复变函数4.3-4.4复变函数的泰勒展开及罗朗展开.ppt

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1、1 泰勒级数展开定理,2 将函数展开成泰勒级数,4.3 解析函数的泰勒展开,实函数在某一点的邻域内展开成泰勒级数是,非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质,以及进行数值计算的一种工具.,对于复变函数,我们已经知道幂级数在收敛,圆域内收敛于解析函数.在本节我们将证明解析,函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数,亦即泰勒级数.这是解析函数的重要特征.,4.3.1 泰勒级数展开定理,R为 到D边界的距离,定理4.9(Taylor展开定理)设 在区域D,.,R,(D是全平面时,R=+),则 在 内可,展开为幂级数,其中,综合定理4.8和定理4.9，得到关于解析函数的重要性质：,定理4.10 函

2、数 f(z)在z0处解析的充要条件是 f(z)在z0的某邻域内有泰勒展开式.,这是解析函数的重要特征.,泰勒展开式的唯一性,设复变函数 f(z)是 D内的解析函数,z0是,注：这个结果为把函数展开成泰勒级数的间接,方法奠定了基础.,4.3.2 将函数展开成泰勒级数,将函数展开为泰勒级数的方法:,1.直接方法;2.间接方法.,1.直接方法,由Taylor展开定理直接计算级数的系数,然后将函数 f(z)在z0 展开成幂级数.,并且收敛半径,2.间接方法,借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,逐项积分等)和其它的数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.,间接法的优

3、点:,不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.,例4.5利用,并且收敛半径,同理,解：,故收敛半径,在 中，用-z替换 z,则,逐项求导，得,令 则,解：根据例4.6，,泰勒级数，并指出该级数的收敛范围.,当 即 时,解：先对函数进行代数变形，即,附:常见函数的Taylor展开式,1 罗朗级数的概念,2 函数的罗朗级数展开,3 典型例题,4.4 罗朗级数,4.4.1 罗朗级数的概念,如果函数f(z)在z0点解析,则在z0的某邻域内,可,展开为Taylor级数,其各项由z-z0的非负幂组成.如果,个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数.,本节将引进一种在圆环域

4、收敛的双边幂级数,即Laurent级数.它将在后面讨论孤立奇点与留数,及Z变换理论中起重要作用.,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,这种双边幂级数的形式为,同时收敛,罗朗级数,收敛,收敛半径R,收敛域,收敛半径R2,收敛域,两收敛域无公共部分;,两收敛域有公共部分,结论:,常见的特殊圆环域:,幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域 内解析.(2)在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数.,对于罗朗级数，已经知道：罗朗级数的收敛域是圆环域，且和函数在圆环域内解析.问题:在圆环域内解析的函数是否可以展开成罗朗级数?,对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:,4.4.2 函数的罗朗级数展开,定理

5、4.12(Laurent展开定理)设,在此圆环域内可展开为罗朗级数,其中,曲线C是圆环域内任一条绕z0的正向简单闭曲线.,注:函数f(z)展开成罗朗级数的系数,与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同,但,内不一定解析,所以不能化为z0处的导数,解析,那么根据柯西-古萨定理,所以罗朗级数包含了Taylor级数.,罗朗展开式的唯一性,设函数f(z)在圆环域R1|z-z0|R2内解析，并且可以展开成双边幂级数,则系数为,注:函数在圆环域内罗朗展开式是唯一的,因此为,函数展开成罗朗级数的间接方法奠定了基础.,曲线C是圆环域内任一条绕z0的正向简单闭曲线.,将函数在圆环域内展开成罗朗级数,理论,

6、(1)直接方法 直接计算展开式系数,然后写出罗朗展开式,这种方法只有理论意义,而没有实用价值.就是,上应该有两种方法:直接方法与间接方法.,说,只有在进行理论推导时,才使用这种表示方法.,根据解析函数罗朗级数展开式的唯一性,可运用代数运算、代换、求导和积分等方法将函数展开成罗朗级数.,(2)间接方法,这是将函数展开成罗朗级数的常用方法.,数在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开式.,(包括Taylor展开式作为特例)这与罗朗展开式的唯,一性并不矛盾,但在同一圆环域内的展开式唯一.,内展开成罗朗级数.,处都解析,并且可分解为,4.4.3 典型例题,函数f(z)在z=1和z=2处不解析,在其它点,(

7、1)在 内,有 则,于是在 内，,(2)在 内,有,于是在 内,(3)在 内,有,于是在 内,(4)由 知,展开的级数形式应为,所以在 内,内展开成罗朗级数.,展开的级数形式应为,因为,所以在 内,为罗朗级数.,解除z=0点之外,f(z)在复平面内处处解析,对任何复数z,于是在 内,第四章 完,Niels Henrik Abel,(1802.8.5-1829.4.6),挪威数学家.牧师的儿子,家,境贫困.Abel 15岁读中学时,优秀,的数学教师B.Holmboe(1795-1850)发现了Abel的数,学天才,对他给予指导.1821年进入克利斯安那大学.,1824年,他解决了用根式求解五次方程的不可能性,问题.Abel短暂的一生中在分析和代数领域作出了,极其出色的贡献,然而他的数学成就在当时没有得,到应有的注意,生活悲惨,在贫病交迫中早逝.,Brook Taylor,(1685.8.18-1731.12.29),英国数学家.曾任英国皇家学,会秘书.1715年在增量方法及其,逆中给出Taylor级数的展开定理.,Pierre-Alphonse Laurent(1813.7.18-1854.9.2),法国数学家.1843年证明了Laurent级数展开,定理,但是他的结果直到去世后才得到发表.,