二次型及其标准形.ppt

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1、第六章,二次型及其标准型,6.3 正定二次型与正定矩阵,6.2 化二次型为标准型,6.1 二次型及其矩阵表示,5.5 二次型其次标准形,引言,判别下面方程的几何图形是什么？,作旋转变换,代入(1)左边，化为：,见下图,称为n维(或n元)的二次型.,定义,含有n个变量 的二次齐次函数,关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！,例如：,都是二次型。,不是二次型。,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形。,为二次型的标准形。,取,则,则（1）式可以表示为,二次型用和号表示,令,则,其中 为对称矩阵。,二次型的矩阵表示（重点）,注,1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。,2、其对角线上的元素,恰好是

2、,的系数。,3、,的系数的一半分给,可保证,例如：二次型,注：二次型 对称矩阵,把对称矩阵 称为二次型 的矩阵,也把二次型 称为对称矩阵 的二次型,对称矩阵 的秩称为二次型 的秩,写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。,解,问：在二次型 中,如不限制 A对称,A唯一吗?,定义,只含平方项的二次型,称为二次型的标准形(或法式)。,平方项系数只在 中取值的标准形,对给定的二次型,找可逆的线性变换(坐标变换)：,代入(1)式，使之成为标准形,称上面过程为化二次型为标准形。,第六章,二次型及其标准型,6.3 正定二次型与正定矩阵,6.2 化二次型为标准型,6.1 二次型及其矩阵表示,

3、简记,设,若,一、非退化线性变换（可逆线性变换）,为可逆线性变换。,当C 是可逆矩阵时,称,对于二次型，我们讨论的主要问题是：,寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。,即二次型,经过可逆线性变换,使得,为什么研究可逆的变换？,即经过可逆线性变换,可化为,对于这种矩阵的关系我们来进行定义,矩阵的合同：,证明,定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则,注：合同仍然是一种等价关系,矩阵合同的性质：,(1)反身性,(2)对称性,(3)传递性,记作,二.化二次型为标准形,正交变换法（重点）配方法,目标：,问题转化为：,回忆：,此结论用于二次型,所以，,(P191 定理6.2.1),1.正交变换法,对二次

4、型,存在正交变换，使,其中,为 的特征值。,其中P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交,的单位特征向量。,定理：,例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。,解（1）写出二次型 f 的矩阵,(2)求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量,而它们所对应的标准正交的特征向量为,(3)写出正交变换,取正交矩阵,则得所欲求的正交变换,即,（4）写出,的标准型。,易知经上述正交变换,后所得二次型的标准型,2.,解 二次型的矩阵为,3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：,作正交变换 X=QY，则,注：正交变换化为标准形的优点：,在几何中，可以保持曲线（曲面）的几何

5、形状不变。,2.配方法,同时含有平方项,与交叉项,的情形。,例2 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。,解：,令,二次型的标准形为,所求的可逆线性变换为,即,为标准形,并求出所作的可逆线性变换.,例3 用配方法化二次型,解 令,只含交叉项,的情形。,即,令,则二次型的标准形为,所用的可逆线性变换为,思考题：1、,(1)合同且相似；,(2)合同但不相似；,(3)不合同但相似；,(4)不合同且不相似；,以上说明：,注意：,2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.,定理,二次型必可化为规范形。,证 设二次型 f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为:,(思考为什么一定可化为

6、上面形式？),再做一次可逆的线性变换,则 f 化为,思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？,思考并回答,(1)二次型的标准形唯一吗？,(2)二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？,(3)设CTAC=D(C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？,(4)设4阶对称矩阵A的特征值为0,2,2,-3,A的二次型的规范形是什么？,解,化为标准形。,求A的特征值,求二次型的矩阵,求A的规范正交的特征向量,单位化,得正交的基础解系,单位化,求正交变换矩阵,写出二次型的标准形,用正交变换，二次型 f 化为标准形为,解,二次型的矩阵为,由题意,由相似矩阵的性质得，从而,解得,A与D有相同的特征值，分别为,求得它们对应的特征向量(正交)为,再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵,