一元二次方程概念.ppt

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1、2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,1,一元二次方程,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,2,教学目标：,1、了解一元二次方程的概念。2、会把一元二次方程化成一般形式。3、会找一元二次方程二次项系数，一次项系数，和常数项4、会列一元二次方程。,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,3,方程,整式方程,分式方程,一元一次方程 2x+7=4,二元一次方程 3x-4y=6,？,一、复习引入,一元二次方程,x2+3x+2=0,什么是一元二次方程？,例1：,要将一块长100cm宽 50cm的长方形铁块的四个角分别剪去一相同大小的正方形，从而制成一面积为3600 的铁皮盖盒，小王不知道怎么裁剪，

2、你能不能用数学方程的思想帮小王合理策划呢？,A,裁剪前,裁剪后,B,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,5,怎样解这道实际应用题呢？,解：我们设剪去的正方形的边长为xcm，那 么制成的盖盒B的边长分别为（100-2x)cm、（50-2x)cm，面积为3600,得到：（100-2x)(50-2x)=3600 化简为：,对于这样的一元二次方程我们如何去求得其解呢？,想一想,？,解法,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,6,8-2x,5-2x,有一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长8米，宽长5米，如果地毯中央长方形图案的面积为18平方米，那么花边有多宽？,用什么模型解决该问题？,数学化,

3、x,例2：,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,7,8cm,x,解:设花边的宽为Xm，根据题意，可列方程（8-2x）（5-2x）=18,8-2x,5-2x,有一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长8米，宽长5米，如果地毯中央长方形图案的面积为18平方米，那么花边有多宽？,例2,40-16x-10 x+4x2=18,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,8,观察等式 10+11+12=13+14五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你还能找到其他的五个连续整数，怎么找？,设：五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数可 表示为x+1，x+2，x+3，x+4根据题意，可得,

4、例3：数字问题,x+（x+1）+（x+2）=（x+3）+（x+4）,要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?,根据题意得:x(x-1)=228,x-x=56,问题情景,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,10,方法一：两次勾股定理。,引例4、一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8m,如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少m?,?m,8m,10m,7m,6m,10m,1m,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,11,X+6,方法二：设梯子底端滑动x米，由

5、勾股定理得：（x+6）+7=10,例3、一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8m,如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少m?,xm,8m,10m,7m,6m,10m,1m,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,12,一元二次方程的概念,上面三个问题得到的三个方程可化简为：,(8-2x)(-x)=18,2x2 13x 11=0.,x+（x+1)+(x+2)=(x+3)+(x+),x2 8x 200.,（x）,x2 12 x 15 0.,共同特点？,1、化简后都是整式方程2、只含有一个未知数，3、未知数的最高次数是2,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,13

6、,经过变形后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。,什么叫做一元二次方程？,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,14,基础练习1：,你能判断下列等式哪些是一元二次方程，哪些不是吗。,x23x+2=0,2x2-9x=0,x(x+2)=11+2(20 x-5),+x2-3=0,2+3=5,2x2-9x=0,x(x+2)=11+2(20 x-5),x2+3x+2=0,x(x+1)=x(x+7),2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,15,下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）,（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）

7、（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）,A,基础练习2：,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,16,重新定义一元二次方程：把一个整式方程经过变形后，只含有一个未知数x，且可以化为ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a0）形式的整式方程。,2x2 13x 11=0.,x2 8x 200.,x2 12 x 15 0.,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,17,把ax2+bx+c=0（a0）称为一元二次方程一般形式，,一元二次方程定义：,其中ax2是二次项，a是二次项的系数。其中bx是一次项，b是一次项的系数。其中c是常数项。,注意：一般形式的右边必须是0，左边按降幂排列：,当然也可

8、以没有一次项、常数项。,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,18,请完成下表,点拨：1按顺序化成一般形式ax+bx+c=0，2 要认真区别是求方程的各项还是各项的系数。3当系数为负数时，千万不要丢负号。4二次项为负时，也可以把他们都改变符号，使之成为正号。,x-3x+2=0,1,-3X,2,4x+7x=0,4,+7X,0,3y-6=0,3,0,-6,-7x+x-1=0,-7,+X,-1,基础练习3：,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,19,1、课本4页练习 第1题 第2题2、课本4页习题22.1 第1题 第2题,基础练习4：,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,20,解2：x2十

9、12xx224x36 5x2十36x-32=0所以一般形式为5x2十36x-32=0,二次项系数为：5一次项系数为：36常数项为：-32,基础练习4：,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,21,3x25x10,x2 x80,或7x2 0 x40,3,5,1,1,1,8,7,0,4,3,5,1,1,1,8,7,0,4,或7x2 40,7,0,4,7x2 40,知识技能2,基础练习4：,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,22,请写出一个一元二次方程，要求二次项系数为负数，一次项系数是整数，常数项是分数,-x2+8x+=0,巩固提高1：（开放题）,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,2

10、3,3.已知关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0当k_时，它是一元二次方程，此时各项系数分别为_当k_时，它是一元一次方程。,巩固提高：,1,1,(k2-1)，,2(k-1),2k+2,一元二次方程,教学目标,1）理解方程的解的概念；2）会用方程的解求待定系数。,1、什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式是怎样的？,知识回顾,2、什么叫方程的解？,1、使方程中等式左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解(一元方程的解也叫根),a x 2+b x+c=0,(a 0),a x 2 是二次项，a是二次项系数b x 是一次项，b是一次项系数c 是常数项,认识了一元二次方程

11、,接下来我们就要探究一元二次方程的解.方程解的定义:,能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解(一元方程的解也叫根),探究新知,要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?,解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:,即:x(x-1)=56,你能根据方程探索出方程的解吗?,关于x的一元二次方程x(x-1)=56,将x=8代入一元二次方程x(x-1)=56左边=,x=8是方程的解,将x=-7代入一元二次方程x(x-1)=56左边=,x=-7是方程的解,检验：,你能否说出下列方程的解?1)2)3),

12、一元二次方程的根的情况与一元一次方程有什么不同吗?,根,思考,1)下面哪些数是方程 的根?-4-3-2-1 0 1 2 3 4 2)你能写出方程 的根吗?,即:平方后是它本身的数是哪些?,x1=0或x2=1,练习,例题讲解,A.1 B.-1 C.1或-1 D.0,B,例题讲解,例题讲解,例题讲解,x=-1,x=1,拓展提高,A 3x 3.23,C 3.24x 3.25,D 3.25x 3.26,B 3.23x 3.24,C,x=2,拓展提高,x0,0,通过这节课的学习，谈谈你掌握了什么？,课时小结:,3、整体代入思想,1、理解方程的解的概念；,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,40,已知

13、关于x 的方程 当K 时，方程为一元二次方程，当K 时，方程为一元一次方程。,3,=3,巩固提高4：,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,41,根据题意列方程：从前有一天，一个醉汉拿者竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。,巩固提高5：课本49页第3题）,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,42,解:设竹竿有x尺,则门宽(x-4)尺,门高(x-2)尺,X-4,X-2,x,(x-4)+(x-2)=x,解:设门宽x尺,则竹竿有(x+4)尺,门高(x

14、+2)尺,x+(x+2)=(x+4),2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,43,三个连续整数两两相乘，再求和是242，求这三个整数。,设三个连续整数中间的为x，另两个（x-1），（x+1）x（x-1）+x（x+1）+（x+1）（x-1）=242,巩固提高6：课本48页第1题）,x2 2x8 00.,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,44,3方程ax2+bx+c=0的条件：,经过变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次，这样的整式方程叫一元二次方程,ax2+bx+c=0(a0，a，b，c 为常数),（1）当a0时，是一元二次方程。（2）当a=0并且b0 时，是一元一次方程。,小

15、结,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,45,巩固训练,1 指出下列方程中哪些是一元二次方程,（1）,（2）,（3）,（6）,（5）,(4),2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,46,2.方程 化成一般形式后，a,b,c分别（）（A）3，4，2（B）3,2，4（C）3，2，4（D）2，2，0,3.方程 的二次项系数是，常数项为，的值为。,B,解：因为a=，b=-1，c=0 所以b-4ac=0,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,47,4.一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为1，则a 的值为（）（A）1（B）1（C）2（D）2,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林

16、华,48,5试问当m，n是什么实数时，关于x的方程（n+1）（）（）是一元二次方程？（）是一元一次方程？,解：当0,即-时是一元二次方程,当=0,且2m+n-3 0是一元一次方程即:n=-1 且 m 2时是一元一次方程.,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,49,7若关于的方程（m+1）x2+m+2=，是一元二次方程求出m的取值范围。,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,50,8一元二次方程 有两个解为1和1,则有，且有.,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,51,结束寄语,运用方程（方程组）解答相关的实际问题是一种重要的数学思想方程的思想.一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模

17、型.,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,52,作业：,1、课本上剩余的：2、练习册：3、预习估算法解一元二次方程。,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,53,2若方程 是关于X 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）（A）（B）（C）或（D）且,D,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,54,补充训练:,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,55,剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它 的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?,设长方形的为宽Xcm。,列出方程 x（x十5）150,你能叫出这个方程的名字吗？,化简得 x2十5x-150=0,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华

18、,56,知识的升华,根据题意，列出方程：,（）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？,解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x5)m,宽为(x2)m，依题意得方程：,(x5)(x2)54,即,x2 7x44 0,2,5,x,x,X5,X2,54m2,1.2 一元二次方程的解法,进入学习,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,58,课本案例导入,一元二次方程的一般式,学习目标分析,一元二次方程的解法,本节归纳总结,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,59,学习目标：,返回,1、熟悉一元二次方程的一般式。2、理解配方

19、法的概念，及配方法的原理，并 能熟练配得任何一元二次方程的完全平方。3、掌握十字相乘分解法，对于整数范围 内的数相乘的整式能很快分解出来。4、牢记用公式法解方程的公式，并能通过一 般式推断出来。5、通过本节的学习，可以由题目中方程 的形式来找到解题的最优方法。,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,60,返回,一元二次方程的一般式：,一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为：,想一想,1、你能举出几个一元二次方程一般式的例子吗？2、根据一元二次方程的定义及一般式能否推断出一元三次方程的定义及一般式呢？,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,61,例1:判

20、断下列方程是不是一元二次方程,案例导入：,小王要将一块长100cm宽 50cm的长方形铁块的四个角分别剪去一相同大小的正方形，从而制成一面积为3600 的铁皮盖盒，小王不知道怎么裁剪，你能不能用数学方程的思想帮小王合理策划呢？,A,裁剪前,裁剪后,B,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,63,怎样解这道实际应用题呢？,解：我们设剪去的正方形的边长为xcm，那 么制成的盖盒B的边长分别为（100-2x)cm、（50-2x)cm，面积为3600,得到：（100-2x)(50-2x)=3600 化简为：,对于这样的一元二次方程我们如何去求得其解呢？,想一想,？,解法,2023/11/9,锦屏镇中

21、学 陈林华,64,一元二次方程的解法：,解方程,公式法,因式分解法,配方法,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,65,公式法：根据所提供的求根公式，把题中相关的值代入其中求出方程的解。,根据公式：,其中,代入公式求得：,因为,，所以本题解,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,66,因式分解法：把一个整式通过变形化成几个整式或因式的乘积的过程。,因式分解得：,得到：,又因为,所以，本题解得 为原题的解。,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,67,配方法：将方程的左边化成含未知数的完全平方，右边是数值的过程。,配方得到：,解得：,又因为,，所以本题有,2023/11/9,锦屏镇中学 陈

22、林华,68,一、公式法：一元二次方程的根的判别式我们通常用希腊字母（读作“德尔塔”）来表示。因此b-4ac叫做一元二次方程的根的判别式 用符号“”表示是：=b-4ac若是0，则此一元二次方程有两个不相等的实数根；若是=0，则此一元二次方程有两个相等的实数根；若是0，则此一元二次方程没有实数根。,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,69,反过来说,ax+bx+c=0(a0)中，方程有两个不等实数根 0.ax+bx+c=0(a0)中，方程有两个相等实数根 0.ax+bx+c=0(a0)中，方程没有实数根 0.,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,70,例1不解方程，判断下列方程的根的情况：

23、,知识运用,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,71,一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0),上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solving by formular).,用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0).2.b2-4ac0.,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,72,例1.用公式法解方程,（3）2x2-7x=0,（2）x2+2x+2=0,（1）3x2+5x-1=0,（4）4x+1=-4x,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,73,（1）3x2+5x-1=0

24、,解：a=3，b=5，c=-1，b-4ac=5-43（-1）=370,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,74,（2）x2+2x+2=0,b-4ac=2-412=-40,此方程无实数解,解：a=1，b=2，c=2,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,75,（3）2x2-7x=0,解：a=2，b=-7，c=0b-4ac=（-7）-420=490,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,76,（4）4x+1=-4x,解：移项，得4x+4x+1=0a=4，b=4，c=1，b-4ac=4-441=0,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,77,巩固练习,（1）x+3x-4=0,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,78,对解一元二次方程的归纳总结：,1、遇到一个二次方程时，看是否满足一元二次方程的定义，如果满足则按照解一元二次方程的方法解题。2、一个一元二次方程只有二次项和常数项，那么我们直接运用开平方法就能很快解得此题。3、遇到既有二次也有一次项的一元二次方程，首先想到运用因式分解法能不能很简单的化成几个整式或因式的乘积形式，如果过于复杂，则运用配方法解此题。4、在解实际应用题时往往会遇到数值很复杂或很大，不易配方法的情形，我们直接运用公式法解题，能节约解题时间。,2023/11/9,锦屏镇中学 陈林华,79,谢谢观赏！,