一元二次不等式教案.ppt

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1、第二节 一元二次不等式及其解法,一、一元二次不等式的解法,x|xx1或xx2,x|xx1,x|x1xx2,R,当一元二次不等式二次项系数a0时，不等式该怎么解？当首项系数为含有字母参数时，解不等式，应该注意哪些问题？,提示：(1)当一元二次不等式的首项系数a0时，要首先在不等式两边同乘以1，使首项系数为正，然后再结合上表进行求解.(2)当首项系数含有字母参数时，要注意对首项系数是否为0进行讨论，当首项系数为0时，不是一元二次不等式，当首项系数不为0时，才是一元二次不等式.,二、用程序框图来描述一元二次不等式ax2bxc0(a0)的求解的算法过程为：,1.不等式 的解集为(),答案：A,解析：不

2、等式,同解于,又相应方程 的两根为：,故原不等式的解集为,2.不等式组 的解集为()A.x|1x1B.x|0 x3 C.x|0 x1 D.x|1x3,答案：C,解析：,3.若不等式ax2bx20的解集为 则ab 的值为()A.14 B.15 C.16 D.17,解析：由题设知 和是方程ax2bx20的两根，得.ab14.,答案：A,4.设集合Ax|(x1)23x7，xR，则集合AZ中有 个 元素.,解析：由(x1)23x7得1x6，集合Ax|1x6，AZ的元素有0,1,2,3,4,5共6个元素.,答案：6,5.a0时，不等式x22ax3ax20的解集是.,解析：x22ax3a20，x13a，x

3、2a.又a0，不等式的解集为x|3axa.,答案：x|3axa,1.解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即 ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集.,2.对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次 不等式；(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决 定所求不等式的不等号的方向；(4)判断二次不等式两根的大小.,解下列

4、不等式：(1)2x24x30；(2)3x22x80；(3)12x2axa2(aR).,首先将二次项系数转化为正数，再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得方程的两根，可大于号取两边，小于号取中间，若不能，则再看“”，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集，(3)小题中对a要分类讨论.,【解】(1)424230，方程2x24x30没有实根，二次函数y2x24x3的图象开口向上，与x轴没有交点，2x24x30恒成立，所以不等式2x24x30的解集为R.(2)原不等式可化为3x22x80，1000，方程3x22x80的两根为结合二次函数y3x22x8的图象可知原不等式的解集为,(3)由12x2axa

5、20(4xa)(3xa)0解集为a0时，x20，解集为x|xR且x0；a0时，解集为,a0时，,x|x 或x.,x|x 或x.,1.解下列关于x的不等式(1)19x3x26，(2)0 x2x24，(3)ax2(a1)x10(a0).,解：(1)法一：原不等式可化为3x219x60，方程3x219x60的解为x1，x26.函数y3x219x6的图象开口向上且与x轴有两个交点(，0)和(6,0).所以原不等式的解集为x|x6.,法二：原不等式可化为3x219x60(3x1)(x6)0(x)(x6)0.原不等式的解集为x|x6.(2)原不等式等价于结合数轴知，原不等式的解集为x|2x1或2x3.,(

6、3)因a0，则原不等式等价于(x)(x1)0.(*)当a1时，1，所以不等式(*)解集为；当a1时，1，所以(*)x1；当0a1时，1，所以(*)1x.综上所述，当0a1时，解集为x|1x；当a1时，解集为；当a1时，解集为x|x1.,1.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般 地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是 参数.2.对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.,当a为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的解集是全体实数.,若ax2bxc0恒成立，

7、则先考虑a0的情形，然后按照 求解.,【解】当a210，即a1时，原不等式的解集为R的条件是解之得 a1.当a210，即a1时，若a1，则原不等式为10，恒成立.若a1，则原不等式为2x10，即x，不符合题目要求，舍去.综上所述，当 a1时，原不等式的解集为全体实数.,2.已知f(x)x22ax2(aR)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围.,解：法一：f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；,当a1，)时，f(x)minf(

8、a)2a2，由2a2a，解得1a1.综上所述，所求a的取值范围为3a1.法二：令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或,1.实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的 考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次 不等式应用题常以二次函数为模型.解题时要理清题意，准 确找出其中不等关系再利用不等式解法求解.,2.不等式应用题一般可按如下四步进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等 关系.(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系.(3)解不等式.(4)回归实际问题.,某种商品，现在定价p元，每月卖出n件，设定价

9、上涨x成，每月卖出数量减少y成，每月售货总金额变成现在的z倍.(1)用x和y表示z；(2)设x与y满足ykx(0k1)，利用k表示当每月售货总金额最大时x的值；(3)若y，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围.,用所给出的已知量表示出定价、卖出数量、售货总金额，列出关系式.,【解】(1)按现在的定价上涨x成时，上涨后的定价为 p(1)元，每月卖出数量为n(1)件，每月售货总金额是npz元，,因而npz=p,所以z=,(2)在ykx的条件下，z，整理可得由于0k1，所以所以使z值最大的x值是x=,z 100 kx 2，,(3)当y x时，z要使每月售货总金额有所增加，即z1，应有(10 x)(

10、10 x)100，即x(x5)0，所以0 x5，所以所求x的范围是(0,5).,3.某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出 厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场 需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投 入成本增加的比例为x(0 x1)，则出厂价相应地提高比例 为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利 润(出厂价投入成本)年销售量.,(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？,解：(1)由题意得y1.2(10.75x)1(1x

11、)1000(10.6x)(0 x1)，整理得y60 x220 x200(0 x1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须投入成本增加的比例应在(0，)范围内.,有,即,从近几年的高考试题看，高考中常常以小题的形式考查简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等式的分式不等式的解法，或已知二次函数零点的分布以小题形式考查相应一元二次方程中未知参数的取值范围，或以解答题形式出现单独考查含参数的一元二次不等式的解法，也可能与函数相结合考查参数的取值范围等.2009年山东卷第5题以“自定义”形式考查了一元二次不等式的解法.,(2009山东高考)在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围为()A.(0,2)B.(2,1)C.(，2)(1，)D.(1,2),解析x(x2)x(x2)2xx20，x2x20.2x1.,答案B,对于这类问题，应紧抓“定义”，转化为一般关系式，从而进行求解.若运算法则不变，试求满足x(xm)0的实数x的取值范围.,