=dot(u,v)%用向量的点积函数dot计算向量的内积b=sum(u.*v)%采用sum函数计算向量的内积输出为：a=-1b=-1输入：w=cross(u,v)%用向量的叉积函数cross计算向量的叉积输出为：w=3 3-3输入：w=5,2,1;dot(w,cross(u,v)%计算向量的混合积输出为：

7、w=18,11.2.2 特殊矩阵的生成,【例4】特殊矩阵的生成。输入：A=zeros(3,5)%生成35阶零矩阵B=zeros(4)%生成4阶零矩阵C=ones(3,5)%生成35阶全1矩阵D=ones(4)%生成4阶全1矩阵输出为：,A=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0B=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0C=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1D=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,输入：v=1,2,3,4;E=diag(v)%生成主对角线上的元素为1,2,3,4的对角矩阵F=diag(

8、v,2)%生成在偏离主对角线以上两列的位置矩阵元素为1,2,3,4,其余为0G=diag(v,-1)%生成在偏离主对角线以下一列的位置矩阵元素为1,2,3,4,其余为0输出为：,E=1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4F=0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0G=0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0,输入：H=rand(2,3)%生成32阶随机矩阵,其元素值在区间(0.0,1.0)之间I=randn(3)

9、%生成3阶随机矩阵,其元素值服从正态分布N(0,1)J=magic(4)%生成4阶魔术矩阵,其每行、每列及每条主对角线的元素和相等输出为：H=0.8147 0.1270 0.6324 0.9058 0.9134 0.0975I=-0.4336 2.7694 0.7254 0.3426-1.3499-0.0631 3.5784 3.0349 0.7147J=16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1,输入：K=hilb(3)%生成3阶Hilbert矩阵L=invhilb(3)%生成3阶反Hilbert矩阵输出为：K=1.0000 0.5000 0.3333 0.

10、5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000L=9-36 30-36 192-180 30-180 180,输入：v=1 2 3 4 5;M=vander(v)%生成5阶范德蒙德矩阵输出为：M=1 1 1 1 116 8 4 2 1 81 27 9 3 1 256 64 16 4 1 625 125 25 5 1,11.2.3 矩阵的转置,【例5】求矩阵的转置。输入：A=1,3,5,1;7,4,6,1;2,2,3,4B=transpose(A)输出为：A=1 3 5 1 7 4 6 1 2 2 3 4B=1 7 2 3 4 2 5 6 3 1 1 4,矩阵的加

11、法、数乘和矩阵乘法,【例6】设,求A+B,4B-2A。输入：A=3,4,5;4,2,6;B=4,2,7;1,9,2;C=A+BD=4*B-2*A输出为：C=7 6 12 5 11 8D=10 0 18-4 32-4,如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数,则可进行求AB的运算。系统中乘法运算符为“*”,即用A*B求A与B的乘积。对方阵A,可用An求其n次幂。,【例7】设,求矩阵A与B的乘积。输入：A=3,4,5,2;4,2,6,3;B=4,2,7;1,9,2;0,3,5;8,4,1;A*B,输出为：ans=32 65 56 42 56 65输入：hilb(3)*invhilb(3)%生成3阶Hilb

12、ert矩阵左乘3阶反Hilbert矩阵输出为：ans=1 0 0 0 1 0 0 0 1,【例8】设,求 与,并求。输入：A=4,2,7;1,9,2;0,3,5;B=1;0;1;A*B输出为：ans=11 3 5这是列向量B右乘矩阵A的结果。,如果输入：B*A输出为：ans=4 5 12这是行向量B左乘矩阵A的结果。输入：A3输出为：ans=119 660 555 141 932 444 54 477 260,11.2.5 求方阵的行列式,运用det命令可以求得一个方阵的行列式。【例9】求行列式 的值。输入：A=3,1,-1,2;-5,1,3,-4;2,0,1,-1;1,-5,3,-3;det

13、(A)输出为：ans=40.0000,【例10】求 的值。输入：syms a b c dA=a2+(1/a)2 a 1/a 1;b2+(1/b)2 b 1/b 1;c2+(1/c)2 c 1/c 1;d2+(1/d)2 d 1/d 1;det(A),输出为：ans=a/(b*c2)+(a*c2)/b-a/(b2*c)-(a*b2)/c-b/(a*c2)-(b*c2)/a+c/(a*b2)+(b2*c)/a+b/(a2*c)-c/(a2*b)+(a2*b)/c-(a2*c)/b-a/(b*d2)-(a*d2)/b+a/(b2*d)+(a*b2)/d+b/(a*d2)+(b*d2)/a-d/(a*

14、b2)-(b2*d)/a-b/(a2*d)+d/(a2*b)-(a2*b)/d+(a2*d)/b+a/(c*d2)+(a*d2)/c-a/(c2*d)-(a*c2)/d-c/(a*d2)-(c*d2)/a+d/(a*c2)+(c2*d)/a+c/(a2*d)-d/(a2*c)+(a2*c)/d-(a2*d)/c-b/(c*d2)-(b*d2)/c+b/(c2*d)+(b*c2)/d+c/(b*d2)+(c*d2)/b-d/(b*c2)-(c2*d)/b-c/(b2*d)+d/(b2*c)-(b2*c)/d+(b2*d)/c,再输入：simple(det(A)输出为：ans=-(a*b*c*d-

15、1)*(a-b)*(a-c)*(a-d)*(b-c)*(b-d)*(c-d)/(a2*b2*c2*d2),【例11】计算范德蒙德行列式 的值。输入：syms x1 x2 x3 x4 x5A=1,1,1,1,1;x1 x2 x3 x4 x5;(x1)2(x2)2(x3)2(x4)2(x5)2;(x1)3(x2)3(x3)3(x4)3(x5)3;(x1)4(x2)4(x3)4(x4)4(x5)4;d1=simple(det(A)d2=factor(det(A),输出为：d1=(x1-x2)*(x1-x3)*(x1-x4)*(x2-x3)*(x1-x5)*(x2-x4)*(x2-x5)*(x3-x4

16、)*(x3-x5)*(x4-x5)d2=(x4-x5)*(x3-x5)*(x3-x4)*(x2-x5)*(x2-x4)*(x2-x3)*(x1-x5)*(x1-x4)*(x1-x3)*(x1-x2),11.2.6 求方阵的逆,在线性代数中,如果n阶方阵A可逆,则其逆矩阵为,其中 为矩阵A的伴随矩阵。MATLAB系统可对可逆矩阵A直接求逆,求逆命令为inv(A)。【例12】设,求。输入：A=2,1,3,2;5,2,3,3;0,1,4,6;3,2,1,5;det(A)inv(A),输出为：ans=-16.0000ans=-1.7500 1.3125 0.5000-0.6875 5.5000-3.6

17、250-2.0000 2.3750 0.5000-0.1250 0.0000-0.1250-1.2500 0.6875 0.5000-0.3125也可以输入：inv(sym(A)输出为：ans=-7/4,21/16,1/2,-11/16 11/2,-29/8,-2,19/81/2,-1/8,0,-1/8-5/4,11/16,1/2,-5/16这是符号运算结果。,【例13】设,求。输入：A=3,0,4,4;2,1,3,3;1,5,3,4;1,2,1,5;B=0,3,2;7,1,3;1,3,3;1,2,2;det(A)inv(sym(A)*B,输出为：ans=3.0000ans=164,-97/3,3048,-28/3,9-89,18,-16-34,7,-6对于线性方程组AX=b,如果A是可逆矩阵,X,b是列向量,则其解向量为。,【例14】求方程组 的解。输入：A=3,2,1;1,-1,3;2,4,-4;b=7;6;-2;det(A)inv(A)*b输出为：ans=2ans=1.0000 1.0000 2.0000,