大学物理角动量角动量守恒.ppt

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1、3.5 质心 质心运动定理,质心-质点系的质量中心。,两个质点的质心 c 的位置,定义如下:,它是物体位置 以质量为权重的 平均值。,一.质心的概念和质心位置的确定,对多个质点的质点系,若物体的质量连续分布,则,均匀直棍、圆盘、球体等,质心在它们的几何中心上。,物体的质心一定在物体上吗？,质心与重心是不同的概念,它们 一定在同一点上吗?,质心的速度（对t 求导）,质点系的总动量,质点系的总动量的变化率,二.质心运动定理,有,即“一个质点系的质心的运动，就如同这样一个质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的质量并且集中在质点，而此质点所受的力是质点系所受的外力之和”,-质心运动定理,它说明质心的

2、运动服从牛。,它也说明系统内力不会影响质心的运动。,求：船相对岸移动的距离 d=？（设船与水之间的 摩擦可以忽略）,【解】,方法一：,质心法。,系统：人与船,水平方向：不受外力,所以质心始终静止。,例5 质量M=200千克、长 l=4米 的木船 浮在 静止 的水面上，一质量为m=50千克 的人站在船尾。今人以时快时慢的不规则速率从船尾走到船头，,得,x方向：,（负号表示什么？）,位移,（相同）,设，如图，从船尾走到船头需时T,三.质心（参考）系,1.质心系,质心系是固结在质心上的平动参考系，或质心在其中静止的平动参考系。,质心系不一定是惯性系。,质点系的复杂运动通常可分解为：,即在质心系中考察

3、质点系的运动。,讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。,质点系整体随质心的运动；,各质点相对于质心的运动,2.质心系的基本特征,所以，质心参考系是 零动量参考系。,例.两质点系统，在其质心参考系中，,总是具有等值、反向的动量。,因质点系的总动量为,对质心参考系来说,质心系中看两粒子碰撞,第 5 章 角动量 角动量守恒,5.1 质点的角动量 角动量定理,一.质点（对固定点）的角动量,物理学非常注意守恒量的研究。,在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（固定点）转动时,行星始终在同一个平面内运动的现象。,例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面,例如：银河系中的每个恒星都有自己的转动平面。,银河系

4、,在这些问题中，存在着质点的角动量守恒的规律。,单位：kgm2/s 或 Js,质点作匀速率圆周运动时，,角动量的大小为 L=mvR,角动量的方向不变。,质点对某一固定点的角动量（动量矩）,定义：,二.角动量定理,这里 先说一说它：,方向：右手法则,大小：,图中 r0称为力臂。,质点对固定点角动量的时间 变化率等于合力对该点的力矩。,称为力矩（对固定点）,-质点角动量定理 的微分形式（对固定点）,或,对 t1t2 时间过程,有,上式右边为质点角动量的增量左边称为冲量矩（请对比质点动量定理）。,即“质点对固定点角动量的增量等于该质点 所受的合力的冲量矩”。,-质点角动量定理 的积分形式（对固定点）

5、,三、角动量守恒定律及其应用,例.证明开普勒第二定律:,【解】,因为是有心力场，,所以力矩 M=0,行星对太阳的矢径在 相等的时间内 扫过 相等的面积。,角动量守恒：,始终在同一平面内。,若经 时间，,扫面速度：,所以地球人造卫星在近地点速度大，在远地点速度小。,1970年，我国发射了第一颗地球人造卫星。,近地点高度为 266 km,速度为 8.13 km/s;,远地点高度为 1826 km,速度为 6.56 km/s;,计算出椭圆的面积,根据“扫面速度”,就可以得到绕行周期为 106分钟。（课下算一下）,动量不守恒 是很明显的。,角动量不守恒,对 o点：,角动量守恒,动量守恒不守恒？,角动量

6、守恒不守恒？,机械能守恒不守恒？,讨论锥摆的守恒量,从守恒条件看：,对点：,第13题.设地球可看作半径 R=6400km 的球体。一颗人造地球卫星在地面上空 h=800 km 的 圆形轨道上以 v1=7.5 km/s 的速度绕地球 运动。今在卫星外侧，点燃一个小火箭,给 卫星附加一个指向地心的分速度 v2=0.2 km/s.,求：此后卫星的椭圆轨道 的近地点和远地点离 地面多少公里？,使卫星转为椭圆轨道。,所以角动量守恒。,设火箭点燃时，卫星 m 对地心的 位矢为,在近地点时，位矢为，速度为，则有,速度为,【解】,对“卫星+地球”,对“卫星+地球”,因为作椭圆运动时，只有万有引力作功，机械能守

7、恒，有,（动量矩）,（动量矩）,为了免去G、M 的计算，通常利用卫星作圆周运动时的向心力（即万有引力）来化简上式：,代入机械能守恒式：,得,解（1）（2）联立-将（1）式的 v 代入（2），,近地点高度,远地点高度,同理,可得,例.如图所示，光滑水平面中央有一小孔，轻的细绳穿过小孔。水平桌面上部分一端拴一质量 的质点，在桌面上沿着半径为 的圆周运动，轻绳下端挂一质量 的重物刚好平衡。今用手将重物向上托起 后松开。问：放手后能否保持平衡？若不平衡，重物向什么方向运动？,5.2 质点系的角动量定理,一个质点系对一固定点的角动量 定义为其中各个质点对该固定点的角动量的矢量和，即,其中,将上式对质点系

8、内所有质点求和，得,-各质点所受外力矩 的矢量和称为 质点系所受合外力矩,-各质点所受内力矩 的矢量和,式中,记作,与 共线，,所以这一对内力矩之和为零。,同理可得所有内力矩之和为零。,于是得,“一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的 角动量对时间的变化率”-质点系的角动量定理,内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出现的，对i,j 两个质点来说，它们相互作用的内力矩之和为,1.质点系的角动量定理也是适用于惯性系。,2.外力矩和角动量都是相对于惯性系中的 同一固定点说的。,3.当合外力矩为零时，质点系总角动量不随 时间变化，-质点系的角动量守恒定律。,4.内力矩不影响质点系总角动量，但可影 响

9、质点系 内 某些质点的角动量。,说明,例.两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮 的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后 右边的小孩用力向上爬绳，另一个小孩仍抓 住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。问：哪一个小孩先到达滑轮？,设滑轮半径为R，两小孩的质量分别为m1、m2，,【解】,把小孩看成质点，以滑轮中心为“固定点”，,m1=m2,对“m1+m2+轻绳+滑轮”系统：,外力：,条件：,所以角动量守恒,设两小孩分别以 速度上升。,设角动量以指向纸内为正。,（指向纸内）,（指向纸外）,系统的角动量守恒：,爬与不爬，两小孩同时到达滑轮！,有人说该系统机械能守恒，对不对？,有人说该系统动量守恒，对不对？,

10、思考：,（启动前）,（启动后）,不对。,不对。,系统所受的合外力矩为,（仍以朝向纸内为正）,（1）设（右边爬绳的是较轻的小孩）,思考：的方向是什么？,角动量定理,初始时小孩未动，。,现在,即质量为 m2（轻的、爬的）小孩先到。,（2）设 m2 m1（右边爬绳的小孩较重）,即质量为 m1（轻的、不爬的）小孩先到。,总之，轻的小孩总是先到，爬绳的小孩不一定先到。,同理可得，,例.一长为 l 的轻质细杆两端分别固接小球 A 和 B,杆可绕其中点处的细轴在光滑水平面上转动。初始时杆静止,后另一小球C以速度v0垂直于杆碰A,碰后与 A合二而一。设三个小球的质量都是 m,求:碰后杆转动的角速度。,【解】,

11、选系统:A+B+C,答：轴处有水平外力，动量不守恒。,可得,碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？,答：轴处有水平外力，但没有外力矩，角动量守恒。,碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？,即,设碰后 B 球的速度为v,一.质心系中的角动量,设O 是惯性系中的一个固定点，,C 是质心、兼质心坐标系原点，,质心系中质点系对质心 的角动量,质点系对O点的角动量,质心C 对O点的角动量,附 质心参考系中的角动量,式中,有,或,质点系对O点的角动量为,证明,所以有,质点系对o点的角动量 等于质心对o点的角动量 加上质心参考系中质点系对质心的角动量。,质心系是零动量系,二.质点系对质心的角动量定理,“质点系所受

12、的对质心的合外力矩等于质心参考系中 该质点系对质心的角动量的变化率”,质心系中的（对质心）角动量定理,这再次显示了质心的特殊之处。,这里质心系可以不是惯性系！,对惯性系曾有,对质心系,所以，有时选择质心系来讨论问题有它的优点。,注：,质心系中的功能原理，,质心系中机械能守恒定律，,也都与惯性系中形式相同（不管质心系是否为惯性系）。,称为质心系中的（对质心）角动量守恒定律。,5.3 刚体的定轴转动,刚体-形状与大小都不变的物体（理想模型）。,刚体是一个特殊的质点系-质点之间的距离与相对位置都保持不变。,刚体的运动基本形式:,1.平动,2.转动,定轴转动,定点转动（有瞬时轴）,这章学习方法:对比法

13、（对比质点力学）,一般运动(可包括前面两种),它可分解为以下两种刚体的基本运动：,随基点O（可任选）的平动,绕通过基点O的瞬时轴的定点转动,转动与基点的选取无关,两种分解，基点选取不同。,例如：,平动可以不同，,或,常选质心为基点。,转动却相同：,=,刚体作定轴转动时,刚体上各质点都作圆周运动。,（线位移、线速度、线加速度）,（角位移、角速度、角加速度）,设刚体绕固定轴 z 转动,转动参考方向为 x。,大小：,角速度矢量,方向：右手螺旋关系 沿轴（有正负）,角量完全相同,各质点运动的线量一般不同,角加速度,大小：,方向：,当越转越快时，与 同方向。,当越转越慢时，与 反方向。,当刚体作匀变速转

14、动时,质点系的角动量定理,z轴分量,5.4 定轴转动刚体的角动量定理及守恒,刚体到转轴的转动惯量,对固定轴,刚体定轴转动定律,与牛顿第二定律对比,刚体到转轴的转动惯量,转动惯量的物理意义:,1.刚体转动惯性大小的量度,2.转动惯量与刚体的质量有关,3.J 在质量一定的情况下与质量的分布有关,4.J与转轴的位置有关,对比刚体的角动量和质点的动量,质点系的角动量定理,z轴分量,质元,对O点的力矩,（垂直z轴）,（垂直z轴）,5.4 定轴转动刚体的角动量定理及守恒,二、转动惯量的计算,转动惯量的定义：,转动惯量由质量对轴的分布决定，与下列因素有关：,（1）密度大小,（2）质量分布,（3）转轴位置,转

15、动惯量的意义：,J 反映了转动惯性的大小。（实验）,例:一均匀细棒长 l 质量为 m,1)轴 z1 过棒的中心且垂直于棒,2)轴 z2 过棒一端且垂直于棒,求:上述两种情况下的转动惯量,o,Z 1,解:棒质量的线密度,所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义,l,例:,匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:,解:,圆盘半径为 R,总质量为 m.,设质量面密度,例:,匀质圆环半径为 R,总质量为 m,求绕垂直于环面通过中心轴的转动惯量 如下图:,Z,R,dm,解:,z,R,r,dr,dm,dS,m,形状复杂刚体的 J 常通过实验来测定.,常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的J 很易计

16、算得到。,应记住的几个常用结果:,（1）细圆环,（3）均匀圆盘、圆柱,（2）均匀细棒,计算转动惯量 J 的2条有用的定理：,（1）叠加定理:对同一转轴 J 有可叠加性,（2）平行轴定理:,所以 Jc 总是最小的.,（证明见书 P 115）,利用转动惯量的可叠加性和平行轴定理：,圆盘,细杆,三、对定轴的角动量守恒,讨论力矩对时间的积累效应。,利用对质点系的角动量定理：,对点：,对轴：,刚体：,刚体定轴转动的角动量定理,刚体定轴转动的角动量守恒定律：,刚体系：M外z=0 时，,此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。,第1题.,有两个力作用在一个有固定轴的刚体上，,

17、（1）两个力都平行于轴时，合力矩一定为零。,对。,（每个力对轴的力矩皆为零）,（2）两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。,对。,（两个力的力矩相反时合力矩为零）,（3）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。,错。,（力等值反向，力矩仍可不等值反向）,（4）两个力的合力矩为零时，合力也一定为零。,错。,（合力矩为零，两力仍可不等值反向）,【答】,【答】,【答】,【答】,四、刚体定轴转动定律的应用,已知：两物体 m1、m2（m2 m1)滑轮 m、R,可看成质量均匀的圆盘,轴上的摩擦力矩为 Mf（设绳轻，且 不伸长,与滑轮无相对滑动）。,求:物体的加速度及绳中张力。,解题思路;,（1）选物体（2）看

18、运动（3）查受力（注意:画隔离体受力图）（4）列方程（注意:架坐标）,例1.,因绳不伸长,有,a1=a2=a,因绳轻,有,对m1有,对 m2有,以加速度方向为正，可列出两式,对滑轮 m 由转动方程,-（3）,三个方程,四个未知数.再从运动学关系上有,-（4）,联立四式解得：,(以“方向”为正),当不计滑轮质量和摩擦力矩时:,（与中学作过的一致！）,m=0,Mf=0，,有,讨论,已知：如图，R=0.2m，m=1kg，vo=o，h=1.5m，匀加速下落时间 t=3s,绳、轮无相对滑动，轴光滑。,求：轮对o轴 J=？（测定转动惯量J 的实验方法之一）,设出各量如图所示。,【解】分别对物体m 和轮 看

19、运动、分析力，,例 2.,【解】：由动力学关系：,四个未知量,由运动学关系：,5.5 转动中的功和能,一.力矩的功,现在讨论力矩对空间的积累效应,设刚体上P点受到外力 的作用，,此式称为力矩的功（实质上仍然是力的功）。,二.定轴转动动能定理,刚体的定轴转动动能:,（可对比质点的动能）,定轴转动动能定理.,即,应该：,【答】,应该,【答】,1。质心系不必是惯性系。,刚体平动时，质心的运动完全可以代表 刚体的运动；刚体转动时，质心的运动不能完全代表 刚体的运动！,从此题我们可以看到：,2。对刚体上任一点（基点）的转动角速度 都是相同的。,三.刚体定轴转动的机械能守恒定律,刚体的重力势能,hc-质心

20、的高度,刚体系仍是个质点系,根据质点系的功能原理：,若 dA外+dA内非=o，则 Ek+Ep=常量.,-机械能守恒定律,A外+A内非=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）,求:杆下摆到 角时，角速度？轴对杆的作用力？,【解】,“杆+地球”系统，,(1),(2),由(1)、(2)解得：,只有重力作功，,E机 守恒。,已知：均匀直杆质量为m，长为l，轴o光滑，初始静止在水平位置。,例3.,应用质心运动定理 求轴对杆的作用力：,设轴力 如图，有,代入(3)(4)，得：,或,(负号代表什么？),【解】,求：碰后小球的速度及杆的角速度。,杆的角速度肯定如图，假设小球碰后瞬时的速 度 向上，如图所示。,系

21、统：小球+杆条件：M外=0 角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的 内力矩相比可以忽略）,因为弹性碰撞,动能守恒,联立(1)(2)解得,讨论,1.量纲 对,2.0 对,3.当 m 3m 时,v 0（向上）,当 m=3m 时,v=0（瞬时静止）,当 m 3m 时,v 0（向下）,第3题.质量 m长 l 的均匀细杆可绕通过其上端的水平 光滑固定轴 0 转动，质量也是m 的小球用长度也是 l 的轻绳系于上述 0 轴上。设细杆静止在竖直位 置，将小球在垂直于0 轴的平面内拉开角度为，然后使其自由下摆与杆端发生弹性碰撞，结果使杆 产生/3 的偏角。求：=？,【解】小球下摆过程：系统：小球+地球 条

22、件：只有保守力 作功 所以E机守恒,条件：小球和杆的重力（外力）对0 轴几乎无力矩,有轴力（外力），但也无力矩。,M外=0，,系统角动量守恒,即小球动量矩,碰撞过程：,系统：小球+杆（动量守恒？,答：不守恒！）,四个未知数，三个方程，还应找一个方程。,杆上摆过程：由E机守恒可得,联立可以解得,题意：弹性碰撞，所以动能守恒,第4题.,球与匀质 杆的碰撞过程,正好使轴承处无水平力（动量也能守恒）？,是否动量一定不守恒？有没有特例？,动量一般不守恒。,分析：,打击点非常靠近0点时，轴受力向右；,打击点非常靠近下端时，由于杆会绕质心转动，轴受力向左。,【解】,能否找到,方法一：用动量定理角动量定理,这

23、个打击位置称为撞击中心,所得结果与杆的质量无关。,假设无水平轴力，只有球的力 f,对象：杆,联立三式，也可解得,动量定理（水平）：,-（1）,方法二：,联立三式，也可解得,对象：球杆,假设无水平轴力，只有球的力 f,由角动量守恒,由动量守恒（水平）,-（1）,用动量守恒角动量守恒,第5题.如图一匀质细杆长为 l，质量为 M，无约 束地平放在光滑水平面上。一质量为 m的小球以 速度 v0 垂直于杆身与杆端作弹性碰撞。设 M 3m，,求：碰后杆的角速度.,对杆球系统，无外力 动量守恒,【解】,设碰后球速为v,选与碰撞处重合点为固定点：,球 的角动量为零,杆 的角动量为：,杆的质心对该点的角动量+杆

24、绕质心的角动量,（注意所设运动方向）,弹性碰撞，动能不变,三式联立解得,结果为正，表明所设运动方向正确。,如果选择与杆中心重合的固定点，角动量守恒如何写？结果一样吗？,讨论：,5.6 进动（旋进Precession）,例如:陀螺,进动：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象。,为什么重心已经偏出支撑点但是不倒？能否从力学规律上解释？,一般地说，转动刚体的角动量 和角速度 是不平行的。,进动是一种刚体绕点转动的有趣现象。,但若刚体质量对转轴的分布对称时，则有（对转轴上的任一点）：,例如，图中所示刚体 以轻杆连接，（不对称），则对O点的 显然 不平行于。,为简单起见,我们只讨论具有对称轴的刚

25、体的旋进问题。,即,利用质点系对固定点的角动量定理,在陀螺的自转轴有一倾角时,陀螺受的重力产生的对o点的力矩为,（方向向里）,的方向也向里,并且在水平面内,如图。,如连续画下去，可以看到角动量矢量的端点，绕竖直轴作圆周运动，这就表现出进动现象。,所以，进动现象正是自旋的物体在外力矩的作用下沿外力矩方向改变其角动量矢量的结果。,计算进动的角速度：,设角动量矢量的端点 dt 时间内、在水平面内转过d角，则有,进动的角速度,讨论：，与实际符合。,以上只是近似讨论，因为当进动发生后：,刚体的角动量应该是,注意,此处，M外是重力矩：,假如转速不大，以上条件不成立，则陀螺在进动时还会摆动。,这种摆动称为“

26、章动”（情况比较复杂）。,应用举例:,炮弹的飞行;,轮船的转弯问题,只有高速自转,定性分析：,若球初始运动方向向右，则摩擦力方向一定向左。,摩擦力的作用：,【解】,搓动乒乓球后，,第6题.现象：在台面上合适地搓动乒乓球，乒 乓球在桌面上前进一段距离后将会自动返回？（1）试对此现象作定性解释；（2）设乒乓球可看成匀质刚性球壳，导出能产生上述现象，初始条件应满足的关系。,（1）转动方向 和 平动方向不可随意；,之间的大小应满足一定关系。,结论：,质心运动方程,定量计算：,分离变量，积分得,转动方程（对质心）,（力矩取向外为正）,由、式消去 t，解得：,积分得,令,所以，当初始速度和角速度大小满足上

27、述不等式时，乒乓球可返回。,第7题.一个内壁光滑的刚性圆环形细管，开始时 绕竖直的光滑固定轴 0 0 自由转动，其转动惯 量为J，角速度为 0，环的（平均）半径为 R.一个质量为 m 的小球在管内最高点A 从静止开始向下滑动。,求:(1)小球滑到环的水平 直径的端点B 时，环的角速度多大？小球相对于环的速率多大？,小球相对环的速率vB球环,（1）求小球在B点时环的角速度B及,小球的重力对轴无力矩,环的支持力对轴有力 矩,【解】,说：小球的角动量守恒（？）,对小球从 AB的过程：,有人选系统：小球,但是,对轴是有力矩的！,所以小球的角动量不守恒！,所以此系统角动量是守恒的。,如果将系统扩大：小球

28、+环,此 v 应是 vB球地,所以，此 v 即 vB环地=B R,环转动变慢，因小球有了角动量。,系统：“小球+环+地球”,的功是零；,vB球环=？,所以E机守恒,设通过环心的水平面重力势能 为0。,则,得,讨论：,（1）量纲 对,（2）当 0=0时，,若选“小球+地球”为系统，好不好？,答；不好！,从环参照系看，环对小球的支持力是不作功的，但环不是惯性系。,从地面系看，环对小球的支持力（外力）是作功的，E机 不守恒。,对“小球+地球”系统，机械能 不守恒，,由于圆环参考系为 非惯性系。小球要受科氏力和惯性离心力，还需考虑它们的功。,科氏力与速度垂直，不作功；,但惯性离心力要作功，而且这个功（

29、和 r 都变）不易求。,所以，机械能不守恒;而且用功能原理也不容易算。,（2）求小球在C点时，环的角速度 c,及小球相对环的速率vc球环,同理，对系统：“小球+环”,条件：,M外=0，角动量守恒,环又回到原来的角速度。,取C点为重力势能的零点，,同理，对系统：“小球+环+地球”,条件：只有保守力作功，机械能守恒,vc球环=？,可得,由机械能守恒,将 和 代入，,例8.两个质量分别为m、M的小球，位于一固定 的、半径为 R 的水平光滑圆形沟槽内。一轻 弹簧被压缩在两球间（未与球相连）。用线 将两球缚紧，并使它们静止，如图所示。,（1）今将线烧断，两球 被弹开后在沟槽内运动。问此后M转过多大角度

30、与 m 相碰？,（2）设原来弹簧势能为 U0.问线烧断后两球经 过多少时间发生碰撞？,系统：“m+M”,条件：弹簧推力的力矩之和为0；重力、槽底支持力无力矩；槽壁对球的压力指向圆心，M外=0，角动量守恒。,设 m,M 刚脱离弹簧时的角速度为 m，M,有,第（1）问：M 转过多大角度与 m 相碰,【解】,对弹出过程：,沟槽水平光滑，所以m、M都作匀速圆周运动。,设经过 t 它们相遇，相遇时，m 转过 角，M 转过 角,由（1）式有,即,且有,解（1）（2）联立，得,第（2）问：原来弹簧势能为U0,问线烧断后两球 经过多少时间发生碰撞？,因为在此过程中，系统：m+M条件：只有保守力（弹力）作功，,

31、所以机械能守恒。,能否先求出？(或),再利用（3）式的 角，得,将（1）式 的 代入上式，可解得,（量纲对）,例9.已知:泥球质量为 m,半径为R的均质圆盘质量 为 M=2m,它可绕水平光滑轴o轴转动.泥球与 它正下方的圆盘上的P点距离为 h，=60。,求:（1）碰撞后的瞬间 m、M 共同角速度,（2）P点转到 x 轴时，角速度,角加速度,【解】,对“泥球+地球”系统，,只有保守力作功，故机械能守恒：,m下落过程：,对第（1）问,碰撞过程:,对“m+M”系统，,碰撞时间 极小，,冲力远大于重力，重力（外力）对0的力矩可忽略，故角动量守恒：,(1)(3)代入(2)得：,转动过程：,对“m+M+地球”系统，,对第（2）问,只有重力作功，故 E机守恒：,令P点与 x 轴重合时，EP重=0,(3)(4)代入(5)得：,P点转到 x 轴时，,用质心运动定理求,已求得P与 x 轴重合时，,讨论,x向：,y向：,解得轴O 对盘M 的作用力：,将 代入上两式，,（向左）,（向上）,即,第5章 结束,