《数学竞赛》第五章几何.ppt
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1、2023/11/9,1,第五章 几 何,5.2 几个重要定理,2023/11/9,2,5.2 几个重要定理,2023/11/9,3,5.2 几个重要定理,2023/11/9,4,5.2 几个重要定理,例1:证明:在三角形中,(1)三条中线交于一点(重心);(2)三条角平分线交于一点(内心);(3)三条边的中垂线交于一点(外心);(4)三条高交于一点(垂心),2023/11/9,5,5.2 几个重要定理,例2:在ABC中,设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z,证明:AX、BY、CZ交于一点(葛尔刚(Gergonne)点).,2023/11/9,6,5.2 几个重要定理,例3
2、:如图,过ABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q,R,求证:P、Q、R三点共线(莱莫恩(Lemoine)线).,见课本P191.例1,2023/11/9,7,5.2 几个重要定理,例2:在ABC中,设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z,证明:AX、BY、CZ交于一点(葛尔刚(Gergonne)点).例3:如图,过ABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q,R,求证:P、Q、R三点共线(莱莫恩(Lemoine)线).,笛沙格(Desargues)定理,2023/11/9,8,例4:设
3、AD是ABC的高,P为AD上一点,BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F(图)。证明:AD平分EDF,5.2 几个重要定理,见课本P195.例5,N,M,证法1:利用Ceva定理,2023/11/9,9,例4:设AD是ABC的高,P为AD上一点,BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F(图)。证明:AD平分EDF,5.2 几个重要定理,见课本P195.例5,证法2:,Q,完全四边形的调和性,10,5.2 几个重要定理,2023/11/9,11,例5:等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中,最长的等于其余两线的和.即:证明 AP=BP+PC,5.2 几个重要定理,D,证法1:延长BP至
4、D使PD=PC,连CD.然后证明AP=BD.,证明 ACPBCD.,2023/11/9,12,例5:等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中,最长的等于其余两线的和.即:证明 AP=BP+PC,5.2 几个重要定理,C,证明 ABCCBP.,证法2:在AP上取一点C,使PC=BP,连BC.然后证明 AC=PC.,2023/11/9,13,例5:等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中,最长的等于其余两线的和.即:证明 AP=BP+PC,5.2 几个重要定理,证法3(托勒密定理):BCAP=ACBP+ABPC,所以 AP=BP+PC,2023/11/9,14,5.2 几个重要定理,2023/
5、11/9,15,5.2 几个重要定理,五、西姆松(Simson)定理三角形外接圆周上任意一点在三边(所在直线)上的射影共线.,1,2,证法一:只需证 1+2=180,证法二:应用Menelaus定理,2023/11/9,16,2023/11/9,17,Menelaus定理,2023/11/9,18,改述为:如图,ABC中,E、F分别是AC、AB上的点,且EFBCBE与CF交于点O,AO交BC于D,求证:BD=DC.,2023/11/9,19,改述为:如图,ABC中,E、F分别是AC、AB上的点,且EFBCBE与CF交于点O,AO交BC于D,求证:BD=DC.,P,(BC,D P)=-1,BD=
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