向量代数与空间解析几何基本概念.ppt
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1、,1向量及其运算,数量:,只有大小,,单用实数就可以表示的量。,向量:,既有大小,,又有方向的量。,考虑 xy 平面上的向量,几何上该向量可表示为 xy 平面上一有向线段。,o,x,y,Q,R,Q:始点,R:终点,若将其平移,始点移至原点 O,而其终点对应于平面上一个点 P(x,y).,如此,平面上每一个向量都唯一确定了平面上的一个点P(x,y);,反之,平面上任意一点 P(x,y)也唯一确定了平面上以 O 为始点,P 为终点的一个向量.,即,平面向量与平面上的点是一一对应的.,也即,二元有序数组(x,y)表,我们也称(x,y)为二维向量.,示了平面上一向量,,平面向量 平面上点 二元有序数组
2、,定义1,由n个数 a1,a2,an 所组成的有序数组,=(a1,a2,an),称为n维向量.,数 a1,a2,an 称为向量 的分量,(坐标),,aj 称为向量 的第 j 个分量,(坐标).,一般地,我们用,表示向量,a,b,c 或 x,y,z 表示其分量.,其它表示法,u,v,平行四边形法则,一般可定义如下基本运算.,问题:,是否和数一样,可以对向量进行运算?,回忆合力的运算.,定义2,设=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn),为 n 维向量,可定义和运算:,由此,可定义 n 维向量中两个典型向量:,零向量0:满足+0=.由加法定义知:,0=(0,0,0);,负向量:满足+()=0
3、.由加法定义知,=(a1,a2,an).,o,x,y,a1,a2,a2,b2,b1,b1,A,几何上,平行四边形法则,(a1+b1,a2+b2),o,x,y,+,上图可简化为:,三角形法则,设=(a1,a2,an)为 n 维向量,,定义3,为实数.,则,向量(a1,a2,an),称为向量 与数 的乘积.,记为=(a1,a2,an).,运算规律:,1.交换律,+=+;,+,+,2.结合律,(+)+=+(+);,+,+,+,3.+0=;,4.+()=0;,5.1=;,6.数乘结合律,=;,7.数乘对向量加法的分配律,+=+;,8.数乘对数加法的分配律,(+=+.,定义4.,向量的减法:,例1.已知
4、一平面向量,始点为 Q(x1,y1),终点为 R(x2,y2),求其对应之坐标,(分量).,解:,o,x,y,R(x2,y2),P(x,y),Q(x1,y1),由向量减法定义知.,(x2,y2)(x1,y1),(x2 x1,y2y1),=,=,一般有:设n维向量,始点为 Q(a1,an),终点为R(b1,bn),则其坐标为,(b1a1,bnan).,一、空间直角坐标系,对于二维空间,我们引入相应直角坐标系,的途径是通过平面一定点,作两条互相垂直的,数轴而成.,对于三维空间,我们可类似地建立,相应的空间直角坐标系,即过空间中一定点O,作三条互相垂直的数轴,它们以O为公共原点,且具有相同的单位长度
5、,这三条数轴分别称为,x 轴,y 轴,z 轴,都统称为数轴.,数轴正向不同,可建立不同的直角坐标系.如,为统一起见,我们用右手法则确定其正向.,主要名称与记号:,1.坐标平面:,三个坐标轴中任意两条坐标轴所确定的平面.,xy 平面,yz 平面,zx 平面.,2.卦限:,三个坐标平面将空间分为,八个部分,每一部分叫做一个卦限.,IV,VI,V,VII,0,x,y,VIII,II,III,I,z,点在各卦限中坐标的符号:,I,II,(,+,+),(+,+,+),III,(,+),IV,(+,+),V,(+,+,),VI,(,+,),VII,(,),VIII,(+,),3.空间点在空间直角坐标系中的
6、表示法.,R,Q,P,如此,记P,Q,R,在x 轴,y 轴,z 轴上的坐标,依次为x,y,z.,因此,点M,一一对应于,有序数组,(x,y,z).,4.点M 的坐标,点M,(x,y,z),记为M(x,y,z),x,y,z,称为M 的坐标.,横坐标,纵坐标,竖坐标,5.三维向量与空间点的一一对应关系.,点M,一一对应,(x,y,z),始点,终点,6.三维向量加法的几何意义,z,x,y,o,z,x,y,o,平行四边形法则,三角形法则,7.数乘的几何意义,(1),(1),(0 1),(1 0),二、空间两点间的距离,现求M1,M2两点间的距离.,由图知,为以M1QNP为底,M1R为高的长方体的一条对
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