《线性代数》第三章向量空间.ppt

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1,五.内积、正交化、正交矩阵.,1.向量的内积、长度、夹角。2.Schmidt正交化、单位化法。3.正交矩阵。,1.向量的内积、长度、夹角,定义1：n维实向量,称,为向量 与 的内积。,若 为行向量，则,2,向量内积的性质：,线性性,对称性,等号成立当且仅当,正定性,3,把向量单位化：,考虑,向量长度的性质：,（2）齐次性：,（3）柯西施瓦兹不等式：,（4）三角不等式：,4,非零向量 和 的夹角余弦:,注：（1）零向量与任何向量都正交。（2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。,5,2.Schmidt正交化、单位化法。,定义5：,正交单位向量组：（标准正交向量组）,即,定理：正交向量组是线性无关的。,schmidt正交化、单位化法：,例：书p100,6,3.正交矩阵,定义6：,A是一个n阶实矩阵，若,则称A为正交矩阵。,定理：设A、B都是n阶正交矩阵，则,或,也是正交矩阵。,也是正交矩阵。,7,证明：设,将A按列分块，设,A是正交矩阵,8,即,即A的列向量组是单位正交向量组。,注：n个n维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行）向量构成的矩阵一定是正交矩阵。,练习：书p105 3.21,