复变函数第四章解析函数的级数表示法.ppt

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1、1.复数列的极限 2.级数的概念,第四章 解析函数的级数表示法,4.1 复数项级数,1.复数列的极限,定义4.1,又设复常数：,定理4.1,证明,课堂练习:,下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.,收敛,极限为-1,发散,收敛，极限为0,2.复级数的概念,级数的前面n项的和,定义4.2,设复数列：,例1,解,定理4.2,证明,解,所以原级数发散.,例1,必要条件,重要结论:,不满足必要条件,所以原级数发散.,级数发散;,应进一步判断.,由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。,定理4.3,定理4.4,定义4.3,?,由定理4.4的证明过程，及不等式,推论4.1,

2、证明,解,例2,练习：,发散,1.幂级数的概念 2.收敛定理 3.收敛圆与收敛半径 4.收敛半径的求法 5.幂级数的运算和性质,4.2 幂级数,1.幂级数的概念,定义,设复变函数列：,级数的最前面n项的和,若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数,特殊情况，在级数(1)中,2.收敛定理,同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：,定理4.5(阿贝尔(Able)定理）,证明,(2)用反证法，,3.收敛圆与收敛半径,由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：,(i)若对所有正实数都收敛，则级数(3)在复平面上处处收敛。,(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)

3、在复平面上除z=0外处处发散。,显然，,否则，级数(3)将在处发散。,将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变,小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。故,播放幻灯片 37,(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。,(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.,例如,级数:,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,定理2(比值法),证明,定理3(根值法),定理4.7(根值法),定理4.6(比值法),4.收敛半径的求法,(1),(2),

4、解,(1),因为,所以收敛半径,(2),例4.2,解,综上,例3,解,例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:,解(1),p=1,p=2,该级数在收敛圆上是处处收敛的。,综上,该级数发散。,该级数收敛，,故该级数在复平面上是处处收敛的.,5.幂级数的运算和性质,代数运算,-幂级数的加、减运算,-幂级数的乘法运算,-幂级数的代换(复合)运算,幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.,例3,解,解,分析运算,定理4.8,-幂级数的逐项求导运算,-幂级数的逐项积分运算,解,解,利用逐项积分,得:,所以,作业,P100 2(1)(2)P101 9(1)(2),10(1),1.泰勒展开定理

5、 2.展开式的唯一性 3.简单初等函数的泰勒展开式,4.3 解析函数的泰勒(Taylor)展开,1.泰勒(Taylor)展开定理,现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）,以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。,定理4.9（泰勒展开定理）,分析：,代入(1)得,-(*)得证！,证明(不讲),(不讲),证明(不讲),而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数,1-z2+z4-,它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只

6、关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.,例如：,2.展开式的唯一性,结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。,利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？,事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:,由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开,由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。,-直接法,-间接法,代公式,函数展开成Taylor级数的方法：,例,解,3.简单初等函数的泰勒展开式,例1,解,间 接 法,例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:,解,（2）由幂级数逐项求导性质得：,因ln(

7、1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z1.,定理4.10,4.解析函数零点的性质,性质4.3 不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成,例如：,性质4.4,事实上，,必要性得证！,充分性略！,例如,注:,一个实函的零点不一定是孤立的.,如,但在复变函数中,我们有,定理,性质4.5,作业,P101 15(3);23,1.双边幂级数 2.函数展开成罗朗级数 3.展开式的唯一性及求法4.典型例题,4.4 解析函数罗朗(Laurent)展开,一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.

8、如果 f(z)在z0处不解析,则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.,讨论下列形式的级数:,可将其分为两部分考虑:,只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.正幂项是一幂级数,设其收敛半径为 R2：,这是z 的幂级数,设收敛半径为R：,对负幂项,如果令z=(z-z0)-1,就得到：,则当|z-z0|R1时,即|z|R,因此,只有在R1|z-z0|R2的圆环域,原级数才收敛.,例如级数,在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可

9、以逐项求积和逐项求导.,幂级数在收敛圆内的许多性质,级数,现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例.,例如，,2.函数展开成罗朗级数,定理4.12,3.证明思路,Cauchy 积分公式推广到复连通域,证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式：,式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：,证毕！,(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么 就利用罗朗（Laurent）级数来展开。,4.展开式的唯一性,结论 一个在某一圆环域内解析的函

10、数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的罗朗级数。,事实上，,二、函数的罗朗展开式求法,常用方法:1.直接法 2.间接法,1.直接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,缺点:计算往往很麻烦.,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.,优点:简捷,快速.,2.间接展开法,三、典型例题,例1,解,由定理知:,其中,故由柯西古萨基本定理知:,由高阶导数公式知:,另解,本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点,例1,解,三、典型例题,例2,解,练习,解,例4.7,解:,注意首项,(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理 函数分解成

11、多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。,小结：把f(z)展成罗朗(Laurent)级数的方法：,解(1)在(最大的)去心邻域,例4.8,(2)在(最大的)去心邻域,练习：,函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).我们不要把这种情形与罗朗展开式的唯一性相混淆.所谓罗朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的罗朗展开式是唯一的.,(1)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成罗朗(Laurent)级数。

12、,(2)Laurent级数与Taylor 级数的不同点：Taylor级数先展开求R,找出收敛域。Laurent级数先求 f(z)的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远 点的所有使 f(z)解析的环，在环域上展成 级数。,作业,P103 17，18,1.定义 2.分类 3.性质 4.零点与极点的关系,4.5 孤立奇点,1.定义,例如,-z=0为孤立奇点,-z=0及z=1/n(n=1,2,)都是它的奇点,-z=1为孤立奇点,这说明奇点未必是孤立的。,2.孤立奇点的分类,以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成罗朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：,特点：,没有负

13、幂项,特点：,只有有限多个负幂项,特点：,有无穷多个负幂项,内的罗朗级数的情况分为三类:,1可去奇点,1可去奇点;2极点;3本性奇点.,如果罗朗级数中不含 的负幂项,那末孤立奇点 称为 的可去奇点.,1)定义,说明:(1),补充定义,如果补充定义:,时,2)可去奇点的判定,(1)由定义判断:,(2)判断极限,若极限存在且为有限值,解,无负幂项,另解,2.极点 如果在罗朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.(m1,c-m0),则孤

14、立奇点z0称为函数 f(z)的m级极点.,上式也可写成,其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+.,在|z-z0|d 内是解析的函数,且 g(z0)0.,反过来,当任何一个函数 f(z)能表示为(*)的形式,且g(z0)0 时,则z0是 f(z)的m级极点.,如果z0为 f(z)的极点,由(*)式,就有,定理4.13:,这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.,例,例,思考,例,3.本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f(z)的本性奇点.,注,孤立 奇点,非孤立奇点,支点(多值函数),极 点,本质奇点,可去奇点,

15、综上所述:,我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为有限值,不存在且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,三、函数在无穷远点的性态,1.定义,令变换,规定此变换将:,映射为,映射为,结论:,规定:,m级极点或本性奇点.,1)不含正幂项;,3)含有无穷多的正幂项;,1)可去奇点;,2)m 级极点;,3)本性奇点.,判别法1(利用罗朗级数的特点),2.判别方法:,不含正幂项,含有无穷多的正幂项,课堂练习,答案,判别法2:(利用极限特点),如果极限,解,故这些点中除0，2外,都是,的四级极点.,所以,因为,作业,P102 25，26,