二面角平面角求法.ppt

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1、,二面角,二面角,教学目的：1.掌握二面角 的概念。2.掌握二面角的一般作法。3.熟练掌握二面角的求解方法。4.能在复杂图形中找到二面角。5.提高空间想象能力和综合解题能力,返回主页,二面角的定义,从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,二面角,返回主页,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面,记作,二面角的平面角的定义,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,二面角的平面角,A,O,B,l,二面角的平面角范围：,点P在棱上,A,B,定义法,二面角,p,返回主页,讲解例题,常见的图形,例1.如图，已知P是二

2、面角-AB-棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且MPN=60 BPM=BPN=45，求此二面角的度数。,C,D,解：,在PB上取不同于P 的一点O，,在内过O作OCAB交PM于C，,在内作ODAB交PN于D，,连CD，可得,COD是二面角-AB-的平面角,设PO=a，BPM=BPN=45,CO=a，DO=a，PC a，PD a,又MPN=60,CD=PC a,COD=90,因此，二面角的度数为90,a,二面角,返回主页,O,90,试一试,垂面法,点P在二面角内,A,B,O,二面角,p,返回主页,讲解例题,常见的图形,例2如图P为二面角内一点，PA,PB,且PA=5，PB=8，AB=7，

3、求这二面角的度数。,过PA、PB的平面PAB与 棱 交于O点,PA PA,PB PB,平面PAB,AOB为二面角的平面角,又PA=5，PB=8，AB=7,由余弦定理得,P=60 AOB=120,这二面角的度数为120,解：,O,二面角,返回主页,三垂线法,点P在一个半平面上,A,B,返回主页,讲解例题,常见的图形,取AB 的中点为E，连PE，OE,O为 AC 中点，ABC=90,OEBC且 OE BC,在RtPOE中，OE，PO,所求的二面角P-AB-C 的正切值为,例3如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-A

4、B-C的正切值。,PEO为二面角P-AB-C 的平面角,在RtPBE中，BE，PB=1，PE,OEAB，因此 PEAB,解：,二面角,返回主页,A,B,C,O,cos=,三角形ABC在平面N内的射影为BCO 三角形ABC的面积为S，三角形BCO的面积为S射,面积法,返回主页,讲解例题,常见的图形,例4、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。,AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,E,返回主页,M,二面角的求法总结,定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面

5、的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。,三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。,垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。,以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。,射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。,二面角的平面角,求二面角的平面角方法,点P在棱上,点P在一个半平面上,点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,三垂线法,垂面法,二面角,射影法,