元一次方程根的判别式.ppt

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1、公式法解一元二次方程（3）,龙口十中 单婷,一、教材分析,1、教材的地位与作用 公式法解一元二次方程是鲁教版八年级数学下册第七章第三节的内容，共分5个课时，本节学习第三课时。内容是一元二次方程根的判别式的理解和应用，是在学习了配方法、公式法解一元二次方程的基础上对一元二次方程求根公式的进一步的深入研究和理解。通过本节课的学习，使学生理解一元二次方程的根的判别式，并能用根的判别式判断方程根的情况，更有利于学生顺利的解一元二次方程，同时为以后学习不等式的解法和函数的有关内容奠定基础。,2、教学重、难点 教学重点：一元二次方程的根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用 教学难点：对一元二次方程的根的判

2、别式定理及逆定理使用条件的透彻理解。,二、教学目标,1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程;能运用根的判别式判别方程根的情况和进行有关的推理论证；会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值。2、经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。3、通过对一元二次方程定理及逆定理的运用，体会数学的互逆思想，提高学生的计算能力及解决实际问题的能力。4、通过对一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究，培养学生对科学的探索精神和严谨的治学态度。,三、学情分析及教法学法,1、学情分析：学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中

3、，对b2-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b2-4ac的作用，它是前面知识的深化和总结。对于八年级学生来讲，对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触，教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论。,2、教法与学法：教法：采用引导探究式和讨论交流式相结合的教学方法。学法：指导学生从一元二次方程求根公式的推导过程中提出问题，解决问题，从而学会从具体的问题情景中抽象出数学问题，发展学生的思维能力。,四、教学资源,多媒体课件和导学案,五、教学过程,一、创设情境引入新知二、探究发现形成新知三、综合应用

4、巩固新知四、感悟收获系统新知五、分层作业发展新知,（一）、创设情境引入新知,1、用公式法解下列方程：,观察上面解一元二次方程的过程，回答下列问题：（1）上面三个方程都有实数根吗？为什么？（2）一元二次方程的实数根和谁有关呢？,设计意图：通过设计问题情境，自然而然的引出不是所有的一元二次方程都有实数根，从而引导学生去思考到底一元二次方程和谁有关？继而发现b2-4ac的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。培养学生思考问题的能力。,教学过程,（二）、探究发现形成新知,经过上面问题的讨论，学生已经发

5、现b2-4ac与方程根的关系，这是教师指出，刚才的结论是对于三个特殊的方程是成立的，那么换一个方程是不是还成立呢？为什么会有这样的结论呢？让学生带着这两个问题自学课本P53页P54页的议一议，然后再小组讨论。设计意图：这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。通过小组讨论，在组内解决自己不懂的地方，通过生帮生，让学生充分发挥了学习的主动性，真正成为学习的主人。让学生自己去体验知识生成的同时发展了学生的分类思想和归纳思想。,特别强调，因为a0，所以4a20，因此b2-4ac的取值尤为重要,教学过程,定义：我们把b2-4ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0

6、(a0)根的判别式，通常用希腊字母表示，即=b2-4ac,定理：当0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当0时，一元二次方程没有实数根；当0时，一元二次方程有实数根。,逆定理：,当一元二次方程有两个不相等的实数根时，0当一元二次方程有两个相等的实数根时，0当一元二次方程没有实数根时，0当一元二次方程有实数根时，0,教学过程,强调定理与逆定理的用途不同 定理的用途是：在不解方程的情况下，根据值的符号，用定理来判断方程根的情况。逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围。,设计意图：这一环节是为了培养学

7、生学会如何用数学语言来阐述发现结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认 识，为下面定理及逆定理的运用做好铺垫。,教学过程,（三）、综合应用巩固新知练习一：用一元二次方程的根的判别式定理，完成下面题目：方程x2+2x-1=0中，a=b=c=，b2-4ac=方程有 个实数根。方程-2x2-3x=0中，a=b=c=，b2-4ac=方程有 个实数根。方程4x2+4x+1=0中，a=b=c=，b2-4ac=方程有 个实数根。方程x2+x+1=0中，a=b=c=，b2-4ac=方程有 个实数根。,设计意图：加强学生对一元二次方程根的判别式的理解，同时是学生认识到只要能正确求出根的判别

8、式的值，就可以不解方程判别一元二次方程的根的情况。,教学过程,例1、不解方程，判断下列方程的根的情况1）4y2+9=12y 2)5(t2+1)-6t=0,提出问题：例1中的方程和刚才练习的方程有什么区别？不解方程判别一元二次方程的根的情况的一般步骤：化方程为一般形式。求出判别式的值。根据判别式的值，判断方程根的情况。简称：一化、二求、三判断,设计意图：学生通过仿照练习1解决了例1的问题发展了学生的类比思想，对根的判别式的定理得到进一步的巩固，最后由学生自己总结出解题步骤，有利于提高学生的归纳能力和语言表达能力，体会数学的严谨性。,教学过程,强调：1、只要能判别的值的符号就可以，具体数值不必算出

9、。2、判别跟的情况不必求出方程的根。,练习2：不解方程，判断下列方程的根的情况：必做题：（1）2x23x-40；（2）16y2924y；（3）5（x2-1）-7x0选做题：（4）,设计意图：练习题设计必做和选做，充分关注了学生的个体差异，遵循分层教学的原则，在掌握基础的同时还为学优生提供了思维的发展空间。,问题：练习2中的第一题和第三题整理成一般形式后二次项系数和常数项 有什么共同点？它们的根的情况又如何？,教学过程,结论：对于任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)当a、c异号时，b2-4ac0，方程有两个不相等的实数根。,设计意图：通过上面的练习，进一步得到这个结论，实际上就是一个解题

10、技巧，学生掌握这个结论，在做简单的判断根的情况的题目时便可以直接得到结论，使学生体会到数学的魅力，激发了学生主动去发现问题，解决问题的兴趣。,教学过程,例2：求证：关于x的方程x2-mx-m2-1=0恒有两个不 相等的实数根。,问题：1是谁决定了方程有两个不相等的实数根？2现在要证方程两个不相等的实数根，只要证明什么就行了？,设计意图：例2是补充的一个用定理证明的题目，它含有字母系数，它的证明实际与练习2中的第4题的解法类似，但学生易于出错，往往错用逆定理来证。所以我设计的目的主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会培养学生分析问题，解决问题的能力,证明：=(-m)2-4(-m2-1)

11、=m2+4m2+4=5m2+4 5m2+40 0 方程有两个不相等的实数根,教学过程,练习3：求证：关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根。,设计意图：通过小组交流，班内交流，培养合作互助意识，树立自信心，通过对关于变形的归纳，使学生对知识有了系统的掌握，有利于以后对这一类型题的解决。,证明：=-(m-1)2-4-3（m+3）=m2+10m+37=（m+5）2+12（m+5）20（m+5）2+12 0 即：0所以，方程有两个不相等的实数根,关于的变形：一般情况下，由配方或因式分解后能变形成a2,-a2,a2+b,-(a2+b),(a+b)2,-(a+b)2等形式

12、；那么的符号就明朗了，即可判断其符号,教学过程,例3：已知关于x的方程x2-ax+a+3=0有两个相等的实数根，求a的值。,问题：条件中的“有两个相等的实数根”说明了什么？,设计意图：本题实际上是一个根的判别式的逆定理的应用，以巩固逆定理的运用方法，通过提出问题引导学 生自己分析、解决问题。以提高学生分析、解决 问题的能力。,教学过程,=0,练习4：已知关于x的方程x2-3x+k=0,当k取何值时，方程1）有两个不相等的实数根 2）有两个相等的实数根 3）没有实数根 4）有两个实数根,设计意图：通过本练习让学生进一步巩固根的判别式的逆定理的运用，同时采用投影仪展示学生作业是为了换一种讲解的的方

13、式，通过不同的方式来激起学生的学习兴趣，以提高课堂学习效率。,教学过程,（四）、感悟收获系统新知,注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。,（1）通过这一节课的学习，你学到了哪些知识？（2）应用一元二次方程根的判别式来解决实际问题时，应注意哪些问题？（3）你是否还存在疑问呢？,2a,-,b,设计意图：通过总结归纳，完善学生已有的学习结构，升华知识，提炼方法，感受学习的快乐，增添学习的动力，达到教学目标。,（五）、分层作业发展新知,必做题：1、不解方程判别下列方程根的情况 1)x2+10 x+26=0 2)(a+b)x2-2ax+(

14、a-b)=0 2、已知关于x的方程x2+(m+1)x+(m-2)2=0有两个相等的实数根，1）求m的值 2）求这时方程的根。选做题：已知：方程X2+2X-n+1=0没有实数根；求证：方程X2+bnx=1-2n一定有两个不相等的实根。设计意图：通过分层布置作业使学生既能及时巩固本节课所学知识，同时对学有余力的学生也留出自由发挥的空间。充分关注了学生的个体差异。,本节课我严格遵守新课程标准，以学生为主体，教师为主导的原则，不断创设自主探索与合作交流的学习环境，首先以学生学过的旧知识公式法解一元二次方程入手，提出有思考价值的问题，让学生自己去观察，思考以探究一元二次方程求根公式中b2-4ac的取值范

15、围与根的情况之间的关系为载体，利用小组合作为平台，让学生自主探索，体会从特殊到一般的数学思想，所谓良好的数学教育，就是不仅掌握了数学知识，而且还懂得了数学思想。在本节课的教学设计中，特别注意了数学思想的教学。在针对一元二次方程的求根公式进行讨论时，正是运用了分类思想，分别就b2-4ac0、b2-4ac0、b2-4ac0三种情形进行讨论的；定理和逆定理的叙述更是集中体现了分类思想的应用。另外，对于不是一般形式的一元二次方程，要想不解方程而判断其根的情况，就必须先将其化为一般形式，然后运用定理加以判断，体现了化归思想的运用。,六、总体设计思路,为了让学生在本节课上能牢固掌握一元二次方程根 的判别式

16、定理与逆定理，我设置了3个例题，从不同角度 来运用定理与逆定理，并在每道例题后面设置了巩固练 习，来强化学生对例题的理解和掌握，例题，和练习的 设置都是遵循由易到难，有简单到复杂的认知规律设计的，完全尊重了学生的思维发展规律。差异教学强调照顾学生的个体差异，充分发展每个学生的潜能而且重视集体作用，强调同学间合作帮助，为此，我除了尽可能多的创造学生合作探究的学习环境以外，在每个练习和布置作业中都设置了必做题和选做题，照顾学生的个体差异，让不同的学生在数学上得到不同的发展，人人都体会到成功的喜悦，达到了激发学生学习积极性的目的，培养他们健康的心态和良好的心理品质，真正给予孩子们一片自由的天空。本节

17、课所有的练习和作业我都是以导学案的形式出现的，在课前印发了一张试卷，按顺序依次是练习1、2、3、4和最后的作业。,七、板书设计,试卷讲评课,八年级上册 单元卷期末复习一,及时性：试卷讲评课应在考完试以后两节课内进行试卷讲评，时间如果 超过两节课，学生会对试卷有一定的遗忘，这样就达不到应有 的效果。有效性：在试卷讲评时要注意讲解的有效性，新课标指出，课堂是学生 的，教师只是起到引导的作用，为了把课堂时间还给学生，教 师就不能每道题都一一讲来，应注意那些题重要，讲应该讲的 题，而不是面面俱到。自主性：新课标指出的学生为主体，教师主导的“二主”原则，在试卷讲评 课仍然要坚持，所以注重学生的自主性仍然

18、是非常重要的原则，可 以采取小组合作来体现学生的自主性。激励性：教育家第斯多惠说过：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞！”因此通过采取对个人表扬和小组表扬双重激励方式，来达到鼓舞学生学习的激情，在试卷讲评课上显得尤为重要。巩固性：巩固练习是数学课堂教学的一个重要组成部分。这是学生巩固所学知 识，形成熟练的技能、技巧的必要途径，而且可以发展学生的思维能 力和创造能力，也是检查学生掌握知识情况的有力措施。所以在试卷 讲评完毕之后，要设计巩固性练习，才能使学生掌握本节课的知识。差异性：新课程数学标准指出:“教师要关注学生的个体差异,开展面向全体学 生的教学活动,因此，在试卷讲评课上要

19、有效地关注学生的差异性，实现人人获得能力的发展和进步,人人学习必需的数学知识.,一、考情分析,1、教师要提前做好试卷分析：教师必须提前做到对试题的知识点和分布情况进行统计分析，判断试题的难易度，分析试题的命题思路，考查角度和意图以及答题思路和技巧。如：期末复习题（一）主要考查的是学生对八年级上册所学知识的综合掌握，其中，填空题共8道：第一章分式、第三章证明（一）、第四章数据的收集和整理有1道和第五章二次根式各有1道题，第二章相似图形有4道题；选择题共8道：第一章分式和第五章二次根式各有2道题，第二章相似图形有3道题，第三章证明一没有，第四章数据的收集与整理有1道，解答题共8道，第一章分式有4道

20、题，一道计算，一道解方程，一道代数式求值和一道应用题；第二章相似图形有2道题；第四章数据的收集和整理有1道题；还有1道题是第五章二次根式的计算。整体知识点的分布是第二章相似图形占得比例最大，共有9道题；其次是第一章分式，有7道题；第五章二次根式，有4道题；第四章数据的收集和整理有3道，最后是第三章证明（一）只有1道题。难易度适中，试题的命题思路、考查角度均是按照新课标的要求进行的，只要能够灵活、熟练地运用所学知识便能很好地完成这份试卷。,2、教师具体了解学生答题情况，并对其进行分析统计了考试成绩各个分数段的学生人数统计每一道试题的得分率及失误原因和人数；这是直接掌握学生知识、思维和教学状况的必

21、要手段。以下是我就我班对期末复习（一）试卷统计的各种数据：,（1）各分数段的统计：,（2）各题得分统计表：,3、教法、学法：针对以上对试卷和学生的分析，我设计采取小组讨论、合作交流，教师适时点拨的教学方法，使学生在掌握试卷所含知识的同时，培养学生的团结协作精神，提高学生自主学习的能力。并利用小组合作，让优生帮助差生，通过“生帮生”实现差异教学。,（一）课前准备：学生自主改错，分析反思：在讲卷之前，老师应该提前把试卷发到学生手中，让学生根据试卷中存在的问题：先自主改错，分析错误原因，这一环节需要一定长的时间，若放在课堂上，要么时间不充分很可能流于形式，达不到预计的效果，若时间充足则会挤占其它环节

22、的时间，使整课堂偏重于这一环节，真正需要学习的题目没解决，所以提前把试卷发给学生先自主改错，既给了学生充足的时间反思，又能使学生明确自己的不足而在课堂上主动解决不足。所以我在准备讲卷的前一节课把试卷发到学生手中，让他们提前把试卷上自己错误的题目先改一遍，找出错误原因及不会的问题，为下节课试卷讲评做准备。,二、教学流程,1、总结考试、激励提升 我先通报有关数据，让学生心中有数，找到自己在班级中的准确定位，但又不能将学生的成绩一一公布，一来时间不允许，二来不利于保护成绩差的学生的自尊心，在试卷讲评时，不可忽视各类学生的心理状态，要用好激励手段。1、要对学生取得的成绩给予充分肯定，对进步的学生进行表

23、扬，对总体及需要鼓励的学生的成绩可以横向比较和纵向比较，以挖掘出成绩，找出不足2、要对学生的答卷优点大加推崇，如卷面整洁、解题规范、思路清晰、解法独到等，讲解时可将试卷中出现的好的解题思路、方法用投影仪展示于课堂。此环节教师的语言要精炼、要具有感染力，以表扬激励为主，切忌牢骚满腹、一味抱怨。,（二）课堂组织,2、合作研讨，组内互助：试卷讲评课一般是以教师的分析讲解为主，但“教师一卷讲到底，包打天下”的讲评形式，越来越失去了吸引力，所以常出现“教师讲的津津有味，而学生听得昏昏欲睡，订正之后类似题目仍然不会”的尴尬局面，试卷讲评本身就是一种反思性教学活动，若没有学生的积极参与，就收不到好的讲评效果

24、，因此教师应尽量以学生为主体，而采取小组研讨，组内互助的方法，可以有效地解决试卷当中比较简单的问题，让学生用自己可以接受的方式体验知识的生成，在学生合作研讨的过程中，教师一定要参与进去，一方面指导学生的困惑，引导学生在合作研讨中不仅要知其然，还要知其所以然，要善于发现错误的原因和知识的根源，另一方面，从学生的交流过程中，收集有益信息，弥补自己在试卷分析时的疏漏，为后面的重点讲解做更充分的准备。通过学生之间的互助，让学生始终处于学习的中心，从而使以后的学习变得更加主动、有效、持久。,因为课前学生已经充分地进行了自主改错，只剩下一些自己解决不了的问题，所以，我在总结考试完毕之后，让学生带着自己不会

25、的题目在小组内进行了互助讨论，让成绩好的学生帮助成绩差的学生，这样更有针对性的讲解，学生更容易掌握。,教学片断：在让学生讨论交流的过程中，教师一直在巡视，指导，期间不断有学生提出问题：生1：填空题第二题分式,的值为零，不是分子等于零分母不为零吗？分母x2-4x+30怎么解？生2：填空题第7题所求面积比的两个三角形不是相似三角形怎么求？生3：选择题第10题的直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2对吗？师：你们先在小组内讨论交流，试试能不能解决，如果还是解决不了，一会儿在全班交流时提出来，让别的小组或者我帮你们解决。,3、小组质疑，班内解疑 爱因斯坦说过，提出一个问题往往比解决一个问题更重要。这

26、一环节是在学生独立改错与小组内交流的基础上进行的，学生经过在小组内部合作研讨之后，对原有的一些疑点和难点已经得到解决，但可能还会有一些模糊不清或解决不了的问题，这时候，需要教师组织各小组以组长为代表，提出组内未能解决的问题，然后让其他小组解决，然后小组之间、学生之间在展开质疑，或由教师进行追问，引导学生对数学方法、规律、思想进行恰当的总结，让学生能知其所以然。,教学片断一：师：刚才大家已经在小组内部讨论了自己不懂的地方，我想同学们一定 有很大的收获。但在刚才的讨论过程中，有些小组仍然有个别问题 没解决，向我提出了疑问，那么现在我们就来解决这些疑问，哪个 小组还有没解决的问题？生：（踊跃举手）师

27、：一组先来说生1：填空题第七题不会做师：这个问题谁能帮助解决？（几个学生举手，师点名，让其到黑板来讲解）生2：因为SAOD:SCOB=1：9 所以AOD与COB的相似比为1:3 所以OD:OB=1:3 因为DOC和BOC是同高的三角形 所以SDOC:SBOC=OD:OB=1:3师：刚才这位同学讲的很好，但美中有些不足，哪位同学对他的讲解还有疑问？生3：为什么由SAOD:SCOB=1：9，就能得到AOD与COB的相似比为1:3？还有DOC和BOC为什么是同高的三角形？,师：这位同学问得非常好，问到了关键之处，这个疑问还是有 三组组长来解答吧。生2：因为ADBC，所以DAO=OCB,ADO=OBC

28、 所以AODCOB 所以SAOD:SCOB=（OD:OB）2 因为SAOD:SCOB=1：9 所以OD:OB=1:3 过点C做BD的垂线CE，CE既是DOC的高也是BOC的高 所以SDOC:SBOC=ODCE:OBCE=OD:OB=1:3师：这次讲解清楚了吗？生：清楚了。师：通过这道题，谁来说一下怎样求两个三角形的面积比？(生思考后举手回答)师总结：求两个三角形面积，如果是两个相似三角形一般是通过相似比来求面积比，如果不是相似三角形，可以通过面积公式求两个三角形的面积比，通常找两个三角形的同（等）底或同（等）高来求出面积比。,教学片断二：师：同学们再没有疑问了吗？那我要问几个同学一些问题了提问

29、生1：填空题第4题若=k,a+b+c0,则k=.这一题中，a+b+c0这一条件有什么用处？生答：因为a+b+c0这一条件，才可以用等比性质，求出k的值。师：回答的很好，这一类型题一定要看清楚有没有这样的条件，若没有 需分情况讨论。继续提问生2：填空题第8题是应用了哪个知识理论？生答：应用了位似图形各对应点到位似中心的距离比等于位似比。师：不错，请坐，同学们一定要注意这道题已知和求的比是反比的关系。继续提问生3:第十五题为什么选C，生3：C选项所给出的结论和已知构成的是两边对应成比例和邻角相等，不是相似的判定。师追问：那已知给出的是什么条件？生3：公共角A。,以上的教学片断二我所提问的学生都是小

30、组中成绩偏差的学生，我一是为了检查他们是否真的掌握这些题目；二是提醒全班同学这几道题所应注意到的问题。,4、巩固练习，拓展延伸,对于数学题，听懂不等于就会做，试卷上出现的问题，学生在组内研讨纠正后，也可能出现背死答案，不懂装懂的可能性，这时巩固练习，针对学生普通存在的问题精心设计题目，组织好学生再练习就尤为重要，在设计题目时，新的题目最好是以逆思路或变式的形式出现，使大部分学生及时得到巩固，让学有余力的学生进一步接触变式题，拓宽学生的思维空间，培养思维的灵活性，充分扩大试卷的讲评效果，促使不同层次的学生都得到进一步的提高。这一环节我是和第三环节相互穿插进行的,比如：在上一环节当中的教学片断一，

31、有一学生的提出填空题第七题的问题，我在三组代表讲完这题以后接着对这道题进行了变式：,如图，ABCD是平行四边形，E是AD的中点，F是AE的中点，BE、CF交于O，连接BF，求：SEOF:SBOF,学生马上在练习本上解答，有了试卷第七题的铺垫，学生利用刚才探讨的方法，可以很容易的解决这个问题。这样在解决一个问题以后紧跟着一个变式，让学生对自己的探究成果再次运用，使学生建构清晰、完整的认知结构。,再如：班内探究完第六题以后我又出示了这样一道变式，让学生加深巩固 如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=30cm，高AD=10cm，先要将其切成长、宽之比为3:2的矩形零件EFGH，试求零件EFGH的

32、面积。,A,E M FB H D G C,这道变式题的原题是一个内接正方形的问题，求的是边长，我将它进行变式，把正方形变成长方形，问题改成求面积。学生通过这道题的练习，进一步巩固了三角形内接四边形的类型的的解题思路。最后让学生总结这一类型题的思路。,还有，试卷的最后一道大题，有一定的难度学生只能完成第一个问题，第二个问题没人能过解决，所以我在班上讲解完毕以后，紧跟着又将这道题变式：,如图，平行四边形ABCD,延长BC到G，使CG=BC,延长DA到H，连接GH交DC于E,交AB于F，且DE:CE=3:2，连接DB交GH于O.求：（1）SABF:SECG(2)求GE:EO的值。,G,C,E,D,A

33、,B,O,F,H,这个问题有一定的难度，我只要求学有余力的学生课下把这道题做一下，做出来的同学可以给我批。,5、回顾总结、当堂检测,1、已知a、b、c为三角形的三条边，且满足=k,则k的值。2、已知一组数据分别是x1、x2、x3、x4、x5,它们的平均数是，方差是s2.那么另一组数据2x1-3、2x2-3、2x3-3、2x4-3、2x5-3,的平均数和方差分别是。3、某校500名学生在一次数学测试中，学校调查了一部分学生的成绩，分数段在90100分的学生有10人，频率为0.2，学校抽查了 名学生；其中分数段在8090分的学生有16人，由此可估计全校有 名分数在8090分的学生。,4、计算：（3

34、+）（-4）5、王老师家在商场与学校之间，离学校1千米，离商场2千米。一天王老师骑车到商场买奖品后再到学校结果比平常步行直接到校迟到20分钟。已知骑车速度为步行速度的2.5倍，买奖品时间为10分钟。求骑车的速度。6、如图：四边形ABCD是平行四边形，E为AD上一点，DE:CE=2:3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，求：SDEF:SEBF:SABF的值。,D,E,C,A,B,F,“问渠哪得清如许，唯有源头活水来”在平时的教学过程中，只要我们能够把握好试卷讲评这一关键环节，让试卷讲评课成为一潭活水，我们的教学就会起到事半功倍的作用，进而让每一个学生都能真正全面、持续、和谐的发展。,公

35、式法解一元二次方程（习题课）,在初中数学教学中，习题课的基本目的是通过解题的形式来形成学生的数学技能，并通过解题教学，进一步培养学生数学的应用意识和能力，对于教师来说还可以检查学生对所学知识的理解和掌握程度，以便适当调整教学方法和策略，实现数学教学的基本目标。习题课的习题设计要特别注意不能原地踏步，切忌基础性的重复，题目的设计要有层次，从基础到拓展，循序渐进。,教材分析：本节课是在学生学习了配方法、公式法解一元二次方程及根的判别式、根与系数的关系的基础上设计的巩固训练课，主要是让学生对这一段时间学习的知识进行系统的整理和巩固，通过对设计的习题的探究和练习，使学生能够灵活运用所学知识，提高学生分

36、析问题、解决问题的能力。教学重点：1、能用适当的方法解一元二次方程。2、能够灵活运用根的判别式的定理及逆定 理，根与系数的关系解决问题。教学难点：能够将根的判别式，根与系数的关系与其他知识相结合来解决实际问题。,教学目标：1、用适当的方法解一元二次方程并能够灵活运用根的判别式的定理及逆定理，根与系数的关系解决问题。2、在通过对习题的探讨，解决的过程中体会数学的建模思想，培养学生的数学应用意识。3、在探究学习中培养学生独立思考、自主探索、勇于创新的精神，并敢于发表自己的见解，养成良好的学习态度。教学资源 导学案、课件,0；,0。0 4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别为x1

37、和x2，则x1+x2=；x1-x2=。,0；,第一环节：知识梳理，复习巩固1、目前已学过的解一元二次方程的方法有 2、公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是 3、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判别式是，其中,教学过程,知识梳理，复习巩固；例题引领，合作交流 巩固练习，拓展提升；回顾总结，当堂检测,设计意图：首先从学生原有的认知结构提出问题，使学生头脑中再现有关公式法 解一元二次方程的知识，为顺利解答后面的习题做铺垫。,第二环节：例题引领，合作交流,例1、选择合适的方法解下列方程：1)（x+3）(x+1)=6x+4 2)2x2+x-9=0,无论是公式法还是配方

38、法都应先将方程化为一般形式，再进行选择。其中，公式法是一个万能的方法，对于任何一个一元二次方程都适用，配方法虽然所有的方程也都可以使用，但某些方程使用起来有些繁琐，对于二次项系数为一或二次项系数化为一以后一次项系数和常数项为整数的方程更适合。,设计意图：通过例1使学生能够掌握怎样选择解方程的方法，能够更灵活的使用配方法和公式法解一元二次方程。,变式1：关于x的方程（a+1）x2-4x-1=0有实 数根，求a的取值范围？,（a-5）,变式2：关于x的方程（a+1）x2-4x-1=0有两个 不相等的实数根，求a的取值范围？,（a-5且a-1),例2:关于x的一元二次方程（a+1）x2-4x-1=0

39、有实数根，求a的取值范围？,解：由题意得=(-4)2+4(a+1)0 a-5 a+10 a-1 即：a-5 且a-1,例3、若关于x的方程（a+c）x2+2bx-a+c=0有相等的 两个实根，且a，b，c都为正数，试判断以a，b，c为边的三角形的形状？,解：方程有两个实根=4b2-4(c2-a2)=4(b2+a2-c2)=0,b2+a2=c2 以a，b，c为边的三角形为直角三角形,变式:已知a、b、c为直角三角形的三边，且c为斜边，那么关于x的方程（a+c）x2+2bx-a+c=0的根的情况又如 何呢?该怎样解决？,因为此方程有两个实数根，所以0，即：4（m+2）2-4(m2-4)0,求出m-

40、2,所以-,例4、关于x的方程x2-2（m+2）x+m2-4=0的两实根互为倒数，求m的值。,问题：两实根互为倒数可怎样表示？(积为1),怎样用代数式表示？(x1x2=1),x1x2还可以怎么表示？(x1x2=m2-4),m2-4=1m=,m所等于的,这两个值都符合题意吗？,不符合题意舍去，最终答案为m=,.,由根与系数的关系求出的字母的值要注意根据的值检验求得的解的合理性。,设计意图：以上这几道例题，都是通过课件 展示，每道例题我都采用学生独立思考小组合作交流班内发表见解教师点拨总结的方式进行。在不断地给学生提供讨论交流的时间，通过给学生独立思考的时间和空间，让学生的思维过程充分暴露，以学定

41、教，互动生成。同时，在例题后面紧跟着变式和恰当的提出问题，使学生在一定的思维基础上进一步思考，降低了问题的难度，培养了学生自主探究和解决问题的能力。,第三环节：巩固练习，拓展提升,本环节的目的是让学生通过练习来巩固所学的知识，使同学们能够精确、熟练地运用所学的知识，解决问题，提高数学能力。另外,我们还可以通过练习来检验学生掌握知识的情况，了解学生学习过程中所存在的缺陷，方便老师有针对性地做出补救措施。针对教学内容和学生的实际学习能力，我分层次选编巩固性练习、拓展性练习和综合性练习。而且练习分为必做题和选做题。学生完成各层次相应练习后可以选做高一层次的练习。这样能解决以往统一练习时，高层学生“吃

42、不饱”、中层学生“吃不好”、低层学生“吃不了”的矛盾.,必做：1、选择合适的方法解一元二次方程：1)y2+2=2 y 2)（x+3）（x-1）=52、已知关于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。3、已知关于x的一元二次方程x2-6x+k+1=0的两个实数根是x1,x2，且x12+x22=24，求k的值。4、已知：a、b、c为ABC的三边，若方程ax2+2 x+2(b+c)=2a有两个相等的实数根，试判断ABC的形状。5、已知a、b、c为三角形的三边，求方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况。,选做：6、如果关于x的一元二次

43、方程kx2-x+1=0有两个不相等的实 数根，求k的取值范围？7、已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1-x2|=2，求m的值，并求出此时方程的两根8、已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5（1）k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？（2）k为何值时，ABC是等腰三角形？并求此时ABC的周 长,这八道练习题都是以导学案的形式出现的。其中，必做题是全班同学都要做的。而选做题是学有余力的同学做完必

44、做题后，根据自己的实力选择性的做。10分钟后，找学生提出自己在做题时产生的疑问，并请其他学生帮助解答。教师给予适当订正，同时核对答案。,1、选择合适的方法解一元二次方程：1)y2+2=2 y 2)（x+3）（x-1）=5 是针对例1设计的巩固性练习，通过这组练习使全体学生都 能够熟练地解一元二次方程，并选择适当的方法解决。2、已知关于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。3、已知关于x的一元二次方程x2-6x+k+1=0的两个实数根是x1,x2，且x12+x22=24，求k的值。第二题和第三题分别是例2和例4的一个跟踪练习，其中第二题因为

45、是一元二次方程，所以二次项系数不为零，可能有部分学生疏漏此处，通过此题，达到强化的目的。第三题，注意条件中的x12+x22=24，需要配方成（x1+x2）2-2x1x2=24,再利用根与系数的关系解决。学生很容易忽略根据的值，判断k的合理性这一环节，通过本题再次强化这一知识的应用。,4、已知：a、b、c为ABC的三边，若方程ax2+2 x+2(b+c)=2a有两个相等的实数根，试判断ABC的形状。,分析：首先方程不是一般形式，要先化成一般形式，而且=4(b2+c2)-4a(2b+2c-2a)=4b2+4c2-8ab-8ac+8a2=4a2-8ab+4b2+4a2-8ac+4c2=4(a-b)2

46、+4(a-c)2=0 a-b=0,a-c=0 a=b=c 以a、b、c为边的三角形是等边三角形,第四题和第五题是例3的巩固和变式,5、已知a、b、c为三角形的三边，求方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况。,分析：利用三角形三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来确定方程根的情况。=4c2-4(a+b)2=4c2-(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b)因为a、b、c为三角形的三边，所以都为正数，那么(c+a+b)0，又因为c-ab,所以（c-a-b）0，所以(c+a+b)(c-a-b)0，所以4(c+a+b)(c-a-b)0，即：0，方程没有实数根。,6、如果关于x

47、的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的 实数根，求k的取值范围？7、已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根;（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1-x2|=2，求m的值,并求出此时方程的两根,第6题除了要考虑和二次项系数以外，还要考虑二次根式有意义。所以2k+10,k-，最终求得答案-k 且k0.第7题的第一个问很简单，只要计算的值在进行配方的（m+1）2+4便可证得。第二个问题中|x1-x2|=2这一代数式含绝对值，所以不能简单地把绝对值去掉，而要等式两边同时平方，得到（x1-x2）2=(2)2,整理得：（x1

48、+x2）2-4x1x28,再利用根与系数的关系，把x1+x2 和x1x2的值整体代入，便可求出字母m的值。,选做题的设置，是在例题的基础上加深了难度，旨在培养学生对知识的灵活运用能力，发展学生的思维。,8、已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5（1）k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？（2）k为何值时，ABC是等腰三角形？并求此时 ABC的周长,分析：1）ABC是以BC为斜边的直角三角形”一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根的平方和等于了BC的平方。设方程的两个根为x1x2即

49、：x12+x22=25，再利用根与系数的关系求得k的值。2）ABC是等腰三角形，但并没有说明哪两条边是腰，所以要考虑两方面：AB、AC是等腰三角形的两腰，BC和其中的一个根是腰，可先计算=（2k+3）2-4(k2+3k+2)=4k2+12k+9-4k2-12k-8=1,所以无论k取何值都大于0，方程永远有两个不相等的实数根，所以不可能是第一种情况；那么就只剩下第二种情况了，若BC为腰，那么另一个腰便是方程的一个根也等于5，即5是方程的一个根，利用一元二次方程根的定义，把5代入方程便可求出k的值，k=3或4，再把k分别代入方程，求出方程的另一个解，当k=3时，另一个根为4，当k=4时，另一个根为

50、6.这两个数都符合题意，所以三角形的周长分别为14或16.,第四环节：回顾总结，当堂检测,这一环节由学生自己总结本节课的收获，点评自己的表现。教师给予表扬和鼓励，最后当堂检测：测试题仍然是以试卷形式发到学生手中，总共8道，分A、B、C三组，其中A组题的设计是针对班内学困生的，B组是班内大部分学生都应掌握的类型题，C组是拓展提高题，有一定的难度，采取学生自主选题解答的方式，A组题答对得5分，B组题答对得10分，C组题答对得20分。通过这种形式，既能使不同层次的学生各尽所能，尊重了学生的个体差异，而且通过得分不同来激励学生去思考问题，主动学习的积极性。,A组：1、解方程：1）（x+1）（x-3）=