《理论力学》第五章点的运动.ppt

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1、第二篇 运 动 学,点的运动刚体的基本运动点的合成运动刚体的平面运动,运动学仅从几何方面来研究物体机械运动的规律（轨迹、速度、加速度），即研究物体在空间的位置随时间的变化规律，而不涉及力和质量等与运动变化有关的物理因素。,运动学研究内容：,点的运动、,刚体的运动,物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必须指明参考体和参考系。,运动学的内容,点的运动,刚体的运动,点的直线运动,点的曲线运动,点的合成运动,刚体的平行移动,刚体的定轴转动,刚体的平面运动,刚体的定点运动,刚体的一般运动,点的运动,刚体的运动,点的运动,第五章,轨迹或路径：点在空间所占据的位置随时间连续变化而形成的曲线,轨迹,曲线,

2、直线,点的运动轨迹,点的运动方程,点的运动速度,点的运动加速度,点的位移,5-1 点的运动的矢量法,点的运动方程,r动点 对于点O的 矢径或位置矢,矢径r的矢端线是点的运动轨迹,动点的速度等于它的矢径对于时间的一阶导数,动点的加速度等于它的速度对于时间的一阶导数，也等于它的矢径对于时间的二阶导数。,单位,5-2 点的运动的直角坐标表示法,点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。,点的运动方程,点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。,点的运动的直角坐标表示法,轨迹方程,y,x,z,F1=(x、y),F2=(y、z),例 一人在路灯下由灯柱起

3、以匀速 u 沿直线背离灯柱行走，设人高AB=l，灯高OL=h，试求头顶影子M 的速度和加速度。,解：1.建立Ox坐标轴,2.M点的运动方程,3.M点的速度,4.M点的加速度,u,例 半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在任意t时刻，半径MC与轨道的垂线HC组成交角=t，其中是常量。试求M点的运动方程、速度和加速度。,解：为了求M点的轨迹、速度、加速度须要建立M点的运动方程，以M点与轨道第一次接触的瞬时作为计算时间的起点（即在该时刻时间t=0）并以该瞬时轨道上与M接触的点为坐标原点O，x轴为水平向右，y轴为铅直向上，取M点在任一瞬时t的位置来考

4、察，可见M点的坐标为,x=OB-AB=OB-MD=OB-r sin,y=MA=CB-CD=r-r cos,x=OB-AB=OB-MD=rt-r sin,M点的轨迹曲线，旋轮线或摆线,3.M点的速度,任意数瞬时速度v的大小和方向,4.M点的加速度,方向,例1：图示机构中A、B两滑块可分别沿互相垂直的两直槽滑动。已知BA=a，AMb，t+(,为常量)，求点M的运动轨迹、速度和加速度。,解：,运动方程：,轨迹方程：,速度：,加速度：,例2：半径为R的圆轮在水平面上只滚不滑，已知轮心速度为一常量，试求轮缘上一点M的轨迹、速度和加速度。,解：,以M与地面重合的点O为坐标原点，建立xOy系，设M在O处为初

5、时刻。,M点运动方程：,M点速度：,M0,例2：半径为R的圆轮在水平面上只滚不滑，已知轮心速度为一常量，试求轮缘上一点M的轨迹、速度和加速度。,解：,M点加速度：,即a沿MA，指向A,5-3 点的运动的自然表示法,设已知动点运动的轨迹曲线，在曲线上任选一点O为原点，从点O到动点的位置M量取弧长s，并规定从点O向某一边量取的s为正值，向另一边量取的为负值，则动点的位置可以由s完全确定。这种描述运动的方法称为自然法,自然法表示的运动方程,一、运动方程与速度,由矢量法知，在瞬时t，速度v的方向沿轨迹的切线并指向前进的方向,大小：,（速度的代数值等于弧坐标对时间的一阶导数）,自然法表示的点的速度,二、

6、自然轴系,曲线在M点的曲率,曲线在M处的曲率半径,MT是切线e,在密切面内的法线MN称为主法线en,垂直于密切面的法线MB称为副法线eb,以曲线在点M处的切线、主法线和副法线为轴的一组正交轴系称为自然轴系,副法线：,法向平面,密切面,三、加速度,的方向也就是 的极限方向,：沿en的正方向,三、加速度,沿轨迹在点M处的切线方向，称为切向加速度,沿主法线方向并指向曲率中心，称为法向加速度,反映了速度大小的变化,反映了速度方向的变化,动点的加速度等于切向加速度与法向加速度的矢量和,三、加速度,加速度在自然轴上的投影为:,加速度在自然轴上的投影为:,速度的代数值,速度,自然法,点的运动方程,矢量法,直

7、角坐标法,自然法,点的轨迹,点的运动各种研究方法运动量间的关系,例3：已知用直角坐标表示的点的运动方程xx（t），yy（t），zz（t），试求在任一瞬时该点的切向加速度和法向加速度的大小及轨迹曲线的曲率半径。,解：用直角坐标法求任一瞬时的速度和加速度：,例4：半径为r的轮子可绕水平轴O转动，轮缘上绕以不能伸缩的绳索，绳的下端挂一物体A。设物体按 x=ct2/2 规律下落，其中c为常量。求轮缘上一点M的速度和加速度。,A,O,M,解：M点轨迹是半径为r的圆。采用自然法求解。设物体在A0时，M点在M0，以M0为弧坐标原点。,方向如图,方向如图,例 销钉B可沿半径等于R的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽

8、中滑动，OA=R=0.1 m。已知摆杆的转角（时间以s计，以rad计），试求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s时的加速度。,由几何关系知,则B点自然形式的运动方程。,显然销钉B的轨迹是圆弧DE。选滑道上O点作为弧坐标的原点，并以OD为正向。则B点在任一瞬时的弧坐标,解：,B点的速度,B点的切向加速度,法向加速度,5-4 点的运动的极坐标法,用极坐标表示的点的运动方程,速度：,vr径向速度,v横向速度(与vr垂直的速度),速度：,加速度：,ar径向加速度,a横向加速度,例5:动点M以匀速率v运动，而v与M至固定点O的连线MO之间的夹角保持不变，试求以极坐标表示的动点的运动方程和轨迹方程。设t0时，rr0，0。,解：取Ox为极轴，设动点M的极坐标为（r，）,(2)改写成：,动点M的轨迹方程:,式(3)和(4)就是动点M的运动方程,是一条对数螺旋线,