《空间向量的运算》课件北师大版.ppt
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1、空间向量及其运算,一、复习1、平面向量的概念2、平面向量的加减和数乘运算,1空间向量的概念在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量,注意:空间的平移就是一个向量。平移实际就是点 到点的一次变换,因此我们说空间任意两个向 量是共面的,向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段 表示同一或相等的向量。,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示,2空间向量的运算结论:空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面 向量的运算一样,(指向被减向量),=a+b,,a,运算律:加法交换律:加法结合律:数乘分配律:,空间向量加法的运算律要注意以下几点:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾
2、向量的终点的向量即:首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量即:两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立,例已知平行六面体(如图),化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量,3.共线向量(平行向量)(1)概念:如果表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合,则这些向量叫做共线向 量或平行向量 a平行于b,记作ab,(2)共线向量定理:,对空间任意两个向量a、b(b0),ab的充要条件是存在实数,使a=b。,推论:如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式 a 其中向量a叫做直线l的方向向量。,(1)概念:
3、已知平面与 向量,作,如果直线OA平行于平面或在内,那么我们说向量 平行于平面,记作。通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量说明:空间任意两个向量总是共面的;空间任意三个向量不一定共面;空间四边形ABCD中、不共面。,4共面向量,(2)共面向量定理如果两个向量、不共线,则向量 与向量、共面的充要条件是,存在实数对x、y,使=x+y,推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y,使=x+y或对空间任一点O,有=+x+y 平面MAB内,点P对应的实数对(x,y)是唯一的,式叫做平面MAB的向量表达式。,例2、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,试问满足向量关系式=x+y+Z(其中x+y+z=1)的四点P、A、B、C是否共面,例3、已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量=k,=k,=k,=k,求证:四点E、F、G、H共面;,平面EG平面AC。,小结:1、空间向量的概念 2、空间向量的运算 3、共线向量(平行向量)的概念及空 间向量共线的充要条件 4、共面向量的概念及向量共面的充要 条件,作业,.2.如图设A是BCD所在平面外的一点,G是BCD的重心。求证:,1.如图是正方体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,求证:这四个点共面。,P,S,R,Q,
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