大学物理课件第2章运动的守恒量和守恒定律.ppt

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1、第二章 运动的守恒量和守恒定律,第二章 运动的守恒量与守恒定律,2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理 2-2 动量定理 动量守恒定律 2-3 功 动能 动能定理 2-4 保守力 成对力的功 势能 2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律 2-6 碰撞 2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 2-8 对称性和守恒定律,N个质点组成的系统-研究对象称为质点系。,内力：系统内部各质点间的相互作用力,特点：成对出现；大小相等方向相反,结论：质点系的内力之和为零,2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理,外力:系统外部对质点系内部质点的作用力,约定：系统内任一质点受力之和写成,一、质点系的

2、内力和外力,抛手榴弹的过程,质点系的质量中心，简称质心。具有长度的量纲，描述与质点系有关的某一空间点的位置。,质心运动反映了质点系的整体运动趋势。,二、质心,对于N个质点组成的质点系：,直角坐标系中,对于质量连续分布的物体,直角坐标系下,面分布,体分布,线分布,注意：,质心的位矢与参考系的选取有关。,刚体的质心相对自身位置确定不变。,质量均匀的规则物体的质心在几何中心。,质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心与重心位置重合。,由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设薄板每单位面积的质量为 则此面积元的质量,例1 求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。,解:建立图示坐

3、标,在离原点x处取宽度为dx的面积元，,三角形质心坐标xc是,这个结果和熟知的三角形重心位置一致。,例2：已知一半圆环半径为 R，质量为M,解,建坐标系如图,y,x,O,d,取 dl,dm=dl,几何对称性,(1)弯曲铁丝的质心并不在铁丝上,(2)质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，与其它因素无关,说明,求：它的质心位置,设有一个质点系，由 个质点组成，它的质心的位矢是：,质心的速度为,三、质心运动定理,质心的加速度为,由牛顿第二定律得,对于内力,质心运动定理,表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中

4、作用其上的一个质点的运动一样。,2）质心运动状态取决系统所受外力，,则 不变,3）,1)质心的运动，该质点集中整个系统质量，并集中系统受的外力，代替质点系整体的平动。,内力不能使质心产生加速度。若,讨论,质心速度不变就是动量守恒（同义语）,说明，合外力直接主导质点系的平动，而质量中心最有资格代表质点系的平动。为什么？因为只有质心的加速度才满足上式。只要外力确定，不管作用点怎样，质心的加速度就确定，质心的运动轨迹就确定，即质点系的平动就确定。,4)系统内力不会影响质心的运动,如抛掷的物体、跳水的运动员、爆炸的焰火等，其质心的运动都是抛物线。,例4 如图所示，人与船构成质点系，当人从船头走到船尾，

5、,解：,水平方向外力为零,开始时，系统质心位置,终了时，系统质心位置,x,O,求人和船各移动的距离,解得,我们往往只关心过程中力的效果,力对时间和空间的积累效应。,力在时间上的积累效应：,平动,冲量,动量的改变,转动,冲量矩,角动量的改变,牛顿定律是瞬时的规律,在有些问题中，,如：碰撞（宏观）、,（微观）,散射,一、动量与冲量,力在空间上的积累效应：,但力的作用可能需要持续一段时间，或者需要持续一段距离,功,2.2 动量定理 动量守恒定律,1、动量,m,定义：,单位:Ns,定义式:,2、力的冲量,则在t 间隔内力的冲量为,冲量是矢量，过程量,若力的变化连续,恒力的冲量,牛顿运动定律,二、质点动

6、量定理,（动量定理的微分形式）,对一段有限时间有,x,y,z,O,质点动量的增量等于合力对质点作用的冲量 质点动量定理,（动量定理积分形式）,结论：,质点动量的增量等于合外力乘以作用时间的增量,(1)物理意义：,质点动量的变化依赖于作用力的时间累积过程,合力对质点作用的冲量,质点动量矢量的变化,讨论,动量定理的分量形式,冲量的任何分量等于在它自己方向上的动量分量的增量,(过程量)=(状态量的增量),动量、冲量都是矢量，冲量的方向与动量的增量方向相同，动量的增量是动量的矢量差。,(2)矢量性：,船中心线的速度,风与航线的夹角,吹到帆面的一小块风的质量,吹向帆面的风速,离开帆面的风速,风对船的冲力

7、,例：逆风行舟,俗话说：好船家会使八面，有经验的水手能够利用风力逆风前进。,在力的整个作用时间内，平均力的冲量等于变力的冲量,平均力,（3）平均冲力,（4）动量定理仅适用于惯性系，在m不变情况下，式中速度v应对应于同一惯性系。,动量定理在打击或碰撞问题中可方便地用来求平均力,例1 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，,解 篮球到达地面的速率,对地平均冲力,相当于 40kg 重物所受重力!,以同样速率反弹，接触时间仅0.019s.,求 对地平均冲力?,例2 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，,开始时，下端与地面的距离为 h,当链,条自由下落在地面上时,地面所受链条的作用力？

8、,L,h,解 设,链条在此时的速度,根据动量定理,地面受力,m,求 链条下落在地面上的长度为 l(lL)时，,dm,l,例3：矿砂以 从传送带B落到传送带A上后，随A以 运动。已知，方向如图。传送带的传送量。求矿砂作用在传送带上的平均力。,（1）解析法：,研究对象：内落在A上的矿砂为：,（2）作图法,解：,三、质点系动量定理,P 表示质点系在时刻 t 的动量,（质点系动量定理）,一对内力,某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和。,直角坐标系：,(1)只有外力可改变系统的总动量,(2)内力的作用：不改变系统的总动量，但可以改变系统内单个质点的动量。,说

9、明,（积分形式）,质点系动量定理,（微分形式）,?,1.质点动量守恒定律：,常矢量,2.质点系动量守恒定律：,常矢量,四、质点系的动量守恒定律,问：卫星绕地球作匀速圆周运动，动量是否守恒？,动量不守恒。因为 作用，即,4、若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒，尽管总动量可能并不守恒。,5、当外力内力且作用时间极短时（如碰撞），可认为动量近似守恒。,6、动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本，在宏观和微观领域均适用。,3、动量若在某一惯性系中守恒，则在其它 一切惯性系中均守恒。,2、动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。质点系内各质点的速度必须是相对同一惯性参照系而言。,1、动量守恒定律是牛

10、顿三定律的必然推论。,关于动量守恒定律的几点说明,一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块,已知两木块的质量分别为 m1,m2，子弹穿过两木块的时间各为 t1,t2，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F，,子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为v1,子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2,例1,解,求子弹穿过后，两木块各以多大速度运动？,解得,例2：打炮。设炮车放在光滑地面上。,炮车M，炮弹m。起始时静止当炮弹以 相对于炮车射出，求：炮车在 方向的反冲速度。,解：,炮弹水平对地速度,炮弹对车速度,车相对地的速度,动量定律在惯性系成立。,射炮时，炮车有加速度，为非惯性系。,如图所示，两

11、部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动，B的速度为u，从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻 t 时，A车的质量为M，速度为v。,选A车M和t 时间内抽至A车的水m为研究系统，水平方向上动量守恒,解:,例3,求:t 时刻 A 的瞬时加速度,五、变质量动力学简介,设质点在 t 时刻的质量为 m，速度为v，由于外力 F 的作用和质量的并入，到 t+dt 时刻，质点质量变为 m+dm，速度变为 v+dv。在 dt时间内，质量的增量为 dm，如 dm与 m合并前的速度为 u，根据动量定理有,略去二阶无穷小量,（密歇尔斯基方程）,dm 与 m 合并

12、前相对于m 的速度,质量减少？,粘附 主体的质量增加（如滚雪球）,变质量问题（低速，v c）有两类：,下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题的应用。,抛射 主体的质量减少（如火箭发射）,还有另一类变质量问题是在高速（v c）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以改变 随速度变化 m=m(v)，这是相对论情形，不在本节讨论之列。,选优质燃料,?,火箭发射,采取多级火箭,当不计空气阻力，只计重力，则,（火箭的速度方程）,讨论,(1)若不考虑重力,(2)多级火箭问题,变质量动力学的应用 火箭的运动方程,t 时刻，,火箭质量为 M，速度为 v,v,火箭的质量比 N,例1 柔软的绳盘在桌面上，总质

13、量为m0，总长度l 质量均匀分布，均匀地以速度v0 提绳。,解：(法一)取整个绳子为研究对象,求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力F,已提升的质量(主体)m 和将要提升的质量dm,(法二)类似火箭飞行的方法求解,此例中方法2似乎更简便些,系统是：,一、功,1、恒力的功,2、变力的功,空间积累：功,时间积累：冲量,研究力在空间的积累效应 功、动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。,a,b,求质点M 在变力作用下，沿曲线轨迹由a 运动到b，变力作的功,一段上的功：,M,在,2-3 功 动能 动能定理,（J）,在直角坐标系中,在ab一段上的功,在自然坐标系中,说明,(1)功是标量，且有正负,(2)合力

14、的功等于各分力的功的代数和,(3)一般来说，功的值与质点运动的路径有关,3、功率,力在单位时间内所作的功，称为功率。,平均功率,当t 0时的瞬时功率,（J/s W(瓦)）,（4）功与参考系有关，具有相对性,以车厢为参考系，摩擦力不做功。以地面为参考系，摩擦力做功。一般情况下，通常约定以地面为参考系。,例1 在10m深的井中吊水，桶中装满水时，水、桶一共的质量为10kg。由于桶漏水，每上升一米漏水0.2kg，求一桶水从水面提到井口至少需作功多少？,解：dA=Fcos dy=(m0.2y)gdy,质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为,解:,在质点从 y=16m 到 y

15、=32m 的过程中，外力做的功。,求,例2,开始时质点位于坐标原点。,二、质点动能定理,作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。,(1)Ek 是一个状态量,A 是过程量。,(2)动能定律只用于惯性系。,说明,1.质点动量守恒定律：,常矢量,2.质点系动量守恒定律：,常矢量,质点系的动量守恒定律,质点动能定理,小结,一、几种常见力的功,1、重力的功,重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为,m,G,2-4 保守力 成对力的功 势能,重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了位置的高度差。,(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路

16、径无关。,(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。,结论,2、弹性力的功,(1)弹簧弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。,(2)弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，弹性力作负功。,弹簧弹性力,由x1 到x2 路程上弹性力的功为,弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变量平方之差的一半。,结论,3、万有引力的功,上的元功为,万有引力 F 在全部路程中的功为,(1)万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。,M,a,b,m,结论,在位移元,4、摩擦力的功,在这个过程中所作的功为,摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与

17、质点所行经的路径有关。,，摩擦力方向始终与质点速度方向相反,(2)质点移近质点时，万有引力作正功；质点A远离质点O 时，万有引力作负功。,结论,摩擦力,一轻弹簧的劲度系数为k=100N/m，用手推一质量 m=0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处,如图所示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。,放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中，,解,例,物体与水平面间的滑动摩擦系数。,求,摩擦力作功,弹簧弹性力作功,根据动能定理有,共同特征：作功与相对路径无关，只与始末(相对)位置有关,1、保守力的定义如 重力作功,弹性力的功,万有引力的功,具有这种特

18、征的力（严格说是一对力）称为保守力,二、保守力,2、保守力的定义有两种表述:1）如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。,数学表示：,证明第二种表述：,=0,2）保守力沿闭合路径一周所做的功为零。,保守力的几点说明,1.重力、万有引力、弹性力都是保守力。,2.保守力沿闭合路径一周所做的功为零。,即,保守力的环流为零。描述矢量场基本性质的方程形式,3.作功与路径有关的力称为非保守力或耗散力。,例如:摩擦力,普遍意义：环流为零的力场是保守场，如静电场力的环流也是零，所以静电场也是保守场。,环流不为零的矢量场是非保守场，如磁场。,(作功与路径有关),弹性势能零点x

19、o=0,定义：质点在保守力场中某点的势能，在量值上等于质点从M点移动至零势能点M0 的过程中保守力,1.重力势能,2.弹性势能,所作的功。,三、势能,重力势能零点ho=0,即,令,若选末态为势能零点,引力势能零点ro=,3.万有引力势能,r,M,m,等势面,例如,在质量为M、半径为R、密度为 的球体的万有引力场中,M,R,x,m,(1)质点在球外任一点C，与球心距离为x，质点受到的万有引力为:,O,(2)质点在球内任一点C，与球心距离为x，质点受到的万有引力为,m,质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。,四、势能曲线,(1)由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。,(2)

20、保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。,说明,重力势能,弹性势能,E,万有引力势能,在保守力场中，质点从起始位置 1 到末了位置2，保守力的功 A 等于质点在始末两位置势能增量的负值,五、成对力的功,设:质点m1和m2,它们之间的为相互作用力为 和,结论:成对力的总功与参考系的选择无关,其大小只取决与力和相对位移的乘积。,2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律,一、质点系统动能定理,系统外力和内力作的功的总和等于系统总动能的增量。,讨论：内力和为零,内力功的和是否为零？,一般不为0,对质点系:,当,机械能守恒定律,系统的功能原理,(2)守恒律只适用于惯性系;与惯性参考系的选择有关,

21、(3)守恒是对一个系统和对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态。,说明,(1)守恒条件,二、机械能守恒定律,机械能增量,三、能量守恒定律,能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量转换和守恒定律。,3.机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现,1.能量守恒定律可以适用于任何变化过程,2.功是能量交换或转换的一种度量,例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转换为电能。,讨论,电流通过电热器能发热，把电能又转换为热能。,例1：在光滑的水平台面上放

22、有质量为M的沙箱，一颗从左方飞来质量为m的弹丸从箱左侧洞口击入，在沙箱中前进一段距离l后停止。在这段时间内沙箱向右运动的距离为s，此后沙箱带着弹丸以匀速运动。求此过程中内力 f 所作的功。,分析：系统内力既对沙箱作功，又对子弹作功，其功为两者之和。,解：,A内=f(s+l)+f s f=f,所以 A内=f l 0,长为l 的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂,已知链条与水平面间静摩擦系数为0,滑动摩擦系数为,(1)以链条的水平部分为研究对象，设链条每单位长度的质量为，沿铅垂向下取Oy 轴。,解,例2,求,满足什么条件时，链条将开始滑动(2)若下垂部分长度为b 时，链条自静止开始滑动，

23、当链条末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？,当 y b0，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。,设链条下落长度 y=b0 时，处于临界状态,(2)以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零，,摩擦力的功,重力的功,根据动能定理有,解(二)：用牛顿定律解,解(三)：用功能原理求解,例题3 在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从A滑到B，已知圆的半径R=4m，设物体在B处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。,则,解法一：根据功的定义，以m为研究对象，受力分析,解法二，根据动能定理，对物体受力分析，只有重力和摩擦力作功，,解

24、法三，根据功能原理，以物体和地球为研究对象,代入已知数字得,负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功42.4J,用弹簧连接两个木板m1、m2，弹簧压缩x0,解：,整个过程只有保守力作功，机械能守恒,例4,给m2 上加多大的压力能使m1 离开桌面？,求,1.弹性碰撞：,动量守恒：,动能守恒：,讨论：,2-6 碰撞（对心碰撞),三种碰撞：,?,碰撞后两球的分离速度（v2-v1）与碰撞前两球的接近速度（v10-v20）成正比。比值由两球的质料决定。,2.完全非弹性碰撞：,动量守恒：,机械能损失：,动量守恒：,3.非弹性碰撞：,碰撞定律：,e 称为恢复系数,则,例题2-18 在碰撞实验中，常用

25、如图所示的仪器.A为一小球，B为蹄状物，质量分别为m1和m2.开始时，将A球从张角处落下，然后与静止的B物相碰撞，嵌入B中一起运动，求两物到达最高处的张角,解：(1)小球A从开始位置下落h，而到最低位置，这是小球与蹄状物B碰撞前的过程，此过程机械能守恒,(2)当小球与蹄状物碰撞时，两物作完全非弹性碰撞，动量守恒,(3)小球与蹄状物开始运动后，在这过程中机械能守恒定律，,从(1)、(2)和(3)三式消去v和v，可得,利用这种碰撞实验，可以验证动量守恒与机械能守恒定律,则,例题2-19 一质量为m的光滑球A，竖直下落，以速度u与质量为m的球B碰撞球 B由一根细绳悬挂着，绳长被看作一定设碰撞时两球的

26、连心线与竖直方向(y方向)成角，如图所示已知恢复系数为e，求碰撞后球A的速度,解：这是个斜碰问题。,设A在碰撞后的分速度为vx与vy,B速度为v，只能沿水平方向,在x方向动量守恒定律,接触光滑，相互作用力F在连心线方向上,当=0时，vx=0，vy=eu，这说明球A将以速率eu反弹.这是对心碰撞的结果。当=/2时，vx=0，vy=-u，这说明球A将以速率u竖直下落因为接触是光滑的，这后一结果就在意料之中。,解：第一宇宙速度（环绕速度）,例题2-17 讨论宇宙航行所需要的三种宇宙速度.,环绕速度,当 时,第一宇宙速度,第二宇宙速度（逃逸速度）,物体脱离地球引力时，系统机械能最小,第二宇宙速度,第三

27、宇宙速度,物体相对太阳的速度,物体脱离太阳引力所需的最小速度,地球相对太阳的速度,物体相对于地球的发射速度,从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能必须满足,第三宇宙速度,介绍逃逸速度与黑洞,逃逸速度：物体脱离引力所需要的最小速率以脱离地球的引力为例,，以无限远作为势能零点,若,引力作用下塌陷,当m一定时，,收缩到,视界半径广义相对论,设想1)把地球变成黑洞,2)把太阳变成黑洞,3)引力理论：转化为黑洞的只能是质量满足一定条件的恒星,太阳的质量,白矮星,“黑洞”是不会发光的，是黑漆漆的，也是一个特殊的天体，黑洞具有强大的引力场，以致于任何东西，甚至连

28、光都被它吸进而不能逃掉。“黑洞”象一个饿极了的魔鬼，张着黑漆漆的大嘴吞噬着宇宙间的任何一样物体，当一颗恒星靠近黑洞，就会很快被它的引力拉长成面条形的物质流，然后它就象饿鬼吞面条一样狼吞虎咽地迅速吞进“肚子里”。有的时候一颗恒星被黑洞抓住后，就会被强大的潮汐力撕得粉碎，然后再吸入一个环绕黑洞的抛形结构盘状体中，在不断旋转中，由黑洞慢慢“享用”，并产生巨大的能量。,究竟什么是黑洞？,当黑洞所吸收的物质超过它所能容纳的临界点时，即产生宇宙大爆炸。爆炸初级的高温阶段，宇宙中只有中子、电子、光子，中微子等基本粒子形态的物质，形成一个原初的火球，它向周围迅速膨胀，同时温度和密度都不断下降。当温度下降到10

29、0亿度时，宇宙中开始形成化学元素，随后，宇宙物质取等离子态。当温度下降到几千度时，等离子体复合成通常的气体，当温度再往下降时，气体物质逐渐凝聚成星云，以后又凝缩成各种星体，成为今天总星系的模样。奇妙的是，宇宙大爆炸后形成星云涡流的形状，和今天我们看到的太极图极其相似，其中是否存在我们人类至今尚未揭开的秘密呢？,借助美国宇航局的“钱德拉”射线望远镜，由德国、荷兰和美国等国天文学家组成的一个研究小组证实，两个巨型黑洞可以同时共存于一个星系之中。,他们发现的这两个黑洞所处星系代号为“Ngc 6240”，该星系极其明亮，呈现为蝴蝶状，距地球大概亿光年。这两个质量分别在太阳质量百万倍以上的黑洞彼此绕对方

30、运转，相距约3000光年,美国天文学家2004年3月初表示，“钱德拉”X射线宇宙观测台发现宇宙间新的“黑洞”类型，其质量约是太阳的一百倍。,银河系中心的黑洞在挨饿,来自巴黎的消息称，一个潜伏在银河系中心的超级黑洞吸引了一颗星球，并使之以每小时1.8亿公里的速度在变形的轨道上运行。这颗星球的照片被欧洲天文学家拍摄到，他认为这首次证明了位于银河系中心具有极大规模的黑洞。天文学家们认为大多数星系的中心都有一个黑洞，这是宇宙中已知的最大能量所在。,人马座A(NGC5128)星系中心的尘埃盘，其中有一个巨大的超级黑洞,左上图是椭圆星系NGC7052中心的尘埃盘,右图是位于NGC6251中心，发出强烈紫外

31、线辐射的尘埃盘，其内部可能存在一个巨型黑洞,由于引力特大，以至于其发出的光子及掠过其旁的任何物质都被吸收回去，所以看不到它发出的光，顾名思义称其为黑洞。,黑洞：,掉入黑洞的所有信息都丢失了，唯有质量、电荷（或磁荷）、角动量没有被吃掉。,黑洞无毛定理：,例1.一雪橇从高度为50m 的山顶上点A 沿冰道由静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m。雪橇滑至山下点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C处。若摩擦因数为0.050。求此雪橇沿水平冰道滑行的路程。(点B附近可视为连续弯曲滑道，忽略空气阻力。),解：以雪橇、冰道和地球为一系统，,由功能原理,功能问题,又,可得,代入已知数据有,功能问题,例2.有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶点P,另一端系一质量为m 的小球,小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦).开始小球静止于点A,弹簧处于自然状态,其长度为圆环半径R;当小球运动到圆环的底端点B 时,小球对圆环没有压力.求弹簧的劲度系数.,解：以弹簧、小球和地球为一系统，,只有保守内力做功,系统机械能守恒,取图中点 为重力势能零点,功能问题,