同济高数第3章课件第5节.ppt

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1、一、函数极值及其求法,第五节 函数的极值与最大值最小值,若存在点 的一个邻域，,则称 是函数 f(x)的一个极大值,(或极小值),定义 设函数 f(x)在区间(a,b)内有定义，,对这个邻域内的任何点x，,除点 外，,均成立，,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,使函数取得极值的点称为极值点.,且在 处取得极值,设 f(x)在 点可导,可导函数的极值点必定是它的驻点，,但驻点不一定是极值点。,函数的极大值与极小值统称为极值,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),则f(x)在 处取得极大值.,则f(x)在 处取得极小值.,则f(x)在 处无极值.,求极值的步骤:,(不是极值点情形),(1

2、)求导数,(3)检查驻点与不可导点两侧，导数的正负号,(4)求极值,(2)求驻点与不可导点,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理3(第二充分条件),证,同理可证(2).,设 f(x)在 处有二阶导数,则(1)当 时,(2)当 时,函数在 处取得极大值;,函数在 处取得极小值;,所以，函数 f(x)在 处取得极大值,例2,解,例3,解,练习题,1.函数 的极大点为_,极小点为_,极小值为_。,极大值为_,2.试问 a 为何值时，函数,取得极值？是极大值还是极小值？,并求此极值。,若 f(x)在a,b上连续，,则 f(x)在a,b上的最大值与最小值存在。,二、最 大 值、最 小 值,

3、最值点,极值 区间端点,驻点、不可导点区间端点,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,注意:如果区间内只有一个极值,例4,3.比较大小,求出最大值、最小值;,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),解,计算,例5 造一个容积为 立方米的有盖圆桶，问如何选取半径和高，可使用料最省。,解 设半径为x，高为y,故选半径为2米、高为4米时，可是用料最省,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例6 设A、B两城分别位于草原与沙漠之中，,两区城的分界线为直线，,求骑手从A到B的最速线。,骑手在草原上的速度为,在沙漠上的速度为,解,O,所用时间：,三、小结,1.极值是函数的局部性概念,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,2.极值的必要条件,3.最大值最小值,函数的最值必在区间端点或临界点取到。,4.应用题,