中小学数学中的概率与统计.ppt

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1、中小学数学中的概率与统计,小学教材中的具体内容,二年级下统计,读统计图表 纵向条形统计图 横向条形统计图 统计表（单式）重点在认识,三年级上,可能性 通过摸球、转盘游戏体会可能性与可能性的大小生活中的推理 通过参加兴趣小组的调查统计和上课教师的推理，了解可能出现的结果。,三年级下统计与可能性,奖牌给哪组 通过投篮统计结果体会平均数的作用，讨论平均数的求法，并使用统计图表。猜一猜 通过转盘游戏、抛纸杯、摸球等活动体会可能性的大小，讨论可能出现的结果。体育中的数学 通过队形变换、比赛安排学习简单的计数问题。,四年级上统计,栽蒜苗（一）通过统计学生栽种的蒜苗15天后的高度的统计，体会数据的表示，学会

2、画条形统计图，体会条形统计图的优点。栽蒜苗（二）通过记录蒜苗生长的过程，体会折线图的作用与画法。走进网络 通过网络了解与与我们生活密切相关的统计数据。,四年级下游戏公平,谁先走 掷骰子、抛硬币是否公平，为什么公平？想一想 如何设计才能使转盘游戏公平。实践活动 抛瓶盖。体会为何朝上与朝下的可能性不一样。,五年级上可能性的大小,摸球游戏 直观判断可能性大小，定量计算可能性的大小。实验验证结果。设计活动 如何设计出可能性一定的摸球游戏。数学与生活 通过对学生新年活动的统计，体会统计与概率的关系。通过对有奖游戏的分析，体会可能性大小的原因。铺地砖 计数问题,五年级下统计,扇形统计图 通过一家人一天的食

3、物摄入量统计，体会统计表、条形统计图、扇形统计图的不同用途。奥运会 通过我国历届奥运会奖牌统计表，体会条形统计图、折线图、扇形图的不同特点与用途。中位数和众数 中位数与众数的意义与作用了解同学 调查的设计与实施,六年级上统计,复式条形统计图复式折线统计图 复式统计图的特点与作用,六年级下统计与概率,统计 通过情景如何介绍自己的班级，体会调查的首要任务是明确调查的目的，然后是收集数据、整理数据、表示数据。可能性 所有可能的结果、简单的古典概型、几何概型的概率计算。解决问题的策略 计数问题,小学教材中的统计与概率,统计图表统计量调查可能性与可能性大小简单的古典概型与几何概型简单计数问题,初中教材中

4、的具体内容,七年级上数据的收集与整理,喜爱哪种动物的同学最多全面调查举例 经历从调查设计、数据收集、数据整理、数据表示与数据简单分析的全过程。阅读与思考介绍了人口普查的知识。调查中小学生的视力情况抽样调查举例 强调调查表中应设计哪些问题。抽样调查的意义。瓶子中有多少颗豆子。课题学习调查“你怎样处理废旧电池 体会调查的全过程。,八年级上数据的描述,几种常见的统计图表 条形图、扇形图、折线图、复式条形图、复式折线图、直方图的特点。用图表描述数据 用恰当的统计图表示数据 阅读与思考作者可能是谁。课题学习从数据谈节水 综合应用。,八年级下数据的分析,数据的代表 算术平均数与加权平均数、中位数、众数的特

5、点 数据的波动 极差、方差、用计算机求统计量（平均数AVERAGE、中位数 MEDIAN、众数MODE、方差VARP）阅读与思考平均差、标准差 课题学习体质健康测试中的数据分析 调查表（提供）、数据收集（确定样本容量、抽样方式）、数据整理、数据描述、数据分析、撰写调查报告、交流。数学活动简单的调查统计,九年级上概率初步,概率 随机事件与随机事件发生的可能性大小、概率的意义、概率与频率用列举法求概率 古典概型与几何概型利用频率估计概率 树的成活率、水果售价、模拟试验（求6男3女中取3人，取到2男1女的概率）、种子发芽率 阅读与思考浦丰投针试验 课题学习键盘上字母的排列规律 拼音输入法中汉字的排列

6、规律,七年级上可能性,一定摸到红球吗？转盘游戏谁转出的四位数大,七年级下概率,游戏公平吗摸到红球的概率停留在黑砖上的概率,八年级上数据的代表,平均数中位数与众数利用计算器求平均数,八年级下数据的收集与处理,每周干家务活的时间数据的收集频数和频率数据的波动,九年级上概率与统计,频率与概率投针试验生日相同的概率池塘里有多少条鱼,高中教材中的具体内容,必修3统计,随机抽样 样本的代表性、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、如何得到敏感问题的诚实反应用样本估计总体 用样本的频率分布估计总体分布 用样本的数字特征估计总体的数字特征 标准差与质量控制、系统误差与稳定性 变量间的相关关系 变量间的相关关系 两

7、个变量的线性相关（散点图、正相关、负相关、回归直线）回归直线的 相关系数,必修3概率,随机事件的概率概率以及相关概念，概率的统计学求法概率的意义（概率的正确理解、游戏的公平性、极大似然法、遗传机理中的统计规律）概率的基本性质 古典概型几何概型 阅读与思考概率与密码,选修2-3计数原理,两个基本计数原理排列组合计数应用题二项式定理,选修2-3概率,随机变量及其概率分布超几何分布独立性二项分布随机变量的均值和方差正态分布,选修2-3统计案例,独立性检验回归分析,概率,一。概念,随机事件、必然事件、可能事件、不可能事件事件发生的可能性大小频数、频率、概率概率的定义,二。相关知识,古典概型、几何概型预

8、备知识（集合、排列与组合）条件概率与全概公式 事件的独立性与贝努利概型几种典型分布（两点分布、二项分布、超几何分布、泊松分布）几种典型分布间的关系,三。教材中问题的拓展,1。游戏公平吗？2。生日相同的概率3。摸到红球的概率4。蒲丰投针问题5。计数应用,统计,一。概念,统计量：数学期望、方差、标准差统计量的性质总体、个体、样本、样本观察值,二。调查与抽样,调查的首要任务是确定调查目的怎样抽样如何得到诚实的反应,教材中知识拓展,池塘里有多少条鱼线性回归方程相关系数独立性检验,谢谢,三。大数定律与中心极限定理,大数定律中心极限定理,四.统计量的估计,已知方差的估计未知方差的估计,概率的定义,1。描述

9、性定义：随机事件发生可能性大小的度量。2。统计定义：在不变的一组条件下，重复n次试验，以n(A)表示事件A在n 次试验中出现的频数，则当n 很大时，频率(A)=n(A)/n稳定地在某一值p附近摆动，而且一般地说，随着n地增大，这种摆动地幅度将减小。称频率的稳定值p为这次试验中事件A的概率。注意：稳定与极限的区别。,概率的定义,3。概率的公理化定义：假设试验E的样本空间为，对于试验E 的任一个事件A，即对于的任一子集A，都赋予一个实数P（A），如果P（A）满足下面三个公理，则称P（A）为事件A的概率。公理1 对于任意事件A，P（A）0;公理2 对于必然事件,P()=1;公理3 对于任意可列个两两

10、互不相容的事件A1，A2，An，有P（Ai）=P（Ai）。,预备知识,事件（集合）的运算与关系：1。A B、AB、A=B 2。A+B（AB）、AB（AB）、A-B、A 3。互不相容 4。完备事件组事件的运算与关系的性质：1。A、A+B A、A A-B、A AB 2。A+=A、A+A=、A+A=A、A+B=BA=A；3。AB=BA、AA=A、AA=、A=A、A=A、A(B+C)=AB+AC、(A+B)(A+C)=A+BC；4。（A+B）=AB、(AB)=A+B；,预备知识,排列：各元素可区分且有序 Pnm=n(n-1)(n-m+1)=n!/(n-m)!(n0,m=0,m=n)Excel 函数（排

11、列PERMUT、阶乘FACT）组合：各元素可区分但无序 Cnm=n(n-1)(n-m+1)/m!=n!/(n-m)!m!)Excel 函数（COMBIN）加法原理:分类乘法原理：分步,A,B,c,A,B,c,古典概型,古典概型的定义：1、可能结果有限、2、等可能古典概型的例掷两个骰子，和出现8的概率。6瓶饮料中2瓶不合格，任取2瓶均为不合格的概率是多少？用Excel 模拟抛硬币（RAND（）、FREQUENCY（）,几何概型,几何概型的定义如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例。例：表停了，要从收音机中对表，等待时间不大于10分钟的概率。你们家订了一份报纸，送报人6

12、：30 7：30把报纸送到，你7：008：00间上班，求你上班前拿到报纸的概率。,条件概率与全概公式,条件概率:A、B为任意事件且P(B)0，已知事件B发生的条件下,事件A的概率,记作P(A|B)。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)全概公式：A1,A2,An,是试验E的完备事件组，则 P(B)=(P(B|Ai)P(Ai)贝叶斯公式：B1,B2,Bn是完备事件组，P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/P(Bi)P(A|Bi),事件的独立性与贝努利概型,事件A、B相互独立：P(A|B)=P(A)。贝努利试验：只有两各对立结果的试验称为贝努利试验。贝努利概型：n个相互独立的贝努利试验称为

13、n重贝努利概型。,几种典型分布,两点分布：P(X=1)=p,P(X=0)=q;二项分布 P(X=k)=Cnkpkqn-kExcel 函数（BINOMDIST）超几何分布 P(X=m)=CN1mC N-N1 n-m/CNnExcel 函数（HYPGEOMDIST）泊松分布P(X=n)=ne-/n!Excel 函数（POISSON）,几种典型分布间的关系,二项分布与两点分布:两点分布是二项分布的特例。超几何分布与二项分布:在m/N很小的时候,超几何分布近似于二项分布。二项分布与泊松分布：n足够大时，二项分布近似于泊松分布。,游戏公平吗？,10张彩票中有一张有奖，甲乙两人先后摸奖，对甲乙两人是否公平

14、？,生日相同的概率,人数 10 20 23 30 40 50 概率 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97,摸到红球的概率,箱子里有10个球，3个红球，7个白球，任意摸1个，摸到红球的概率是多少？一次摸出3个球，摸到2个红球的概率是多少？,蒲丰投针问题,图1图2,计数应用,从30名男生、20名女生中选出3男2女分别担任班长、副班长、学习委员、文体委员和劳动委员，有多少种不同的方法？如果不设文体委员而设两个劳动委员呢？2357有几个因子，223357有几个因子？,投针问题,统计量的性质,E(c)=c,E(aX)=aE(X),E(X+b)=E(x)+b,E(aX+b)=aE(X

15、)+b,E(X+Y)=E(X)+E(Y),X,Y相互独立,则E(XY)=E(x)E(Y)D(c)=0,D(cX)=c2D(X),若X,Y独立,则D(XY)=D(X)+D(Y),样本统计量,样本平均值样本方差K阶原点矩K阶中心矩,抽样分布,定理:设总体X服从N(,2)的正态分布,X1,X2,Xn是X的一个样本,则Y=1/nXi 服从 N(,2/n).定理:设X是任意总体,E(X)=,D(X)=2,X1,X2,Xn是总体的样本,则当n足够大时Y=1/nXi 近似服从 N(,2/n).设总体X服从N(0,1)的正态分布,X1,X2,Xn是X的一个样本,则Y=Xi 2服从自由度为n的2 分布.,抽样分

16、布,4.设总体X服从N(,2)的正态分布,X1,X2,Xn是X的一个样本,令Y=xi/n,则 W=1/2(Xi-Y)2服从自由度为n-1的2 分布.5.X N(0,1),Y 2(n),则t=X/(Y/n)1/2 服从自由度为n的t分布.6.设总体X服从N(,2)的正态分布,X1,X2,Xn是X的一个样本,令Y=1/nXi,t=(Y-)/(S/n1/2),则tt(n-1).,大数定理,设X的数学期望和方差都存在,则对任意0,P|X-E(X)|D(X)/2.设an是事件A在n重贝努里试验中出现的次数,p是事件A在每次试验中出现的概率,则对任意0,当n时P(|an/n-p|0,当n时P(|Y-a|)

17、1.,中心极限定理,依概率收敛:设X1,X2,Xn,是一列随机变量,对任意0,当n时P(|Xn-X|)1.则称Xn依概率收敛于随机变量X.定理：X1,X2,Xn是独立同分布随机变量,E(Xi)=,D(Xi)=2,令Yn=1/nXi,Zn=(Y-E(Y)/D1/2(Y),则Zn依概率收敛于N(0,1).定理:XB(n,p),则对0k1k2n,Pk1Xk2(k2-np)/(npq)1/2-(k1-np)/(npq)1/2.,已知方差的估计,假设XN(,2),X1,X2,Xn是来自X的样本,令Y=(X1+X2+Xn)/n,当2为已知时YN(,2/n),U=(Y-)/(/n1/2)N(0,1).P|U

18、|u/2=1-U0.05=1.64U0.025=1.96,未知方差的估计,假设XN(,2),X1,X2,Xn是来自X的样本,令Y=(X1+X2+Xn)/n,当2为未知时t=(Y-)/(S/n1/2)t(n-1).P|t(n)|t=t(9)0.05=2.262t(9)0.01=3.250,几个常用分布,正态分布f(x)=e-(x-)2/(22)/(2)1/22),问题背景,市教育局准备对全市的中小学学生的视力进行普查，以了解学生的视力现状，获取影响学生视力的各方面因素的资料。任务：设计一个调查表。,共享各组的调查表,城乡差别电视与电脑遗传因素看书的时间看书的姿势，与书本的距离照明民族因素,发现的

19、问题,教师在仓促的情况下尚且不能设计出合适的调查表，如果对初中生不加指导直接让他们自己去设计调查表，结果肯定不理想。所以设计调查表首先应明确调查目的，然后才能设计调查问题。,讨论题一,1。马老师考虑到学生已经是初三了，虽然以前没有设计过调查问卷，但还是放手让学生自己设计调查问卷，并让他们用自己设计 的问卷对全校学生进行问卷调查，并自己进行统计分析。2。王老师考虑到学生从来没有设计过调查问卷，因此自己设计了一个问卷，让学生用它对全校学生进行问卷调查，并指导他们对调查结果进行分析。3。请对这两位老师的做法与可能的效果进行评论和估计。4。如果由你来主持这个项目，你会怎么做？,抽样问题,抽样的目的是用

20、对样本的研究来代替对总体的研究，最重要的是样本必须具有代表性。随机简单抽样系统抽样分层抽样,例,把前面的普查改成1%的抽样调查，全市中小学学生人数分布情况如下表（单位：人）设计一个抽样放方案。,如何得到诚实的反应,在调查一些相对敏感的问题时，如何得到诚实的回答？,线性回归方程,变量间的相关性（正相关与负相关）散点图与回归直线回归直线方程的求法。利用Excel 求回归直线与方程,相关系数,r-1,-0.75,r 0.75,1,强相关r-0.75,-0.3),r 0.3,0.75),一般相关r-0.25,0.25 弱相关Excel函数 CORREL(),独立性检验,设事件“某人吸烟”记为A，事件“某人患病”记为B，H0：患病与吸烟无关。即P（AB）=P（A）P（B),P(A)=(a+b)/n,P(B)=(a+c)/n,P(AB)=(a+b)(a+c)/n2,回归直线方程的求法,最小二乘法Y=bx+aQ=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2,随机试验与随机事件,随机试验：1、试验可在相同的情形下重复 2、试验所有的可能结果是明确的，且不止一个 3、每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前不能肯定出现哪一个结果。,随机试验与随机事件,基本事件：随机试验的每一个可能结果。复杂事件：几个基本事件组成的事件。随机事件：基本事件和复杂事件的统称。,