《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力.ppt

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1、第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图 第二节 梁的内力计算 第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,第十一章 弯曲内力,梁的弯曲变形是工程实际中非常重要的一种构件变形形式，本章主要介绍梁在弯曲变形时的内力计算，包括剪力和弯矩的计算。学习时要重点掌握采用截面法确定剪力和弯矩的计算，能够做出正确的剪力图和弯矩图，熟悉作剪力图和弯矩图的具体方法。同时要掌握载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系。,教学目的和要求,截面法求剪力和弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图和弯矩图；载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。,教学重点,剪力和弯矩的方向判定；剪力方程和弯矩方程的列法；三种作剪力图和弯矩图的方法；载荷集度、剪力和弯矩

2、之间的关系。,教学难点,第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图,一、平面弯曲的概念,工程实例,弯曲变形杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时,其轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。,梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。,常见梁的截面形状,平面弯曲当所有的外力都作用在梁的纵向对称面内时，梁变形后轴线所在的平面与外力所在的平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。,二、梁的计算简图,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。,1.杆件的简化 通常取梁的轴线来代替梁。轴线是杆件横截面形心的连线。折杆或曲杆可用中心线代替。,2.载荷的分类 作用于梁上的载荷（包括支

3、座反力）有三种类型：集中载荷、均布载荷和集中力偶。,3.支座的分类,一、剪力和弯矩,已知如图所示，F、a、l。求距A端x处截面上内力。,l,A,A,B,B,（1）求外力,第二节 梁的内力计算,（2）求内力，应用截面法,A,Q,M,M,Q,弯曲构件内力,弯矩M 构件受弯时，横截面上位于轴线所在平面内的内力偶。矩心为横截面形心。,C,C,剪力Q 构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。,内力的正负规定:,（1）剪力Q。绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。,（2）弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。,Q(+),Q(),Q(),Q(+),M(+),M(+),M(),M()

4、,上弯为正,左上右下为正,例11-1 如图所示简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的作用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。,解（1）计算支座反力。,由,得,由,得,由,校核,可据此判断支座反力计算正确。,（2）计算剪力。如图所示，设1-1截面上的剪力为Q1（按规定其图示为正向），可得,同理可得,(3)计算弯矩。如图所示，设1-1截面上的弯矩为M1（按规定其图示为正向），可得,同理可得,由以上例题可以得出结论：（1）计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号，与坐标系相一致。（2）计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以计算简便为原则。（3）集中力作用处，左、右两侧的

5、剪力不同，弯矩相同。（4）集中力偶作用处，左、右两侧面上的剪力相同，但弯矩不同。,内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为,2.剪力图和弯矩图,弯矩方程。,二、剪力图和弯矩图,1.剪力方程和弯矩方程,一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化,剪力、弯矩方程法,例11-2 已知如图悬臂梁受均布荷载q的作用，梁的长度为l。求作此梁的剪力图和弯矩图。,解（1）求支座反力。,(2)写出内力方程。,(3)根据方程画内力图。,FA,Q,例11-3 已知图示简支梁，受力P、2P的作用,AC=CD=DB=a。作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。,解（1）求支座约束反力。,得,FA=4P/3，

6、FB=5P/3,（2）列剪力方程和弯矩方程。,（3）绘制Q图和M图。显然在三段内中剪力皆为常值，在剪力图中是三条水平线段，如图所示；弯矩方程都是一次函数，在弯矩图中为三条直线段，如图所示。（4）最大剪力和最大弯矩值。,当梁上有几项载荷同时作用时，由每一项载荷所引起的梁的支座反力、剪力和弯矩都不受其他载荷的影响。这样，就可以先分别计算出梁在各项载荷作用下某一截面上的剪力和弯矩，再求出它们的代数和，即得到梁在这几项载荷共同作用下该截面上的剪力和弯矩。此即叠加法。,例11-4 如图所示外伸简支梁，已知梁受均布荷载q作用，CB=a,AC=a/2。作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。,，,解（1）

7、求支座约束反力。,得,(2)列剪力方程和弯矩方程。,（3）绘制Q图和M图。,（4）最大剪力和最大弯矩值。,（1）任一截面上的剪力和弯矩始终假定为正向。这样由平衡方程所得结果的正负号就与正负号规定相一致。（2）截面位置参数可以都从坐标原点算起，也可以从另外的点算起，仅需写清方程的适用范围即可。（3）方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，剪力方程应为开区间，因在此处剪力图有突变；在集中力偶作用处，弯矩方程应为开区间，因在此处弯矩方程有突变。（4）若所得方程为x的二次或二次以上方程，则在作图时除计算该段的端值外，应注意曲线的凸、凹向极值。,列剪力方程与弯矩方程和绘制剪力与弯矩方程时应注意：

8、,一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系,对dx 段进行平衡分析，有,q(x),q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,x,第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,剪力与分布载荷间的关系为,弯矩与分布载荷间的关系为,弯矩、剪力与分布载荷间的关系为,Q图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度q；,M图上某处的斜率等于梁在该处的剪力Q。,二、几种常见载荷作用下梁的内力图特征,外力,无分布载荷段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,突变,无变化,斜直线,x,M,增函数,x,M,降函数,抛物线,折角,突变,M,x,例11-

9、5 如图所示外伸简支梁，同时受集中力F，弯矩M0，均布载荷q作用，试作出梁的剪力图、弯矩图。,解（1）根据平衡条件求支座反力。,校核其无误。,由,（2）由微分关系判断各段的Q-图、M-图的形状。,(3)从左向右绘制剪力图和弯矩图。,本章小结,1.梁弯曲时横截面上有两种内力：剪力和弯矩。确定横截面上剪力和弯矩的基本方法是截面法。在掌握这一方法的基础上，也可以直接利用外力确定剪力和弯矩。微段左上右下，剪力为正；微段上凹下凸，弯矩为正。2.本章主要介绍了三种作剪力图和弯矩图的方法：（1）根据剪力方程和弯矩方程作图；（2）用叠加法作图；（3）用载荷集度、剪力和弯矩三者之间的微分关系作图。其中，用剪力方程和弯矩方程作图是最基本的方法，要重点掌握。,本章小结,3.作剪力图和弯矩图的基本方法，可分为以下几个步骤：（1）根据平衡条件求支座反力；（2）在集中力（包括支座反力）、集中力偶作用处，或均布荷载规律发生变化处分段；（3）列出各段梁的剪力方程和弯矩方程；（4）根据剪力和弯矩方程画出剪力图和弯矩图；（5）确定最大剪力和最大弯矩及其所在的截面。4.载荷集度q、剪力Q和弯矩M三者之间有以下的微分关系，即 由这些关系，可以得到剪力图和弯矩图的一些规律。利用这些规律，可校核所作内力图的正误，更简捷的作出内力图。,谢谢大家！,