《概率论与数理统计》第六章.ppt

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1、数理统计简介,数理统计,第七章 样本分布,7.1 总体与样本7.2 样本分布函数7.3 样本分布的数字特征7.4 几个常用统计量的分布,7.1 总体与样本,定义7.1.总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的每个基本单位称为个体。,从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。,总体可以包含有限个个体,也可以包含无限个个体.在一个有限总体所包含的个体相当多的情况下,可以把它作为无限总体来处理.例如,一麻袋稻谷,一个国家的人口.,每一总体中的个体,具有共同的可观察的特征,把它作为不同总体的区别.例如,灯泡厂一天生产5万个25万瓦白炽灯泡,按规定,使用寿命不足0.1万

2、小时的为次品.在考察这批灯泡的质量时,“该天生产的5万个25瓦白炽灯泡的全体”组成一个总体,每一个灯泡是总体中的一个个体,其共同的可观察的特征为灯泡的使用寿命.数轴上的“一条线段所有点的全体”组成一个总体,其中的每一个点是总体的一个个体,其共同的可观察的特征为点在数轴上的位置.,对于一个总体来说,其每一数量特征就是一个随机变量.由于人们主要是研究总体的某些数量特征,所以把总体看作所研究对象的若干数量特征的全体,而直接用一个随机变量(也可以是一个多元随机变量)的代表.,定义7.2 总体中抽出若干个体而成的集体,称样本.样本中所含个体的个数，称为样本容量。,样本：来自总体的部分个体X1，Xn 如果

3、满足：,（1）同分布性：Xi，i=1,n与总体同分布.（2）独立性：X1，Xn 相互独立；则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本。而称X1，Xn 的一次实现为样本观察值，记为x1，xn,在进行抽样时,样本的选取必须是随机的,即总体中每个个体都有同等机会被选入样本.抽样通常有两种方式：一种是不重复抽样,即每次抽取一个不放回去,再抽取第二个,连续抽取n次；另一种是重复抽样,指每次抽取一个,进行观察后再放回去,再抽取第二个,连续抽取n次,构成一个容量为n的样本.,简单随机样本：进行重复抽样所得的随机样本称为简单随机样本.,如上所述,所谓总体就是一个随机变量,所谓样本就是n个相互独立且与总体有相同分

4、布的随机变量X1,Xn(n是样本容量).通常把它们看成一个n元随机变量(X1,Xn),而每一次具体抽样所得的数据,就是n元随机变量的一个观察值(样本值),记为(x1,xn).一个容量为n的样本有双重意义：有时指一次抽样的具体数值(x1,xn),有时泛指一次抽出的可能结果,这就是指一个n元随机变量.用大写字母(X1,Xn)表示.,3.总体、样本、样本观察值的关系,总体,样本,样本观察值,？,理论分布,统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体,二、统计量,定义7

5、.3：称样本X1，Xn 的函数f(X1，Xn)是总体X的一个统计量,如果f(X1，Xn)不含 未知 参数,几个常用的统计量：,3.样本k阶矩,7.2 样本分布函数,(一)分组数据的统计表和频数直方图,简单表：依出现先后顺序或按其大小顺序列成的表格,分组数据统计表：把数据分成若干组，同一组中的 数据看成是相同的，都以组中值代表,分法：一般采取等区间分组，区间长度称为组距。,找出最大的和最小的数据,把区间a,b分成若干等份,一般n个数据分成,组较合适,列出分组数据统计表，组限xi,xi+1),以组距为底，以组频数为高，画出频数直方图,例1 观察新生女婴儿的体重(它是一个连续型随机变量),取170名

6、按出生顺序测得体重如表7-1.采取等区间分组,将表7-1中170个数据分为13组得到如表7-2所示的频数分布表(每组不包括上限).,表7-1 简单统计表,表7-2,频数分布表（分组数据统计表）,例2 将例1中前20个新生女婴儿体重按大小顺序列成一个简单统计表,如表7-3所示.若进一步把20个数据分为5组(每组不包括上限),得分组数据的频数分布表,见表7-4.根据表7-4画成频数直方图,见图7-1.,表7-3,表7-4,表7-3,表7-4,频数m,体重x,频数直方图,以组距为底，以组频数为高，画出频数直方图,(二)频率直方图和累积频率直方图,设组频数m,总频数N,组频率f,第i组的组频率,在频率

7、直方图中，第i个长方形的高度取为相应的频率 的k倍，k是组距的倒数。,频率直方图能大致的描述出的概率分布情况，而每个长方形面积正好近似的代表了体重的取值落入相应一组的概率。根据频率直方图，可以大致划出概率密度函数曲线。,因此，频率直方图可以作为概率密度曲线的一种近似。但是，他只适用于连续型随机变量。,累积频率曲线所代表的函数,无论对于离散型和连续型随机变量都可以用，因此累积频率直方图是总体分布函数的良好近似。,体重x,频率,频率直方图,以组距为底，以组频率为高，画出频率直方图,以组距为底，以累积频率为高，画出累积频率直方图,体重x,累积频率,1,累积频率直方图,(三)样本分布函数,总体就是一个

8、随机变量.把的分布看作某统计总体的分布,则的分布函数F(x)即为一总体分布函数.,设 是总体的一个样本观察值,将它们按大小排列为：,的图形就是累积频率曲线,Fn(x)的图形就是累积频率曲线.它是一条跳跃式上升的阶梯曲线。若观测值不重复,则每一跃度为1/n若有重复情形,则按1/n的倍数跳跃上升.对于任何实数x,Fn(x)等于样本的n个观察值中不超过x的个数除以样本容量n.,由频率与概率的关系知道,Fn(x)可以作为未知分布函数F(x)的一个近似.n越大近似的越好.称Fn(x)为样本分布函数(或经验分布函数).,例如，随机地观察总体，得10个数据如下：3.2，2.5，-4，2.5，0，3，2，2.

9、5，4，2将它们由小到大排列为-402=22.5=2.5=2.533.24,其样本分布函数是：,频率,来自总体X的随机样本X1，Xn可记为,显然，样本联合分布函数或密度函数为,或,7.3样本分布的数字特征,样本的数字特征,是显示一个样本分布某些特征的数字.人们经常用它们来估计总体的数字特征.,(一)样本平均数定义7.4 对于样本(X1,Xn),称,为样本平均数.,比如,7.2例1中170个新生女婴儿的平均体重是,若样本观察值整理成分组数据(设分成k组,1kn),属于同一组的数据以组中值 为代表,则 可按下式计算:,对于某具体样本值(x1,xn),样本平均数是,其中mi 为第i组的组频数(i=1

10、,2,k),7.2 例2当中的20个新生婴儿的平均体重是,(二)样本方差,定义7.5 对于样本(X1Xn),称,(二)样本方差,由(7.3)式,有,以及,分别为样本方差和样本标准差.,7.4几个常用统计量的分布,后面的几章,所涉及的多为正态分布,因此,这一节里将介绍有关正态分布随机变量函数的一系列分布.其中有些定理(如定理7.3-定理7.5)的证明用到较多的线性代数知识,书中没有进行证明.对于定理7.1和定理7.2也只是强调它们的结论本身.,定理7.1,独立的服从正态分布的随机变量的非零线性组合仍服从正态分布,定理7.1的推论：,定理7.2,定理7.3,定理7.3的推论,定理7.4 设两个随机

11、变量与相互独立，并且,t 分布的密度函数由（4.17）式给出。,定理7.4的推论1,定理7.4的推论2,定理7.5,其中，为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布,其概率密度由（4.18）给出。,则有：,定理7.5的推论,一、2分布,统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：2分布、t 分布和F分布。,2.2分布的密度函数f(y)曲线,3.分位点 设X 2(n)，若对于：01，存在,满足,则称,为,分布的上分位点。,1-,4.性质：a.2分布可加性 若X 2(n1)，Y 2(n2)，X，Y独立，则 X+Y 2(n1+n2)b.期望与方差 若X 2(n)，则E(X)=n，D(X

12、)=2n,1.构造 若N(0,1),2(n),与独立，则,t(n)称为自由度为n的t分布。,二、t分布,t(n)的概率密度为(p99)（4.17）式,2.基本性质:(1)f(x)关于x=0(纵轴)对称。(2)f(x)的极限为N(0，1)的密度函数，即,3.分位点设Tt(n)，若对:00，满足PTt(n)=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点,注:,三、F分布,1.构造 若1 2(n1)，22(n2)，1，2独立，则,称为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布,其概率密度为,2.F分布的分位点对于：00，满足PFF(n1,n2)=，则称F(n1,n2)为F(n1,n2)的上侧分位点；,证明:设FF(n1,n2),则,注：,得证!,正态总体的抽样分布定理,证明:,是n 个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布,结论(3)的证明:,且U与V独立,根据t分布的构造,得证!,例1：设总体XN(10,32),X1，Xn是它的一个样本,(1)写出Z所服从的分布;(2)求P(Z11).,例2：设X1，X10是取自N（0，0.32)的样本,求,例3：设X1，Xn是取自N（,2)的样本,求样本方差S2的期望与方差。,