古代希腊数学(上、下).ppt

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1、公元前600年600年,第二讲 地中海的灿烂文明古代希腊数学（上）,帕提农神庙(前447前432年）,古希腊文明的象征之一,古希腊的变迁,雅典时期：公元前6前3世纪,公元前11世纪前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区公元前9前6世纪：希腊各城邦先后形成,亚历山大后期：公元前30年公元640年,西罗马帝国：公元395年公元476年东罗马帝国：公元395年公元1453年（610年改称拜占廷帝国）,爱奥尼亚时期：公元前11世纪前6世纪,亚历山大时期：公元前323年前30年,罗马帝国：公元前27年公元395年,希腊时期,希腊化时期,波希战争（前499前449）,雅典学院,雅典学院,数学作为一门有组织、独立

2、的和理性的学科来说，在古希腊学者登场之前是不存在的。-M克莱因,古希腊数学（公元前6世纪至公元6世纪）,特殊的地理位置与文化.社会制度,希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚（今土耳其）以及非洲北部的数学家们所创造的数学。在古希腊城邦特有的唯理主义气氛中，（古埃及、美索不达米亚等的）经验的算术和几何法则被加工升华为具有初步逻辑结构的论证数学体系。,古典时期的希腊数学-哲学盛行、学派林立、名家百出亚历山大学派时期-希腊数学的顶峰时期，代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯希腊数学的衰落-罗马帝国的建立，唯理的希腊文

3、明被务实的罗马文明代替,古希腊数学的三个阶段,古希腊数学与哲学的交织,古希腊早期的自然科学往往是与哲学交织在一起的，古希腊的自然哲学乃是古代自然科学的一种特殊形态，虽然有许多错误的东西，但也有不少合理的知识和包含着合理成分的猜测恩格斯说：“在希腊哲学的多种多样的形式中，差不多可以找到以后各种观点的胚胎、萌芽因此，如果理论自然科学想要追溯自己今天的一般原理发生和发展的历史，它就不得不回到希腊人那里去”,地中海的灿烂文明希腊数学,希腊七贤：1、泰勒斯 2、毕达哥拉斯 3、柏拉图 4、苏格拉底 5、亚里斯多德 6、欧几里得 7、阿基米德,第一贤 泰勒斯与论证数学,泰勒斯第一位数学家、论证几何学鼻祖(

4、约公元前625-前547年),爱奥尼亚学派(米利都学派),创数学命题逻辑证明之先河,哲学：万物源于水,泰勒斯与论证数学,古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，希腊最早的哲学学派米利都学派（也称爱奥尼亚学派）的创始人。希腊七贤之一，西方思想史上第一个有记载有名字留下来的思想家。“科学和哲学之祖”，泰勒斯是古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家。,泰勒斯生于米利都，他的家庭属于奴隶主贵族阶级，据说他有希伯来人（Hebrews）或犹太人（Jew）腓尼基人等人种血统，所以他从小就受到了良好的教育。泰勒斯是古希腊最早的、最著名的思想家、哲学家，天文学家，数学家和科学家。他招收学生，建立了学园，创立了米利都学

5、派。他不仅是当时自发唯物主义的代表，同时也是较早的科学启蒙者。他生活的那个时代，整个社会还处于愚昧落后的状态，人们对许多自然现象是理解不了的。但是，泰勒斯却总想着探讨自然中的真理。因为他懂得天文和数学，又是人类历史上比较早的科学家，所以，人们称他为“科学之祖”。,泰勒斯早年也是一个商人，曾到过不少东方国家，学习了古巴比仑观测日食月食和测算海上船只距离等知识，了解到英赫希敦斯基（希伯来人（Hebrews）或犹太人（Jew）、腓尼基人人种血统。）探讨万物组成的原始思想，知道了埃及土地丈量的方法和规则等。他还到美索不达米亚平原，在那里学习了数学和天文学知识。以后，他从事政治和工程活动，并研究数学和天

6、文学，晚年转向哲学，他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，获得崇高的声誉，被尊为“希腊七贤之首”，实际上七贤之中，只有他够得上是一个渊博的学者。,在天文学方面，泰勒斯作了很多研究，他对太阳的直径进行了测量和计算，结果他宣布太阳的直径约为日道的七百二十分之一。这个数字与现在所测得的太阳直径相差很小。他在计算后得知，按照小熊星航行比按大熊星航行要准确得多，他把这一发现告诉了那些航海的人。通过对日月星辰的观察和研究，他确定了三百六十五天为一年，在当时没有任何天文观察设备的情况下，作出这样的发现是很了不起的。在天文学领域，他更为人们所津津乐道的就是正确的解释了日食的原因，并曾预测了一次日食。不过人

7、们更为关心的是另一个重要的问题，泰勒斯是怎样预知日食的呢？,后人做过种种推测和考证，一般认为是应用了迦勒底人发现的沙罗周期。一个沙罗周期等于223个朔望月，即6585.321124日或18年零11日(若其间有5年闰年则是18年零10日)。日月运行是有周期性的，日月食也有周期。日食一定发生在朔日，假如某个朔日有日食，18年11日之后也是朔日，而日月又大致回到原来的位置上，因此很有可能发生类似的现象。不过一个周期之后，日月位置只是近似相同，所以能看见日食的地点和日食的景象都可能有所变化甚至根本不发生日食。泰勒斯大概知道公元前603年5月18日有过日食，所以侥幸猜对。当然关于这件事，还有一些别的说法

8、，没有统一的定论。,【泰勒斯在数学方面的贡献】,泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃。在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于：保证了命题的正确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。,证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯就是希腊几何学的先驱。他把埃及的地面几何演变成平面几何学，并发现了许多几何学的基本定理，如：1、“圆的直径将圆分成两个相等的部分”；2、“等腰三角形两底角相等”；3、“两相交直线形成的对顶角相等”；4、“

9、对半圆的圆周角是直角”、“相似三角形对应边成比例”等，并将几何学知识应用到实践当中去。,古希腊数学表现出很强的理性精神，追求哲学意义上的真理在公元前3、4百年的时候，他们的数学思想中就已经涉及到了无限性、连续性等深刻的概念经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知识的萌芽时期以后，古希腊人把数学推进到了一个崭新的时代古希腊数学不仅有十分辉煌的研究成果，而且提出了数学的基本观点，建立数学理论的方法，给以后的数学发展提供了坚实的基础,论证数学的发端,从泰勒斯开始，命题证明成为希腊数学的基本精神。,【泰勒斯的主要哲学思想】,泰勒斯的哲学观点用一句话来总结就是“水生万物，万物复归于水”，他认为世界本原是水。古

10、希腊七贤每人都有一句特别有名的格言，而他的格言就是：“水是最好的”。泰勒斯向埃及人学习观察洪水，很有心得。他仔细阅读了尼罗河每年涨退的记录，还亲自查看水退后的现象。他发现每次洪水退后，不但留下肥沃的淤泥，还在淤泥里留下无数微小的胚芽和幼虫。他把这一现象与埃及人原有的关于神造宇宙的神话结合起来，便得出万物由水生成的结论。,对泰勒斯来说，水是世界初始的基本原素。埃及的祭司宣称大地是从海底升上来的，泰勒斯则认为地球就漂在水上。,泰勒斯还有一个很重要的观点就是“万物有灵。”根据这一学说，连石头也是有灵魂的生物。泰勒斯向他哲学上的对立面毕达哥拉斯反复强调说：整个宇宙都是有生命的，而又正是灵魂才使一切生机

11、盎然。这一说法在当时非常流行。,泰勒斯曾用磁石和琥珀做实验，发现这两种物体对其他物体有吸引力，便认为它们内部有生命力，只是这生命是肉眼看不见的。由此，泰勒斯得出结论：任何一块石头，看上去冰冷坚硬、毫无生气，却也有灵魂蕴涵其中。直到公元前300年，斯多葛派哲学家还用泰勒斯的实验来证实世间万物因有生命而相互吸引。,1.橄榄的故事 泰勒斯是一个商人，可是他不好好经商，不好好赚钱，他老去探索些没用事情，所以他很穷，赚不到钱，他有一点钱就去旅行就花掉了，所以有人说哲学家是那些没用的人，赚不到钱的人，很穷的人。泰勒斯有一年运用他掌握的知识赚了一笔钱，当然这个说法可能有杜撰的意思，他知道那一年雅典人的橄榄会

12、丰收，然后租下了全村所有的榨橄榄的机器，于是乘机抬高垄断了价格就赚了一把钱，以此来证明哲学家，有智慧的人，有更重要的事情要做，他有更乐于追求的东西要去追求，赚钱，如果他想赚的话，他是可以比别人赚得多的，不过他有更重要的事情要做。,【关于泰勒斯的佚事】,2.只顾天空不看脚下的天文学家 泰勒斯有一天晚上走在旷野之间，抬头看着星空，满天星斗，可是他预言第二天会下雨，正在他预言会下雨的时候，脚下一个坑，他就掉进那个坑里差点摔了个半死，别人把他救起来，他说谢谢你把我救起来，你知道吗？明天会下雨啊，于是又有个关于哲学家的笑话，哲学家是只知道天上的事情不知道脚下发生什么事情的人。但是两千年以后，德国哲学家黑

13、格尔说，一个民族只有有那些关注天空的人，这个民族才有希望。如果一个民族只是关心眼下脚下的事情，这个民族是没有未来的。而泰勒斯就是标志着希腊智慧的第一个人。,3.通过预言日食制止的战争 当时，米底王国与两河流域下游的迦勒底人联合攻占了亚述的首都尼尼微，亚述的领土被两国瓜分了。米底占有了今伊朗的大部分，准备继续向西扩张，但受到吕底亚王国的顽强抵抗。两国在哈吕斯河一带展开激烈的战斗，接连五年也没有决出胜负。战争给平民百姓带来了灾难，平民百姓们流离失所。泰勒斯预先推测出某天有日食，便扬言上天反对人世的战争，某日必以日食作警告。当时，没有人相信他。后来果然不出所料，在公元前585年5月28日，当两国的将

14、士们短兵相接时，天突然黑了下来，白昼顿时变成黑夜，交战的双方惊恐万分，于是马上停战和好，后来两国还互通婚姻。这件事记载在希罗多德的希波战争史第一卷。这次战争的结束，当然还有政治、经济等方面的原因，日食只是起到一个“药引”的作用。,4.测量金字塔高度据说，埃及的大金字塔修成一千多年后，还没有人能够准确的测出它的高度。有不少人作过很多努力，但都没有成功。一年春天，泰勒斯来到埃及，人们想试探一下他的能力，就问他是否能解决这个难题。泰勒斯很有把握的说可以，但有一个条件法老必须在场。第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的老百姓。泰勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上。每过一会儿，他就让

15、别人测量他影子的长度，当测量值与他的身高完全吻合时，他立刻在大金字塔在地面的投影处作一记号，然后在丈量金字塔底到投影尖顶的距离。这样，他就报出了金字塔确切的高度。在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”推到“塔影等于塔高”的原理。也就是今天所说的相似三角形定理。,5.骡子的故事 泰勒斯是一个成功的商人，商旅生活使他了解到各地的人情风俗，开阔了眼界。他用骡子运过盐，某次，一头骡子滑到在溪中，盐被溶解掉了一部分，负担减轻了不少，于是这头骡子每过溪水就打一个滚。泰勒斯为了改变这头牲畜的恶习，让它改驮海绵，吸水之后，重量倍增，这头骡子再也不敢偷懒了。,6.富于哲理的言论 泰勒斯言谈幽默并非

16、常有哲理。他对于“怎样才能过着有哲理和正直的生活？”的回答是：“不要做你讨厌别人做的事情。”这和中国的“己所不欲，勿施于人”(论语)有异曲同工之妙。有人问：“你见过最奇怪的事情是什么？”他的回答是：“长寿的暴君。”又一个问题：“你做出一项天文学的发现，想得到些什么？”回答是：“当你告诉别人时，不说它是你的发现，而说是我的发现，这就是对我的最高奖赏。”,7.泰勒斯的婚姻 在泰勒斯进入中年时期，当他的母亲催促他早日娶一女子结婚时，他这么回答他的母亲：“还没有到那个时候了。”很久以后，当泰勒斯巳歩入壮年之後，他的母亲更加担心他的婚姻大事了，但他又那样地回答他的母亲：“已经不是那个时候了。”,【对泰勒

17、斯的评价】,泰勒斯无论在天文学，数学，哲学等方面都有着巨大的建树。他所提出的理论，定理一直沿用至今。对后世的科学的发展奠定了基础，被后人誉为人类历史上最早的科学家，他无愧于“科学之祖”的称号。且说古希腊对数学似乎有着特别大的兴趣，尤其是在几何学方面。这在一定程度上应当归功于毕达哥拉斯和柏拉图。他们都是数学的崇拜者和鼓吹者。据说柏拉图在他所创办的学园的大门口就有着“不懂几何学者不得入内”的牌子，可见数学在古希腊的重要性。在其他古老的国家里，数学基本上是一门实用性的学科，而在古希腊，也像我们在前面所看到的天文学的情况那样，他们是着重于向理论发展的。,第二贤、毕达哥拉斯与“万物皆数”,毕达哥拉斯Py

18、thagoras,572 BC?497 BC?古希腊数学家、哲学家。最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的。,公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派开始研究整数的性质，他们提出了奇数、偶数、素数、合数的概念，并逐渐形成了宇宙哲学观：“万物皆数”。,灵魂是不死的，灵魂也是数，“正义”、“友谊”、“爱情”等概念也可以从数的关系中得到解释。,（1）哲学观万物皆数,毕达哥拉斯学派誓词：谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓，长流不息的自然的根源包含于其中.,1、上帝是按照数的规律创造宇宙的，整个世界正好建立在前四个整数基础上的，因而1+2+3+4=10，用10作出的誓言是最庄严、最神圣的。,毕达哥拉斯,2、“

19、朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密”。,3、完全数6是婚姻、健康、美丽、幸福的象征。,圣经注释家们视6、28为至高无上的建筑师上帝的基本数字。,4、中国古代以数字来表达哲学观点：老子在道德经有云：“道生一，一生二，二生三，三生万物”。数学表示为：0，1，2，3，,周易.系辞上有云：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业。数学表达为：1，2，4，8，,毕达哥拉斯本人以发现勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)著称于世。最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯。他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理(勾股定理)。,毕达哥拉斯对数论作了

20、许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。在毕达哥拉斯派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有几何形状。在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。,毕达哥拉斯还通过说明数和物理现象间的联系，来进一步证明自己的理论。他曾证明用三条弦发出某一个乐音，以及它的第五度音和第八度音时，这三条

21、弦的长度之比为6:4:3。他从球形是最完美几何体的观点出发，认为大地是球形的，提出了太阳、月亮和行星作均匀圆运动的思想。他还认为十是最完美的数，所以天上运动的发光体必然有十个。,公元前551前479年 精于哲学、数学、天文 学、音乐理论,毕达哥拉斯（Pythagoras）,希腊论证数学的另一位祖师,毕达哥拉斯学派创始人,信奉“万物皆数”,费洛罗斯曾说:“人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”,毕达哥拉斯学派-万物皆数,希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯。在爱琴海东部的萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、科学性质的学派，致力于哲学和数学的研究，繁荣兴旺

22、达一个世纪以上。毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数，最重要的数是1、2、3、4，而10则是理想的数；相应地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元）和立体（四元）组成。他们认为自然界中的一切都服从于一定的比例数，天体的运动受数学关系的支配，形成天体的和谐。,毕达哥拉斯学派-几何成就,使几何学从经验上升到理论的关键性贡献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。,毕达哥拉斯学派正多边形和正多面体,毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的一些性质。他们发现，同名正多边形覆盖平面的情况只有三种：正三角形、正方形、正六边形

23、，而且这些正多边形个数之比为6：4：3，边数之比则为3：4：6。毕达哥拉斯学派的另一项几何成就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”。三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。,毕达哥拉斯学派正五边形与五角星,在五种正多面体中，除正十二面体外，每个正多面体的界面都是三角形或正方形，而正十二面体的界面则是正五边形。正五边形作图与著名的“黄金分割”有关。五条对角线中每一条均以特殊的方式被对角线的交点分割。据说毕达哥拉斯学派就是以五角星作为自己学派的标志的。,黄金分割,黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小

24、部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为10.618或1.6181，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。,数学第一个重要定理毕达哥拉斯定理：“在任何直角三角形中，斜边上正方形等于两个直角边上的正方形之和。”数学史上的里程碑，它是数学中第一个真正重要的定理。,（2）毕达哥拉斯定理,毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯定理,毕氏学派百牛大祭？,法 国驴桥问题 中 国-商高定理 勾股定理,2002.8 国际数学家大会会徽,1972年星际飞船“先锋10号”带着“出入相补图”飞向太空,欧几里得的证明原图,赵爽的“弦图”,分割法证

25、明：,毕达哥拉斯定理的证明,H.珀里加尔（Perigal）在1873年给出一种证明：,分割法证明：,HE杜登尼（Dudeney）在1917年给出证明：,分割法证明：,欧几里得设计“修士的头巾”或“新娘的轿椅”,印度婆什迦罗（分割型）,（3）古希腊的数学迷宫图形数,毕达哥拉斯把10看成是一个神圣不可侵犯的数。他认为1表示点，2表示线，3表示面（三角形），4表示体（三角锥），总括起来这个美丽的正三角形数10，就可以表现宇宙。,毕达哥拉斯学派形数的研究,?,案例从多边形数到棱锥数,2006广东数学高考题 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球成若干堆“正三棱锥”形的展品，其

26、中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4 堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f(n)表示第 n堆的乒乓球总数，则 f(3)=_，f(n)=_。,案例从多边形数到棱锥数,后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在算术引论中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10,毕达哥拉斯学派数字神秘主义的外壳，包含着理性的内核。首先，它加强了数概念中的理论倾向，如果说埃及与巴比伦算术主要是实用的数字计算技巧，那么毕达哥拉斯学派算术则更多地成为某种初等数论的智力领域，这是向理论数学过

27、渡时观念上的飞跃，并且由于数形结合的观点，这种飞跃实质上推动了几何学的抽象化倾向。其次，“万物皆数”的信念，使毕达哥拉斯学派成为相信自然现象可以通过数学来理解的先驱。他们用数的理论解释天体运动，发现音乐定律等等。,（4）第一次数学危机,逻辑上的丑闻无理数的产生,公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子苏帕萨斯发现了一个惊人的事实：,正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的。,毕达哥拉斯学派的徽章,正五边形的边长和对角线不可公度,这一发现与毕达哥拉斯学派“万物皆数”的哲学理论极不和谐，引起了该学派领导极度惶恐和恼怒，认为它动摇了他们在学术上的统治，是致命的打击。苏帕萨斯因此被囚禁，受到百般折磨

28、，最后被抛入大海，葬身鱼腹，为科学献身。,不可公度长期得不到正确的解释，两个不可通约的比值一直被认为是不可理喻的。15世纪的意大利画家达芬奇称之为“无理的数”，17世纪的德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。,然而，真理是淹没不了的，人们为纪念这位“科学的星座”，就把不可通约的量改名为“无理数”。,由于无理数的发现，打破了毕达哥拉斯的“信条”，引起了数学界思想的混乱，导致了数学史上的第一次数学危机。,何为不可公度？,万物皆数,第一次数学危机,不可通约性（不可公度）的发现使毕达哥拉斯学派对许多定理的证明都不能成立。由此引发了第一次数学危机。例：如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底

29、边之比。,A,B,C,D,E,新比例论,100多年后，欧多克斯（Eudoxus,408-355）提出了“新比例论”，才用回避的方法暂时消除了“第一次危机”。新比例定义：设A、B、C、D是任意四个量，其中A和B同类（即均为线段、角或面积），C和D同类，若对任意两个（正）整数m和n，mA与nB的大小关系，取决于mC与nD的大小，则称A：B=C：D。,二、雅典时期的希腊数学,伊利亚学派诡辩学派雅典学院（柏拉图学派）亚里士多德学派,第三贤 苏格拉底,苏格拉底（希腊语：，英译：Socrates，公元前469-公元前399年），古希腊著名的思想家、哲学家、教育家、公民陪审员。他和他的学生柏拉图，以及柏拉图

30、的学生亚里士多德并称为“古希腊三贤”，被后人广泛地认为是西方哲学的奠基者。,苏格拉底轶事,故事一、麦穗 一天，苏格拉底带领几个弟子来到一块麦地边。那正是收获的季节，地里满是沉甸甸的麦穗。苏格拉底对弟子们说：“你们去麦地里摘一个最大的麦穗，只许进不许退，我在麦地的尽头等你们。”弟子们听懂了老师的要求后，就走进了麦地。地里到处都是大麦穗，哪一个才是最大的呢？弟子们埋头向前走。看看这一株，摇了摇头；看看那一株，又摇了摇头。他们总以为最大的那一穗还在前面呢。虽然，弟子们也试着摘了几穗，但并不满意，便随手扔掉了。他们总以为机会还很多，完全没有必要过早地定夺。弟子们一边低着头往前走，一边用心地挑挑拣拣，经

31、过了很长一段时间。突然，大家听到了苏格拉底苍老的如同洪钟一般的声音：“你们已经到头了。”这时，两手空空的弟子们才如梦初醒，他们回头望了望麦垄，无数株小麦摇晃着脑袋，似乎在为他们惋惜。苏格拉底对弟子们说：“这块麦地里肯定有一穗是最大的，但你们未必能碰见它；即使碰见了，也未必能作出准确的判断。因此最大的一穗就是你们刚刚摘下的。”苏格拉底的弟子们听了老师的话，悟出了这样一个道理：人的一生仿佛也在麦地中行走，也在寻找那最大的一穗。有的人见到了颗粒饱满的“麦穗”，就不失时机地摘下它；有的人则东张西望，一再地错失良机。当然，追求应该是最大的，但把眼前的那一穗拿在手中，才是实实在在的。,故事二、房子 全国各

32、地的年轻人都来投奔他，向他学习聪明智慧。他讲了许多开心的事情。他讲述的方式非常生动，所以听的人都不感到厌烦。一个夏天，他为自己建造了一所房子。房子非常小，他的邻居都很纳闷，这房子怎么会使他满意呢？“您这么一个大人物，却把自己的房子盖成这么一个小盒子，有什么道理吗？”“确实没有什么道理。”他说，“不过这个地方虽小，但是如果我能使它容下真正的朋友，我将会认为自己是快乐的。”,故事三、新歌 苏格拉底坐牢时，听见隔壁牢房里有个新来的犯人在哼歌，那是一首新歌，他以前从未听过。苏格拉底急忙请求唱歌的狱友教他那首新歌。监牢里的人都知道苏格拉底是死囚，行刑日期迫近。听了他的请求，唱歌的囚犯很吃惊：“您不知道自

33、己马上就要被处决了吗？”“我当然知道。”苏格拉底轻松地回答。“那您为什么还要学新歌呢？”狱友不解地问。这位伟人回答说：“这样我死的时候就多会一首歌。”,故事四、妻管严 古希腊著名哲学家苏格拉底是出了名的“妻管严”，他的太太十分厉害。有一次，苏格拉底的好友到他家做客，刚吃完饭，苏格拉底的妻子就当着那个朋友的面，要求苏格拉底帮她倒洗脚水。苏格拉底觉得很扫面子，执意不肯。于是，他的妻子就非常生气地跟他大吵大闹。为免生事端，苏格拉底就和他的朋友一起离开，下楼出去，当他们刚走出楼门口时，他妻子突然将一盆洗脚水泼到了他的身上。场面十分尴尬。好友在场，这使妻子骑在自己头上已久的苏格拉底不恼怒生气，自然说不过

34、去。但这位著名的哲学家就是与众不同，他没有同一般人一样雄狮惊怒，而是以大度气量，调侃戏谑地说了一句：“我早就知道，打雷过后一定要下雨。”轻松化解了当时的窘境，妻子和朋友不由得哈哈大笑起来。想必这名厉害的“恶妻”自“泼水事件”后，总该有所收敛了吧！,苏格拉底名言,第四贤 柏拉图 与理想国,柏拉图（Plato，约前427年前347年），古希腊伟大的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底，学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。,古希腊数学之柏拉图学派,柏拉图(约公元前427-前347年),柏拉图学派,打开宇宙之迷的钥匙是数与几何图形,雅典学院中的柏拉图（

35、左）与亚里斯多德,柏拉图主义的基本观点：数学的对象就是数、量、函数等数学概念，而数学概念作为抽象一般或“共相”是客观存在着的。柏拉图认为它们存在于一个特殊的理念世界里，后世的柏拉图主义者并不接受“理念论”，但也认为数学概念是一种特殊的独立于现实世界之外的客观存在，它们是不依赖于时间、空间和人的思维的永恒的存在。数学家得到新的概念不是创造，而是对这种客观存在的描述；数学新成果不是发明，而是发现。与之相应的，柏拉图主义认为数学理论的真理性就是客观的由那种独立于现实世界之外的存在决定的，而这种真理性是要靠“心智”经验来理解，靠某种“数学直觉”来认识的，人们只有通过直觉才能达到独立于现实世界之外的“数

36、学世界”。,由于认为数学概念是一种真实的存在，所以现代柏拉图主义也被称为“实在主义”。柏拉图主义在西方近现代数学界有相当大的影响，一些数学巨匠如G康托尔、罗素、哥德尔、布尔巴基学派基本上都持这种观点。一般认为，所以如此不是偶然的，这是数学反映客观世界，数学具有客观真理性这一素朴信念在哲学上的反映。而正因为如此，柏拉图主义对数学的历史发展就具有一定的积极作用：它促使数学家们在自己的研究中采取客观的科学的立场，而且，当某些高度抽象的数学理论因找不到现实原型而为人们所怀疑时，它也有可能给人们以一定的信念。尽管这种信念是盲目的，从而就有可能导致错误。,柏拉图式爱情 柏拉图式爱情，以西方哲学家柏拉图命名

37、的一种异性间的精神恋爱，追求心灵沟通，排斥肉欲。最早由Marsilio Ficino于15世纪提出，作为苏格拉底式爱情的同义词，用来指代苏格拉底和他学生之间的爱慕关系。柏拉图认为：当心灵摒绝肉体而向往着真理的时候，这时的思想才是最好的。而当灵魂被肉体的罪恶所感染时，人们追求真理的愿望就不会得到满足。当人类没有对肉欲的强烈需求时，心境是平和的，肉欲是人性中兽性的表现，是每个生物体的本性，人之所以是所谓的高等动物，是因为人的本性中，人性强于兽性，精神交流是美好的、是道德的,柏拉图式的爱情有以下的意义:1.理想式的爱情观(比喻极为浪漫或根本无法实现的爱情观)2.纯精神的而非肉体的爱情 3.男女平等的

38、爱情观 4.在这世上有,且仅有一个人,对你(你)而言,她(他)是完美的,而且仅对你(你)而言是完美的。也就是说,任何一个人,都有其完美的对象,而且只有一个。,古希腊数学之柏拉图学派,柏拉图（Plato，公元前427-347年）是当时最著名的希腊哲学家之一，虽然他不是数学家，但热心于数学科学，在柏拉图学园的门口挂着牌子：“不懂几何者不得入内”。值得注意的是，公元前四世纪的重要数学工作几乎都是柏拉图的朋友和学生做的。与柏拉图学园有联系的欧多克斯（Eudoxus，公元前408-355年）是这一时期最大的数学家，他在几何学上的研究成果，后来有些收入了欧几里得的几何原本。,柏拉图不是数学家，却赢得了“数

39、学家的缔造者”的美称，公元前387年以万贯家财在雅典创办学院，讲授哲学与数学，直到529年东罗马君王查士丁尼下令关闭所有的希腊学校才告终止。柏拉图曾师从毕达哥拉斯学派，是哲学家苏格拉底（公元前469前399年）的学生。同时柏拉图还是古希腊最著名的哲学家、科学家亚里士多德的老师。,柏拉图学派,第五贤 亚里士多德与三段论,亚里士多德（前384前322年），古希腊斯吉塔拉人，世界古代史上最伟大的哲学家、科学家和教育家之一。是柏拉图的学生，亚历山大的老师。公元前335年，他在雅典办了一所叫吕克昂的学校，被称为逍遥学派。马克思曾称亚里士多德是古希腊哲学家中最博学的人物，恩格斯称他是古代的黑格尔。,学术主

40、张 亚里士多德师承柏拉图，主张教育是国家的职能，学校应由国家管理。他首先提出儿童身心发展阶段的思想；赞成雅典健美体格、和谐发展的教育，主张把天然素质，养成习惯、发展理性看作道德教育的三个源泉，但他反对女子教育，主张“文雅”教育，使教育服务于闲暇。,学术影响 亚里士多德一生勤奋治学，从事的学术研究涉及到逻辑学、修辞学、物理学、生物学、教育学、心理学、政治学、经济学、美学等，写下了大量的著作，他的著作是古代的百科全书，据说有四百到一千部，主要有工具论、形而上学、物理学、伦理学、政治学、诗学等。他的思想对人类产生了深远的影响。他创立了形式逻辑学，丰富和发展了哲学的各个分支学科，对科学等作出了巨大的贡

41、献。,亚里士多德三段论,亚里士多德是著名的“亚里士多德三段论”的创始人，他的著名逻辑命题流行于世界：“所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底也要死的。”,亚里士多德被誉为古希腊“最博学的人”和“最伟大的思想家”。,古希腊数学之亚里士多德学派,亚里士多德(约公元前384-前322年),吕园学派,古希腊最著名的哲学家、科学家,形式逻辑方法用于数学推理,矛盾律、排中律,古希腊数学之亚里士多德学派,亚里士多德（Aristotle，公元前384-322年）是柏拉图的学生和同事，相处达20年之久，公元前335年成立了自己的学派，以后曾是马其顿王亚历山大的老师。他是古典希腊时期最伟大的思想家，他的一

42、些思想在数学史上影响很大。,亚里士多德学派之形式逻辑的建立,亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨，而是重视观察、分析和实验性的活动（如解剖）。亚里士多德是古希腊学者中最博学的人，是古代百科全书式的自然科学家，也是对近代自然科学影响最大的古代学者。他的著作甚多，在自然科学方面主要有物理学、论产生和消灭、天论、气象学、动物的历史、论动物的结构等。,亚里士多德创立了以三段论（由大前提和小前提推出结论。如凡金属都能导电（大前提），铜是金属（小前提），所以铜能导电（结论）为中心的形式逻辑系统。他认为科学需要归纳，由特殊的事例过渡到一般命题，更需要用逻辑的推理由前提演绎出它的推论。亚里士多德的逻辑学著作后来

43、被汇编为工具论，对阿基米德、欧几里得等人的研究有重要影响。,亚里士多德学派,古典希腊时期的希腊人已经掌握了大量初等几何性质，加上亚里士多德建立了形式逻辑，这些都为形成一门独立的初等几何的理论科学作好了充分的准备。,三大几何问题（尺规作图不可能问题）,古希腊人限制了作图工具只能使用圆规与（无刻度）的直尺古希腊三大著名几何问题（尺规作图不可能问题）是：化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。三等分角，即分任意角为三等分。,古希腊三大尺规作图难题,公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。在他们看

44、来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。三大尺规作图难题就是在这种背景下产生的。,一、倍立方体问题,倍立方体问题传说,传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，在多次努力还不能办到时才感到事态严重。人们百思不得其解，不得不求教于当

45、时最伟大的学者柏拉图。柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。,用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。,立方倍积问题的实质,解析几何诞生之后人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。一个几何量能否用直尺圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。,对尺规作图可能性问题，从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者

46、点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并且取正值）所能作出的线段或者点。,显然BOC、AOB、DOA是3个相似三角形，对应边成比例。所以OCOBOBOA，OCOBOAOD。如果把OB的长度记作x，OA的长度记作y，就得到1xxy，yx；(1)1xy2，xy2。(2)把(1)式代入(2)式，得到 x32于是，x等于2的立方根，问题得到圆满的解决。,1837年，23岁的旺策尔尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想，证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决，宣布了2000多年来，人类征服几何三大难题取得了重大胜利。,二、三等分任意角问题,我们知道任意给定一个角，仅用直尺和圆

47、规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角很容易做到。于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。但是，费了很大的气力，也没人能把这看来容易的事做成。于是，第二个尺规作图难题三等分任意角问题产生了。,尼科梅德斯蚌线与三等分任意角,尼科梅德斯蚌线的极坐标方程为r=a+bsec。,三、“化圆为方”问题,阿纳克萨戈勒斯是古希腊著名学者，在天文学中，他曾因解释日、月食的成因而闻名遐迩，并且认识到月球自身并不发光。但他在大约50岁的时候，蒙受了冤狱之苦。灾难的起因是当时的宗教早已一口咬定太阳是神灵，而这位学者却无视宗教的权威，说太阳是一块炽热的石头，因而被

48、投入监狱。被囚禁的日子里冤屈、苦闷、无聊实在让人度日如年。在阴暗、潮湿的牢房里，阿纳克萨戈勒斯看不到外面的朝霞暮霭，每天只有不长时间，阳光能穿过牢房那狭小的方形窗户进入室内。每当阳光进入囚室，在墙壁上撒下一片光亮时，总会引起作为学者的他的种种联想。,有一天，他在凝视圆圆的太阳赏赐给他的方形的光亮时，他那习惯于思索的头脑突发奇想：能不能（仅用直尺和圆规）作一个正方形，使其面积与一个已知圆的面积恰好相等呢？就这样，一道世界名题“化圆为方”问题诞生了，它与“立方倍积”问题、“三等分任意角”问题一起被后人称作古希腊几何作图三大难题。,1637年，笛卡尔首先提出立方倍积问题不可能用尺规作图得出。1830

49、年前后，18岁的法国中学生伽罗华首创的（后来称为“伽罗华理论”）理论，能证明三大作图问题都是尺规作图不能做到的问题，但证明“化圆为方”的不可能时，还必须先证明圆周率是“超越数”。1837年，法国数学家旺策尔给出三等分任意角和立方倍积问题都是尺规作图不可能问题的证明。,1882年，德国数学家林德曼证明了是超越数，于是“化圆为方”问题获得解决。至此，困扰人们2000多年的三大作图问题都被证明为尺规作图不可能问题。认识到有些事情确实是不可能的，并不比证明这些事情是可能的轻松，这是数学思想的一大飞跃。,化圆为方问题的实质,化圆为方问题的发展历程：,2、意大利的画家、数学家达.芬奇作了一个实验，实现了“

50、化圆为方”。,3、诡辩学派代表人物安提丰提出“穷竭法”化圆为方：从圆的内接正方形开始，边数不断加倍，正八边形、正十六边形，.，n越大，圆的内接正多边形的面积越接近圆的面积，最后（穷竭）圆的内接正多边形与圆重合。,早期数学家的努力,公元前15世纪下半叶 希波克拉底,化月牙形为方,化圆为方,巧辨派的代表人物安蒂丰,古希腊穷竭法的 始祖,倍立方问题,圆锥曲线,柏拉图学派,（1）三等分任意角（2）倍立方（3）化圆为方,（1）三等分任意角:设已知某角的角度为，得则 令即问题转化为解方程：,善于把握从特殊到一般的研究方法,这就是数学家的眼光.实事求是,不断探索,勇于创新,这就是数学家的精神.,无限性概念的