大学高等代数线性代数.ppt

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1、4 最大公因式,5 因式分解,6 重因式,10 多元多项式,11 对称多项式,3 整除的概念,2 一元多项式,1 数域,7 多项式函数,9 有理系数多项式,8 复、实系数多项式 的因式分解,第一章 多项式,一、不可约多项式,二、因式分解及唯一性定理,1.5 因式分解定理,因式分解与多项式系数所在数域有关,如：,（在有理数域上）,问题的引入,（在实数域上）,（在复数域上）,设，且，若,不能表示成数域 P上两个次数比 低的多项式的,定义：,乘积，则称 为数域P上的不可约多项式.,说明：,一个多项式是否不可约依赖于系数域.,一次多项式总是不可约多项式.,一、不可约多项式,多项式 不可约,的因式只有非

2、零常数及其自身的非零常数倍.,或,多项式 不可约，对有,证：设 则,或,即 或,不可约.，若,则 或,证：若 结论成立.,若 不整除，则,定理5：,不可约，,则必有某个使得,推论：,若，则 可,唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积.,所谓唯一性是说，若有两个分解式,1.定理：,则，且适当排列因式的次序后，有,其中 是一些非零常数,二、因式分解及唯一性定理,证：对 的次数作数学归纳.,时，结论成立,下证的情形.,设对次数低于n的多项式结论成立,（一次多项式都不可约）,若 是不可约多项式.,若 不是不可约多项式，则存在,且 使,结论显然成立,由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积.,再证唯

3、一性.,可分解为一些不可约多项式的积.,都是不可约,设 有两个分解式,多项式.,对 作归纳法,若 则必有,假设不可约多项式个数为 时唯一性已证.,由(),不妨设 则,使得,(1)两边消去,由归纳假设有,即得,总可表成,对,其中为 的首项系数，为互不相同的，,首项系数为1的不可约多项式，,的标准分解式.,称之为,2.标准分解式：,说明,若已知两个多项式 的标准分解式,则可直接写出,就是那些同时在 的标准,分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带,方幂指数等于它在中所带的方幂指数,中较小的一个,例如，若的标准分解式分别为,则有,虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，但并未给出一个具体的分解多项式

4、的方法实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项式的方法是不存在的而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的,一、k 重因式,二、重因式的判别和求法,1.6 重因式,一、k 重因式,设 为数域P的不可约多项式，,则称 为 的 重因式.,若 1,则称 为 的重因式.,（若=0，不是 的因式),若，但,定义,若 1,则称 为 的单因式.,1.若 的标准分解式为：,则 为 的 重因式.,时，为单因式;,时,为重因式.,二、重因式的判别和求法,2.定理6,若不可约多项式 是 的 重因式,证:,假设 可分解为,其中,则它是 的微商 的 重因式.,令,是 的 重因式,且,为 的 重因式，但未必是,

5、的 重因式.,注意,定理6的逆命题不成立，即,推论1,若不可约多项式 是 的 重因式则 是 的因式，但不是 的因式.,推论2,不可约多项式 是 的重因式,是 与 的公因式.,推论3,推论4,多项式 没有重因式,，若 其中 为不可约多项式，则 为 的 重因式.,根据推论3、4可用辗转相除法，求出,说明,来判别 是否有重因式若有重因式，还可由,的结果写出来.,例1.判别多项式 有无重因式.,推论5,注:,不可约多项式 为 的 重因式 为 的 重因式.,与 有完全相同的不可约因式，,且 的因式皆为单因式.,一、多项式函数与根,二、多项式函数的有关性质,1.7 多项式函数,一、多项式函数与根,1.多项

6、式函数,设,数,将的表示式里的用代替，得到P中的数,称为当时 的值，记作,这样，对P中的每一个数，由多项式 确定P中唯一的一个数 与之对应，于是称 为P上的一个多项式函数,若多项式函数 在 处的值为0，即,则称 为 的一个根或零点,2.多项式函数的根(或零点),易知，若,则，,（余数定理）：用一次多项式 去除多项式,所得余式是一个常数，这个常数等于函数,值,二、多项式函数的有关性质,1.定理7,例1 求 在 处的函数值.,法一：,把 代入 求,用 去除 所得余数就是,法二：,答案：,若 是 的 重因式，则称 为,的重根.,当 时，称 为 的单根,当 时，称 为 的重根,2.多项式函数的k重根,

7、定义,注：,是 的重根 是 的重因式,有重根 必有重因式,反之不然，即有重因式未必 有重根,例如，,为 的重因式，但在R上 没有根,3.定理8(根的个数定理),任一 中的 次多项式 在 中的根,不可能多于 个，重根按重数计算,4.定理9,且,若有 使,则,证：设,若 即,时，由因式分解及唯一性定理，,可分解成不可约多项式的乘积，,由推论，的根的个数等于 分解式中,一次因式的个数，重根按重数计算，且此数,此时对 有,即 有0个根.,定理8,证：令 则有,由定理，若 的话，则,矛盾,所以，,即,定理9,解：,若,即,则,此时，有重根，,为 的三重根,若,即,则,此时，有重根，,为 的二重根,例3举例说明下面命题是不对的,解：令 则,但,是 的2重根，,不是 的根，从而不是 的3重根,例4 若 求,解：,从而，1为 的根,于是有，,