大学物理第三章刚体的转动.ppt

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1、,第三章 刚体的转动,教学基本要求,一 理解描述刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.,二 理解力矩和转动惯量的概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定律.,能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.,三 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律.,四 掌握力矩的功和转动动能定理.掌握刚体转动时角动量守恒的条件.,本章重点1 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量；2 力矩计算、转动定律的应用；3 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。,本章难点力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。,概要：实际的物体运动不总是

2、可以看成质点的运动。,一、何谓刚体,在任何情况下形状和大小都不发生变化的物体。即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。,二、刚体运动的两种基本形式,平动-刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动(即该直线方向保持不变),3-1 刚体的定轴转动,理想模型,刚体的平动过程,b,c,a,刚体的平动过程,b,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,二、刚体运动的两种基本形式,1)平动-刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动,选取参考点O，则：,对（1）式求导：,结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度及相同

3、的轨迹。只要找到一点的运动规律，刚体的运动规律便全知道了。事实上这一点已经知道-质心运动已告诉了我们。也就是说质心运动定理是反映物体平动的规律。,2）转动:定轴转动和定点转动,刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运动，称为刚体作定轴转动。,定点转动：绕一固定点转动。如陀螺。,刚体的定轴转动,刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。,3）刚体的一般运动,一般运动：总可以看成是一个随质心的平动加上绕质心的转动组合。平动转动,角位移,角坐标,角速度矢量,方向:右手螺旋方向,三、刚体定轴转动的角速度和角加速度,角加速度,1）每一质点均作圆周运动，转动平面为圆面；2）

4、任一质点运动 均相同，但 不同；3）运动描述仅需一个坐标.,定轴转动的特点,刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.,在p点取一质点，,刚体的平动动能,其平动动能应为各质元动能和。,vc为质心的速度,3-2 转动动能 转动惯量,一、转动动能,刚体的动能应为各质元动能之和，为此将刚体分割成很多很小的质元,任取一质元 距转轴，则该质元动能：,故刚体的动能：,刚体绕定轴以角速度旋转,质量不连续分布（离散）,质量连续分布,转动惯量,I转动惯量:物体转动惯性大小的量度,质量元:,二、决定转动惯量的三因素,3）刚体转轴的位置。（如细棒绕中心、绕一端）,1）刚体的质量；,2）刚体的质量分

5、布；（如圆 环与圆盘的不同）；,例3-1 求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种 转轴的转动惯量：,转轴通过棒的中心o并与棒垂直,转轴通过棒的一端B并与棒垂直,转轴通过棒上距质心为h的一点A 并与棒垂直,X,已知：L、m,求：IO、IB、IA,平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量IA和通过质心并与A轴平行的转动惯量Ic有如下关系：,为轴A与轴C之间的垂直距离,正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）(zx、y，xy轴在刚体平面内,坐标原点位置任意)Iz绕垂直其平面的转轴的转动惯量，Ix，Iy在转动平面内两个正交轴的转动惯量。,例题3-2 半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m，试分别求出

6、对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。,例3-3 求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。,解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为,其体积：,其质量：,其转动惯量：,Z,3-3 力矩 转动定律,矢量式：,力矩：,注意：,单位：米.牛顿,1）力 必须在转动平面内：,2）若力 不在转动平面内，分解成,一 力矩,3）若刚体受N个外力作用，,力是连续的,力不连续,注意:,4）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,O,例3-4 如图所示,均匀细杆,长为L，在平面内以角速度绕端点转动，摩擦系数为 求M摩擦力。,解:质量线密度:,质量元:,所受摩擦力为:,例3-5

7、 现有一圆盘在平面内以角速度转动，求摩擦力产生的力矩（、m、R）。,解:,要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个类似于牛顿定律的规律转动定律。,二、转动定律,刚体可看成是由许多小质元组成，在p点取一质元，,受力：外力，与 成 角,合内力，与 成 角,-,P,用 左叉乘式,-,对整个刚体，对式求和,转动定律,定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体，所受合外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积。,或,说明：1）定轴转动定律是瞬时对应关系；,如图可将力分解为两个力，只求那个垂直于轴的力的力矩就可以了。,如何求力对轴的力矩呢？,3）转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量度。因为：

8、,即I越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，I越小，越容易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或者说转动惯性越小。,如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若 受力和力矩一样，谁转动得快些呢？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,竿子长些还是短些较安全？,例3-6 一质量为m1的物体绕在一半径为r质量为m2的圆盘上,开绐时静止,求重物的加速度、绳中的张力和t时刻重物下降多高?(绳的质量与轴上的摩擦力不计).,已知:m1、m2、r,求：a、T、h,解：建立转动轴的正方向，加速度的正方向.,隔离物体分析力：,+,h=,求：,受力分析：,例3-7 质量分别为m1。m2的物体

9、通过轻绳挂在质量为m3半径为 的圆盘形滑轮上。求物体m1。m2运动的加速度以及绳子张力,（绳子质,量不计）,已知：,建立轴的正向：（力矩投影的正方向）,m1,m2,例3-8 一静止刚体受到一等于M0 的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩M1，M1与刚体转动的角速度成正比,即|M1|=a,(a为常数)。又已知刚体对转轴的转动惯量为I,试求刚体角速度变化的规律。,已知：,M0,M1=a,I,|t=0=0,求：（t）=？,解：,1）以刚体为研究对象；,2）分析所受力矩,3）建立轴的正方向；,4）列方程：,I,例3-9 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动.由于

10、此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度.,解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用,3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理,一、力矩的功,力矩的功,d是刚体在力矩的作用下转过的角度,是矢量,说明:,力矩的功,1 上式中力矩是指合力矩。,2 对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功的和为零。,3 力矩的瞬时功率:,设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：,例3-10 重力矩的功,当杆到达铅直位置时重力矩所作的功.,L,以杆为研究对象

11、,受力：,mg，FN,重力矩:,思考:若取为角坐标,该如何计算?,表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。,即：,质心高度为：,对于一个不太大的质量为 的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。,二、刚体的重力势能,力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？,三、刚体转动动能定理,力矩的功定义式,考虑一个过程，设在力矩作用下，刚体的角位置由,角速度由,此称刚体转动的动能定理,定轴转动刚体的动能定理：合外力矩对转动刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。,四、刚体的机械能守

12、恒,若包含刚体的系统，则该系统的机械能守恒E1E2。,例3-11 设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：,当杆过铅直位置时的角速度及此时端点A和中点C的线速度量值.,解:法一:转动定律,法二:动能定理,法三：机械能守恒定律,例3-12 一质量为、半径为 R 的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m 的物体.问物体在静止下落高度 h 时，其速度的大小为多少?设绳的质量忽略不计.,法一：动能定理,法二:动力学方法,转动定律,法三:机械能守恒定律；,法四:动量矩定理；,法五:对圆盘应用动量矩定理，对重物应用动量定理；,一

13、 定轴转动的角动量定理积分形式,定轴转动的角动量定理积分形式,3-5 角动量定理、角动量守恒定律,刚体的角动量：,角动量定理微分形式,设 时间内，刚体角速度由,角冲量,注意：1）角冲量又叫冲量矩，故此定理又叫冲量矩定理,2）该定理也适应于绕某一定点转动的刚体和质点：,或:,二 定轴转动的角动量守恒定律,若定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩恒为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。,定轴转动的角动量守恒定律,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,内力矩不改变系统的角动量.,守 恒条件,若 不变，不变；若 变，也变，但 不变.,注意：角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非刚体也成立。,一般有三种情况：

14、,A：I不变，也不变，保持匀速转动。,B：I发生变化，但I不变，则要发生改变。,花样滑冰跳水运动员跳水,C：开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝反方向旋转。,观察与思考:,猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少。据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？,自然界中存在多种守恒定律,动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律,电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等,例3-13 一长为 l,质量为 的杆可绕支点O自由转动.一质量为、速率为 的子弹

15、射入杆内距支点为 处，使竿的偏转角为30.问子弹的初速率为多少?,解 把子弹和杆看作一个系统.子弹射入竿的过程系统角动量守恒,思考:若将细杆换成细线,结果如何?,例3-14 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处,并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?小虫轨迹的参数方程是什么?为了使小虫在细杆转到竖直位置前能爬到端点,小虫下落速度的最大值是多少?,例3-15 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处

16、自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?,圆锥摆,猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？,小猫下落时，身体不发生转动，总角动量为零。尾巴一甩，尾巴有个转动，具有了角动量，根据角动量守恒，这时身体必须向反向转动，产生反向角动量，来保持总角动量为零。另外由于猫很灵活，它在甩尾巴的同时还能调节身体各个部位，以此达到身体快速转动的目的，这样，当它快靠近地面时，四肢已朝下，首先着地，就不会伤害身体其它部位了,