人教B学案2弧度制和弧度制与角度制的换算.ppt

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1、学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,1.叫做角度制.2.叫做1弧度的角；以弧度为单位来度量角的制度叫做，在弧度制下，1弧度记作.3.正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.在角的集合与实数R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个 与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一 个 和它对应.4.360=rad;1=rad rad;n=rad.1rad=;arad=.,用度作单位来度量角的制度,长度等于半径长的圆弧所对的圆心角,弧度制,1rad,正数,负数,零,实数（角度数或弧度数）,角,2,0.01745,57.30,5718,5.弧长公式l=，扇形面积公式S=.,

2、0,学点一 弧度制的概念,下列选项中，正确的是（）A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位,【分析】将一弧度的角的定义与各选项比较，排除错误选项，选出正确选项.,【解析】由定义可知A，B，C都不正确.故应选D.,【评析】弧度制是用“弧度”来度量角或弧的一种度量制度，这种制度的基本单位是弧度，没有辅助单位，不象角度制那样，除基本单位“度”外，还有辅助单位“分”和“秒”，由于角度制的思维惯性，往往初学弧度制时，感到不易接受这种新的度量制度，要注意理解弧度的意义，逐步体会弧度制的合理性及优

3、越性。,下列选项中，错误的是（）A.“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1 rad的角比1的角大C.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关,（用角度制和弧度制度量角时，角的大小都与圆的半径无关，C不正确.故应选C.）,C,把下列各角用另一种度量制表示出来:11230;36;【分析】角度制与弧度制之间的换算可以利用1=弧度,1弧度=57.3来完成,对于某些特殊角也可以利用180=这个关系来实现换算.,【解析】11230=36=36=.=()=-75.3.5=3.5()o 200.54.,学点二 角度与弧度的互化,=,【评析】(1)用弧度制表示角时,“弧度”二字可以省略不写,而用角度

4、制表示角时,要特别注意单位“”不能丢,因为1与1是完全不同的两个角.(2)对于常用的特殊角,角度与弧度之间换算要熟练、准确.如30=,45=,60=,90=,120=,135=,150=,180=,270=,360=2等.,设角1=-570,2=750,1=弧度，2=弧度.（1）将1，2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；（2）将1，2用角度制表示出来，并在-7200之间找出与它们有相同终边的所有角.,（1）180=，-570=-=-4+.750=4+.1在第二象限，2在第一象限.（2）1=108,设=k360+1(kZ),-7200,-720k360+1080,k=-2或k=-1.在

5、-7200间与1有相同终边的角是-612和-252.同理，2=-420，且在-7200间与2有相同终边的角是-60.,已知=1 690,（1）把写为+2k(kZ)，0,2）的形式；（2）求,使与的终边相同，且(-4,-2).【分析】根据题意，应先将由角度制化为弧度制，然后分别在区间0,2）和（-4,-2）上找出与终边相同的角.,学点三 终边相同的角,【解析】（1）将化为弧度，为 1 690=.于是=+8,其中 0,2）.（2）由（1）得与终边相同的角为+2k(kZ).-4 2k+-2(kZ)，得k=-2.=-4+=.由于=(-4,-2),=即为所求.,【评析】所有与角终边相同的角，连同在内，可

6、表示成集合|=+2k,kZ.,设A=|=k,|k|10,kZ,B=|=k,kZ.求与AB中角的终边相同的角的集合.,设0AB，则0A且0B,从而0=k1,0=k2.k1=k2,即k1=k2，又|k1|10,k1Z,k2Z,k2 10,k2=0,10,-10.因此，AB=-15,0,15.所有与AB中角的终边相同的角的集合为|=2k或=2k,kZ.,学点四 扇形弧长及其应用,如图所示,扇形AOB的面积是4 cm2,它的周长是10 cm,求扇形的中心角的弧度数及弦AB的长.【分析】由扇形面积公式与弧长公式代入求解.,【评析】(1)弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到简化,所以在解决这些

7、问题时通常采用弧度制.(2)一般地说,在几何图形中研究的角,其范围是(0,2).,解答下列各题:(1)求半径为2,圆心角为 的圆弧的长度;(2)在半径为6的圆中,求长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形面积.,(1)半径R=2,圆心角=,弧长l=R=.(2)如图所示.AB=6,OA=OB=6,AOB=.扇形AOB的面积SAOB=lR=R2=62=6.又AOB是等边三角形,SAOB=62=9.弓形面积S=6-9.,用30 cm长的铁丝围成一个扇形,应怎样设计,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?【分析】将扇形面积用扇形半径r或扇形弧长(或其他变量)表示出来,然后求最值.,【解析】解法一:设扇形半

8、径为r,弧长为,扇形面积为S,则+2r=30,即=30-2r.将式代入S=r,得S=(30-2r)r=-r2+15r=-(r-)2+所以当r=时,扇形面积最大,且最大面积为 cm2.此时圆心角=2.,学点五 扇形面积及其最值,解法二:设扇形的半径为r,圆心角为,则弧长为r,由题 意,得2r+r=30,即r=.所以S=r2=整理,得S2+(4S-450)+4S=0.由S0及0知,-3 600S+202 5000,所以S,即扇形的最大面积为 cm2.将S=代入式解得=2,r=.答:当扇形半径为 cm,扇形的圆心角为2弧度时,扇形面积最大,最大面积为 cm2.,【评析】(1)本题解法二是用判别式法求

9、最大值,应注意这种方法的应用.(2)解应用题最后必须有结论(答),否则不完整.,当扇形的周长C一定时，它的圆心角取何值才能使该扇形面积S最大？最大值是多少？,设扇形半径为R，则扇形的弧长为C-2R，S=（C-2R）R=-R2+R=-(R-)2+()2，0C-2R2R,+2R，当R=，即=2时，S取得最大值.,1.如何理解角度制与弧度制的统一关系？角的概念推广后，无论用角度制.还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应关系，只是对应法则不同而已，即“每一个角都有唯一的一个实数（角度数或弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应”.由于对应法则不唯一，某个角对应

10、的实数往往不同，但是在一种对应法则下，一个角对应的实数是唯一的.对应法则可以是弧度制，也可以是角度制.不要以为只有弧度制才能将角与实数一一对应.,2.如何使用弧度制？（1）讲完了弧度制后，角度制与弧度制中的单位不能混用.如6+k360或60+2k的写法是不允许的，尤其是当角用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k360+等.（2）用“度”作为单位度量角时，“度”（即“”）不能省略.用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”两字可以省略.如sin3是指sin(3rad)，这时的弧度数3在形式上是一个不名数，应理解为名数.常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数的形式.（3）用角度制表示角时，总是十进制、六十进制混用，度与度之间、分与分之间、秒与秒之间是十进制的，例如10个6度是60度等，而度、分、秒之间的关系是六十进制的，计算起来不方便，因此，学习弧度制具有一定的优越性.3.使用公式l=|r应特别注意什么？弧长公式的使用：对于公式l=|r中的是以“弧度制”为单位的.若圆心角是以度给出的，应先把度化为弧度后再使用公式.,角度制与弧度制的互化是正确理解角的基础，用弧度表示为今后的进一步学习奠定了基础.因此，要尽量用弧度表示角、角的范围、进行角之间的互化，并且熟记特殊角的弧度数.,祝同学们学习上天天有进步！,